專題02利用三角函數(shù)解決實際問題(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)

專題02利用三角函數(shù)解決實際問題考點(diǎn)一利用三角函數(shù)解決仰角俯角問題考點(diǎn)二利用三角函數(shù)解決方位角問題考點(diǎn)三利用三角函數(shù)解決坡度坡比問題考點(diǎn)四利用三角函數(shù)測高問題考點(diǎn)五構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積考點(diǎn)一利用三角函數(shù)解決仰角俯角問題1．（2021·陜西·渭南初級中學(xué)九年級期中）李威在A處看一棵大樹的頂端D處的仰角是30°，向樹的方向前進(jìn)30米到B處看樹頂D處的仰角是60°，李威的眼睛離地面高米，已知，E、F、G在一條直線上，求樹高是多少？（結(jié)果保留根號）【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·利津縣東津?qū)嶒炛袑W(xué)九年級階段練習(xí)）為了測量教學(xué)樓的高度，某同學(xué)先在點(diǎn)D處用測角儀測得樓頂M的仰角為，再沿方向前行米到達(dá)點(diǎn)E處，在點(diǎn)E處測得樓項M的仰角為，已知測角儀的高為1.5米，求此樓的高為多少米？（結(jié)果精到0.1米，）2．（2022·重慶市育才中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖所示，在大樓的正前方有一斜坡（坡角），在它們之間有一片水域，現(xiàn)要測量大樓的高度．小明在斜坡上的點(diǎn)D處利用熱氣球探測器測得樓頂點(diǎn)B處的仰角為；當(dāng)熱氣球探測器豎直向上上升到點(diǎn)F處，測得樓頂點(diǎn)B處的仰角為；已知米，米，其中點(diǎn)在同一直線上．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求斜坡的高度（精確到十分位）；(2)求大樓的高度（精確到十分位）．3．（2022·安徽·合肥市五十中學(xué)新校二模）如圖，坡的坡度為：，坡面長米，，現(xiàn)計劃在斜坡中點(diǎn)處挖去部分坡體用陰影表示修建一個平行于水平線的平臺和一條新的斜坡請將下面兩小題的結(jié)果都精確到米，參考數(shù)據(jù)：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰為，則此時平臺的長為______米；(2)坡前有一建筑物，小明在點(diǎn)測得建筑物頂部的仰角為，在坡底點(diǎn)測得建筑物頂部的仰角為，點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，點(diǎn)、、在同一條水平直線上，問建筑物高為多少米？考點(diǎn)二利用三角函數(shù)解決方位角問題例題：（2022·湖南·長沙市北雅中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，某日我國某島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號）【變式訓(xùn)練】1．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在東西方向的海岸線l上有長為300米的碼頭AB，在碼頭的最西端A處測得輪船M在它的北偏東方向上；同一時刻，在A點(diǎn)正東方向距離100米的C處測得輪船M在北偏東方向上．（參考數(shù)據(jù)：，，，．）(1)求輪船M到海岸線l的距離；（結(jié)果精確到0.01米）(2)如果輪船M沿著南偏東的方向航行，那么該輪船能否行至碼頭AB靠岸？請說明理由．2．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在航線l的兩側(cè)分別有兩個燈塔A和B，燈塔A到航線l的距離為千米，燈塔B到航線l的距離為千米，燈塔B位于燈塔A南偏東方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔B北偏西方向的N（在航線l上）處，正沿該航線自東向西航行，10分鐘后該輪船行至燈塔A正南方向的點(diǎn)C（在航線l上）處．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求兩個燈塔A和B之間的距離；(2)求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1千米/小時）．3．（2022·浙江寧波·一模）如圖，某漁船沿正東方向以10海里／小時的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．參考數(shù)據(jù)：，，．(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？(2)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險？考點(diǎn)三利用三角函數(shù)解決坡度坡比問題例題：（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實施“五項管理”中，將學(xué)校的“五項管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓A棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH．(2)求宣傳牌CD的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.414,≈1.732）【變式訓(xùn)練】1．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平平臺DE構(gòu)成．已知天橋高度BC=5.4米，引橋水平跨度AB=9米．(1)求水平平臺DE的長度(2)若與地面垂直的平臺立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD、CE的長度之比．（參考數(shù)據(jù)：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教學(xué)研究室模擬預(yù)測）風(fēng)能作為一種清潔能源越來越受到世界各國的重視，我市結(jié)合自身地理優(yōu)勢架設(shè)風(fēng)力發(fā)電機(jī)利用風(fēng)能發(fā)電．王芳和李華假期去明月峰游玩，看見風(fēng)電場的各個山頭上布滿了大大小小的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，好奇的想知道風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架的高度．如圖，王芳站在點(diǎn)測得點(diǎn)與塔底點(diǎn)的距離為，李華站在斜坡的坡頂處，已知斜坡的坡度，坡面長，李華在坡頂處測得輪轂點(diǎn)的仰角，請根據(jù)測量結(jié)果幫他們計算：(1)斜坡頂點(diǎn)B到CD所在直線的距離；(2)風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架的高度．結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，3．（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）小明在一段斜坡上進(jìn)行跑步訓(xùn)練．在訓(xùn)練過程中，始終有一架無人機(jī)在小明正上方隨他一起運(yùn)動，無人機(jī)速度為，距水平地面的高度總為（在直線上運(yùn)動）現(xiàn)就小明訓(xùn)練中部分路段作出如圖函數(shù)圖象：已知，斜坡的坡度：，斜坡的坡角為．(1)點(diǎn)坐標(biāo)為______，段關(guān)于的函數(shù)解析式為______；(2)小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)若小明沿方向運(yùn)動，求無人機(jī)與小明之間距離不超過10m的時長．（參考數(shù)據(jù)：，，）考點(diǎn)四利用三角函數(shù)測高問題例題：（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，－樓房AB后有一－假山CD，CD的坡度為，測得B與C的距離為24米，山坡坡面上E點(diǎn)處有一休息亭，與山腳C的距離米，小麗從樓房房頂A處測得E的俯角為45°．(1)求點(diǎn)E到水平地面的距離；(2)求樓房AB的高．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南·九年級專題練習(xí)）如圖，小明家馬路對面的商業(yè)樓外墻上有一個大型顯示屏，小明在自己家樓頂處測得顯示屏頂端的仰角為，后退10米到達(dá)處測得顯示屏底端處的仰角為，已知商業(yè)樓的底端與小明家樓底端之間的距離為50米，求顯示屏AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）某校自開展課后延時服務(wù)以來，組建了許多興趣小組，小明參加了數(shù)學(xué)興趣小組，在課外活動中他們帶著測角儀和皮尺到室外開展實踐活動，當(dāng)他們走到一個平臺上時，發(fā)現(xiàn)不遠(yuǎn)處有一棵大樹，如圖所示，小明在平臺底部的點(diǎn)C處測得大樹的頂部B的仰角為60°，在平臺上的點(diǎn)E處測得大樹的頂部的仰角為30°．測量可知平臺的縱截面為矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大樹AB的高．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度的山坡，點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平面上，與在同一平面內(nèi)．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓的高度，在坡底處測得樓頂?shù)难鼋菫椋缓笱仄旅嫔闲辛嗣祝疵祝┑竭_(dá)點(diǎn)處，此時在處測得樓頂?shù)难鼋菫椋▍⒖紨?shù)據(jù)：，，）（1）求點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離的長；（2）求樓的高度．考點(diǎn)五構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積例題：（2022·海南·九年級專題練習(xí)）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實線所示，底座為，點(diǎn)、、在同一條直線上，測得，，，，其中一段支撐桿，另一段支撐桿，(1)求的距離；(2)求支撐桿上的到水平地面的距離是多少？（用四舍五入法對結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)，，，）【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是放在水平桌面上的臺燈的幾何圖，已知臺燈底座高度為2cm，固定支點(diǎn)O到水平桌面的距離為7.5cm，當(dāng)支架OA、AB拉直時所形成的線段與點(diǎn)M共線且與底座垂直，此時測得B到底座的距離為31.64cm（線段AB，AO，OM的和），經(jīng)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠OAB=115°，∠AOM=160°時，臺燈所投射的光線最適合寫作業(yè)，測量得A到B的水平距離為10cm，求此時點(diǎn)B到桌面的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）2．（2022·重慶·模擬預(yù)測）翠湖公園中有一四邊形空地，如圖1，已知空地邊緣，且、之間的距離為30米，經(jīng)測量，，長度為42米．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求空地邊緣的長度；（結(jié)果精確到1米）(2)為了打造更具觀賞性、娛樂性、參與性的城市名片，如圖2，公園管理處準(zhǔn)備在四邊形空地內(nèi)修建寬度為2米的園林卵石步道，其余地面鋪成顆粒塑膠，經(jīng)調(diào)研每平米卵石步道成本為80元，每平米顆粒塑膠成本為45元，公園目前可用資金有75000元，請用（1）的結(jié)果計算此次修建費(fèi)用是否足夠？3．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）圖1是一款平板電腦支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成．工作時，可將平板電腦吸附在托板上，底座放置在桌面上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，已知托板AB長200mm，支撐板CB長80mm，當(dāng)，時，求托板頂點(diǎn)A到底座CD所在平面的距離（結(jié)果精確到1mm）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）一、選擇題1．（2022·山東·新泰市宮里鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，則小明上升的距離是（

）A．米 B．20米 C．米 D．米2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，O為蹺蹺板AB的中點(diǎn)．支柱OC與地面MN垂直，垂足為點(diǎn)C，當(dāng)蹺蹺板的一端B著地時，蹺蹺板AB與地面MN的夾角為20°，測得AB=1.6m，則OC的長為（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·平陽蘇步青學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，某游樂場矗立起一座摩天輪，其直徑為90m，旋轉(zhuǎn)1周用時15min．小明從摩天輪的底部（與地面相距0.5m）出發(fā)開始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動1周，小明在離地面68m以上的空中時間是（）A．5min B．6min C．7min D．8min4．（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）三模）如圖為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道．若點(diǎn)A的高AE＝a米，水平賽道BC＝b米，賽道AB，CD的坡角均為θ，則點(diǎn)D與點(diǎn)A的水平距離DE為(

)A．米 B．(b)米 C．(a-b)sinθ米 D．(a﹣b)cosθ米二、填空題5．（2021·廣東·佛山市第十四中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在高度是18米的小山A處測得建筑物CD頂部C處的仰角為30°，底部D處的仰角為45°，則這個建筑物的高度CD=__________米（結(jié)果可保留根號）；6．（2022·江蘇省南菁高級中學(xué)實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，小明在騎行過程中發(fā)現(xiàn)山上有一建筑物，他測得仰角為；沿水平筆直的公路向建筑物的方向行駛4千米后，測得該建筑物的仰角為，若小明的眼睛與地面的距離忽略不計，則該建筑物離地面的高度為___________千米．7．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）從一棟二層樓的樓頂點(diǎn)A處看對面的教學(xué)樓，探測器顯示，看到教學(xué)樓底部點(diǎn)B處的俯角為45°，看到樓頂頂部點(diǎn)C處的仰角為60°，已知兩棟樓之間的水平距離為6米，那么教學(xué)樓的高_(dá)_______米．（結(jié)果保留根號）8．（2022·廣東·深圳市觀瀾第二中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行．請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算回答，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算回答：小敏身高米，她乘電梯會有碰頭危險嗎？______．（填是或否）（可能用到的參考數(shù)值：，，）三、解答題9．（2022·浙江紹興·一模）如圖，圖①是某電腦液晶顯示器的側(cè)面圖，顯示屏可以繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度．研究表明：顯示屏頂端A與底座B的連線與水平線BC垂直時(如圖②)，人觀看屏幕最舒適．此時測得，求的長度．(結(jié)果精確到)（參考數(shù)據(jù)：）10．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳C處，然后在地面上沿CB向樓房方向繼續(xù)行走10米到達(dá)E處，測得樓房頂部A的仰角為60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）．求樓房AB高度．（結(jié)果保留根式）11．（2022·四川·仁壽縣黑龍灘鎮(zhèn)光相九年制學(xué)校九年級期末）小明周未與父母一起到眉山濕地公園進(jìn)行數(shù)學(xué)實踐活動，在A處看到B，C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹.他在A處測得B在西北方向，C在北偏東30°方向.他從A處走了20米到達(dá)B處，又在B處測得C在北偏東60°方向．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求兩棵銀杏樹B，C之間的距離．（結(jié)果保留根號）12．（2022·山東·乳山市乳山寨鎮(zhèn)中心學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角為30°，背水坡AD的坡度為1：1.2，壩頂寬DC為2.5米，壩高CF為4.5米．求：(1)壩底AB的長；(2)坡BC的長；(3)迎水坡BC的坡度．13．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）小甬要外出參加“建黨100周年”慶?；顒樱杈W(wǎng)購一個拉桿箱，圖①，圖②分別是他上網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿DE，箱長BC，拉桿AB的長度都相等，B，F(xiàn)在AC上，C在DE上，支桿DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，請根據(jù)以上信息，解決下列問題．(1)求DE的長度（結(jié)果保留根號）；(2)求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離（結(jié)果保留根號）．14．（2021·山東·泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線l上有AB兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）．有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．(1)求點(diǎn)P到海岸線l的距離；(2)小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點(diǎn)C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向．求點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離．（上述兩小題的結(jié)果都保留根號）15．（2022·湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學(xué)九年級期中）如圖1，2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖，于點(diǎn)，底座米，底座與支架所成的角，點(diǎn)在支架上，籃板底部支架.于點(diǎn)，已知米，米，米.(1)求籃板底部支架與支架所成的的度數(shù)．(2)求籃板底部點(diǎn)到地面的距離，（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，）16．（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）模擬預(yù)測）小明家住深圳某小區(qū)一樓，家里開了一間小賣部，小明的爸爸想把囤積的商品打折促銷7天，因為考慮到疫情期間的安全問題，小明爸爸把一樓朝南的窗戶改造成了營業(yè)窗口，如下圖1，因為天氣漸漸回暖，小明的爸爸想讓小明幫忙設(shè)計一個可以伸縮的遮陽棚，如圖2，AB表示窗戶，高度為2米，寬度為3米，BCD表示直角遮陽篷，他打算選擇的支架BC的高度為0．5米．小明為了最大限度地阻擋正午最強(qiáng)的陽光，為了測量太陽與地面的最大夾角，小明選擇一個晴朗的天氣，正午12點(diǎn)時在地面上豎立了一個長4米的木桿，測得落在地面的影子長為2．31米．參考數(shù)據(jù)（tan60°=≈1．73）(1)正午12點(diǎn)時，太陽光線與地面的夾角約為________度，請你幫忙估算出沒有遮陽棚時，正午12點(diǎn)時太陽照射到室內(nèi)區(qū)域面積為___________．（結(jié)果保留根號）(2)正午12點(diǎn)時，太陽剛好沒有射入室內(nèi)此時的CD，并求此時CD的長．（結(jié)果保留根號）專題02利用三角函數(shù)解決實際問題考點(diǎn)一利用三角函數(shù)解決仰角俯角問題考點(diǎn)二利用三角函數(shù)解決方位角問題考點(diǎn)三利用三角函數(shù)解決坡度坡比問題考點(diǎn)四利用三角函數(shù)測高問題考點(diǎn)五構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積考點(diǎn)一利用三角函數(shù)解決仰角俯角問題1．（2021·陜西·渭南初級中學(xué)九年級期中）李威在A處看一棵大樹的頂端D處的仰角是30°，向樹的方向前進(jìn)30米到B處看樹頂D處的仰角是60°，李威的眼睛離地面高米，已知，E、F、G在一條直線上，求樹高是多少？（結(jié)果保留根號）【答案】樹的高是米【分析】先證明得到，解直角三角形求出的長即可得到答案．【詳解】解：由題意可知：，∴，∴（米），在中，∵，∴米，∴米，答：樹的高是米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，求出的長是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·利津縣東津?qū)嶒炛袑W(xué)九年級階段練習(xí)）為了測量教學(xué)樓的高度，某同學(xué)先在點(diǎn)D處用測角儀測得樓頂M的仰角為，再沿方向前行米到達(dá)點(diǎn)E處，在點(diǎn)E處測得樓項M的仰角為，已知測角儀的高為1.5米，求此樓的高為多少米？（結(jié)果精到0.1米，）【答案】的高約為米【分析】根據(jù)正切的定義用表示出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)題意列方程，解方程得到答案．【詳解】解：由題意知：，，，，在中，，則，在中，，則，∵，∴，解得：，∴，答：的高約為米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022·重慶市育才中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖所示，在大樓的正前方有一斜坡（坡角），在它們之間有一片水域，現(xiàn)要測量大樓的高度．小明在斜坡上的點(diǎn)D處利用熱氣球探測器測得樓頂點(diǎn)B處的仰角為；當(dāng)熱氣球探測器豎直向上上升到點(diǎn)F處，測得樓頂點(diǎn)B處的仰角為；已知米，米，其中點(diǎn)在同一直線上．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求斜坡的高度（精確到十分位）；(2)求大樓的高度（精確到十分位）．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）根據(jù)題意可得是等腰直角三角形，然后根據(jù)勾股定理可得結(jié)果；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明是等腰三角形，可得，然后根據(jù)所對的直角邊等腰斜邊的一半可得的值，然后根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)得出，，結(jié)果可得．（1）解：∵米，，∴是等腰直角三角形，設(shè)，則根據(jù)勾股定理得：，解得：米（負(fù)值舍去），∴米；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，∴，，∴，即，∴米，在中，，，∴米，∵，∴四邊形是矩形，∴米，同理可得：米，∴米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，仰角俯角問題，坡度坡角問題，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，所對直角邊等于斜邊的一半等知識點(diǎn)，讀懂題意，熟練掌握相關(guān)定理是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽·合肥市五十中學(xué)新校二模）如圖，坡的坡度為：，坡面長米，，現(xiàn)計劃在斜坡中點(diǎn)處挖去部分坡體用陰影表示修建一個平行于水平線的平臺和一條新的斜坡請將下面兩小題的結(jié)果都精確到米，參考數(shù)據(jù)：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰為，則此時平臺的長為______米；(2)坡前有一建筑物，小明在點(diǎn)測得建筑物頂部的仰角為，在坡底點(diǎn)測得建筑物頂部的仰角為，點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，點(diǎn)、、在同一條水平直線上，問建筑物高為多少米？【答案】(1)7.0(2)建筑物高約為米【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再證，推出，代入數(shù)值即可求解；（2）過點(diǎn)作，垂足為，利用矩形的性質(zhì)求出，，，解可得，進(jìn)而得出，再解，列等式求出，則．【詳解】（1）解：由題意知，，，，∴設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得，∴，．∵，，∴，∴．由題意，，∴，又∵，∴，∴，∴，，，∴米；則平臺的長為，（2）解：過點(diǎn)作，垂足為．在矩形中，，，∴．在矩形中，，，在中，，∴，，，解得：，（米），即建筑物高約為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，涉及勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求解．考點(diǎn)二利用三角函數(shù)解決方位角問題例題：（2022·湖南·長沙市北雅中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，某日我國某島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號）【答案】此時船C與船B的距離是海里．【分析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，進(jìn)而利用，，求出即可．【詳解】解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，由題意可知：，則，在中，，在中，．答：此時船C與船B的距離是海里．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用－方向角問題，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意得基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．【變式訓(xùn)練】1．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在東西方向的海岸線l上有長為300米的碼頭AB，在碼頭的最西端A處測得輪船M在它的北偏東方向上；同一時刻，在A點(diǎn)正東方向距離100米的C處測得輪船M在北偏東方向上．（參考數(shù)據(jù)：，，，．）(1)求輪船M到海岸線l的距離；（結(jié)果精確到0.01米）(2)如果輪船M沿著南偏東的方向航行，那么該輪船能否行至碼頭AB靠岸？請說明理由．【答案】(1)167.79米(2)能，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)M作，交AC的延長線于D，設(shè)．解，得，解，得，進(jìn)而可得，解方程即可；（2）作，交l于點(diǎn)F．解求出DF，進(jìn)而求出AF，與AB比較大小即可．（1）解：過點(diǎn)M作，交AC的延長線于D，設(shè)．∵在中，，又∵在中，，∴，∵，∴．∴（米）．即輪船M到海岸線l的距離約為167.79米．（2）解：作，交l于點(diǎn)F．在中，有：（米），∴．∴該輪船能行至碼頭靠岸．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在航線l的兩側(cè)分別有兩個燈塔A和B，燈塔A到航線l的距離為千米，燈塔B到航線l的距離為千米，燈塔B位于燈塔A南偏東方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔B北偏西方向的N（在航線l上）處，正沿該航線自東向西航行，10分鐘后該輪船行至燈塔A正南方向的點(diǎn)C（在航線l上）處．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求兩個燈塔A和B之間的距離；(2)求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1千米/小時）．【答案】(1)14千米(2)40.7千米/小時【分析】（1）根據(jù)題意利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出，即可得解；（2）根據(jù)三角函數(shù)值求出CN的長，進(jìn)而可以求該輪船航行的速度．（1）解：由題意，得，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴千米．答：兩個燈塔A和B之間的距離為14千米．（2）在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，，由題意，得∴，∴，∴，設(shè)該輪船航行的速度是V千米/小時，由題意，得，∴（千米/小時），答：該輪船航行的速度是40.7千米/小時．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用：方向角問題．解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形．3．（2022·浙江寧波·一模）如圖，某漁船沿正東方向以10海里／小時的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．參考數(shù)據(jù)：，，．(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？(2)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險？【答案】(1)B處離島C有10海里；有觸礁危險，證明見解析(2)沒有觸礁危險，證明見解析【分析】（1）過C作于O，通過證明，即可求出CB的長；判斷C到AB的距離即CO是否大于9，如果大于則無觸礁危險，反之則有；（2）過C作交BF于D，交BO于E，求出CD的長度即可作出判斷．（1）過C作于O，CO為漁船向東航行到C的最短距離，∵在A處測得島C在北偏東的方向，∴，又∵B處測得島C在北偏東方向，∴，，∴，∴（海里），∵，，∴，∴如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險；（2）過C作交BF于D，交BO于E，，∴沒有觸礁危險．【點(diǎn)睛】本題是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中，使問題解決．考點(diǎn)三利用三角函數(shù)解決坡度坡比問題例題：（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實施“五項管理”中，將學(xué)校的“五項管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓A棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH．(2)求宣傳牌CD的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.414,≈1.732）【答案】(1)點(diǎn)B距水平面AE的高度BH是2米(2)廣告牌CD的高度約為2.1米【分析】（1）根據(jù)山坡AB的坡度為i=1：3，可設(shè)BH=a,則AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答；（2）過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F，則BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，再在Rt△BFC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長，最后進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴設(shè)BH=a,則AH=3a，∵AB=2，由勾股定理得BH=2，答:點(diǎn)B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中,BH=2，∴AH=6，在Rt△ADE中,tan∠DAE=.，即DE=tan60·AE=8，如圖,過點(diǎn)B作BF⊥CE,垂足為F，BF=AH+AE=6+8=14，DF=DE-EF=DE-BH=8—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=14,∴CD=CF-DF=14—（8—2）=14—8+2≈2.1答:廣告牌CD的高度約為2.1米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平平臺DE構(gòu)成．已知天橋高度BC=5.4米，引橋水平跨度AB=9米．(1)求水平平臺DE的長度(2)若與地面垂直的平臺立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD、CE的長度之比．（參考數(shù)據(jù)：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）【答案】(1)1.8米(2)5：4【分析】（1）延長CE交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：AD∥EF，從而可得∠EFG＝37°，四邊形ADEF是平行四邊形，進(jìn)而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長，從而求出AF的長，即可解答；（2）根據(jù)題意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長，從而求出AD的長，再在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長，從而求出CE的長，進(jìn)行計算即可解答．（1）解：延長CE交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：AD∥EF，∴∠A＝∠EFG＝37°，∵DE∥AF，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AD＝EF，DE＝AF，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴BF＝≈＝7.2（米），∵AB＝9米，∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），∴水平平臺DE的長度約為1.8米；（2）由題意得：MN＝EG＝3米，在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），∴AD＝EF＝5米，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴CF＝＝＝9（米），∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），∴兩段樓梯AD、CE的長度之比為：5：4．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，平行四邊形的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教學(xué)研究室模擬預(yù)測）風(fēng)能作為一種清潔能源越來越受到世界各國的重視，我市結(jié)合自身地理優(yōu)勢架設(shè)風(fēng)力發(fā)電機(jī)利用風(fēng)能發(fā)電．王芳和李華假期去明月峰游玩，看見風(fēng)電場的各個山頭上布滿了大大小小的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，好奇的想知道風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架的高度．如圖，王芳站在點(diǎn)測得點(diǎn)與塔底點(diǎn)的距離為，李華站在斜坡的坡頂處，已知斜坡的坡度，坡面長，李華在坡頂處測得輪轂點(diǎn)的仰角，請根據(jù)測量結(jié)果幫他們計算：(1)斜坡頂點(diǎn)B到CD所在直線的距離；(2)風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架的高度．結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，【答案】(1)；(2)．【分析】（1）在中，，可得，根據(jù)解直角三角形進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)求解即可．（1）解：如圖，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，，則為坡頂B到所在直線的距離，則，，在中，，∴，∵，∴；（2）由題意得，四邊形是矩形，由勾股定理得：，∵，∴，∴，在中，，，∴，答：塔架高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用以及勾股定理，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）小明在一段斜坡上進(jìn)行跑步訓(xùn)練．在訓(xùn)練過程中，始終有一架無人機(jī)在小明正上方隨他一起運(yùn)動，無人機(jī)速度為，距水平地面的高度總為（在直線上運(yùn)動）現(xiàn)就小明訓(xùn)練中部分路段作出如圖函數(shù)圖象：已知，斜坡的坡度：，斜坡的坡角為．(1)點(diǎn)坐標(biāo)為______，段關(guān)于的函數(shù)解析式為______；(2)小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)若小明沿方向運(yùn)動，求無人機(jī)與小明之間距離不超過10m的時長．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)，(2)，(3)9秒【分析】（1）通過三角函數(shù)值和已知題意信息可以解出A點(diǎn)坐標(biāo)，再通過A點(diǎn)坐標(biāo)和原點(diǎn)進(jìn)而確定段的函數(shù)解析式．（2）通過段對應(yīng)的無人機(jī)飛行的路程和速度求出小明所花的時間，再由三角函數(shù)和（1）問得到小明所走的路程，進(jìn)而解出小明在段的速度，由A，點(diǎn)確定段解析式．（3）通過段和段的函數(shù)解析式分別求出無人機(jī)與小明之間距離為時所用的時長，進(jìn)而計算出無人機(jī)與小明之間距離不超過的時長．（1）解：如圖，過A點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，斜坡的坡度：：，，，點(diǎn)A坐標(biāo)為，設(shè)段關(guān)于的函數(shù)解析式為，代入，，解得：，段關(guān)于的函數(shù)解析式，故答案為：；．（2）解：在中，，，，，，，在訓(xùn)練過程中，始終有一架無人機(jī)在小明正上方隨他一起運(yùn)動．無人機(jī)速度為，小明在斜坡上跑步的時間為：，小明在斜坡上的跑步速度是：，，，，，設(shè)段關(guān)于的函數(shù)解析式為：代入，，得：，解得：，段關(guān)于的函數(shù)解析式為；故答案為：．（3）解：在段上無人機(jī)與小明之間的距離為時，則有：，解得：，無人機(jī)飛行的時間為；在段上，無人機(jī)與小明之間距離為時，則有：，解得：，無人機(jī)飛行的時間為，無人機(jī)與小明之間距離不超過的時長為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)應(yīng)用和解直角三角形，關(guān)鍵在于一次函數(shù)的應(yīng)用和對題意的推斷能力．考點(diǎn)四利用三角函數(shù)測高問題例題：（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，－樓房AB后有一－假山CD，CD的坡度為，測得B與C的距離為24米，山坡坡面上E點(diǎn)處有一休息亭，與山腳C的距離米，小麗從樓房房頂A處測得E的俯角為45°．(1)求點(diǎn)E到水平地面的距離；(2)求樓房AB的高．【答案】(1)8米(2)48米【分析】（1）過點(diǎn)E作EF⊥BC的延長線于F，根據(jù)CD的坡度為i=1：2得CF=2EF，再由勾股定理可得：EF∶CF∶CE＝1∶2∶，可得EF=8米，CF=16米；（2）過E作EH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AH的長，進(jìn)而可得AB的長．（1）解：過點(diǎn)E作EF⊥BC的延長線于F．在Rt△CEF中，∵CD的坡度i＝EF∶CF＝1∶2，∴占（份），∴EF∶CF∶CE＝1∶2∶，∵CE＝8米，∴EF＝8米，CF＝16米∴點(diǎn)E到水平地面的距離為8米．（2）作EH⊥AB于點(diǎn)H，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴四邊形BFEH為矩形；∴BH＝EF＝8（米），HE＝BF∵BC＝24（米），CF＝16（米），∴HE＝BF＝BC＋CF＝24＋16＝40（米）在Rt△AHE中，∵∠HAE＝90°－45°＝45°，∴AH＝HE＝40（米），∴AB＝AH＋HB＝48（米）．∴樓房AB的高為48米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南·九年級專題練習(xí)）如圖，小明家馬路對面的商業(yè)樓外墻上有一個大型顯示屏，小明在自己家樓頂處測得顯示屏頂端的仰角為，后退10米到達(dá)處測得顯示屏底端處的仰角為，已知商業(yè)樓的底端與小明家樓底端之間的距離為50米，求顯示屏AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】6.4米【分析】延長，交于點(diǎn)，則，解，求出的長，解，求出的長，進(jìn)而求出的長．【詳解】延長，交于點(diǎn)，則，由題意：，，米，米，由于四邊形是矩形，∴米，在中，，∴米，∵米，∴米，在中，，∵，∴，∴(米)．答：顯示屏的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用銳角三角函數(shù)知識解直角三角形，構(gòu)造合適的直角三角形求出相應(yīng)的線段是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）某校自開展課后延時服務(wù)以來，組建了許多興趣小組，小明參加了數(shù)學(xué)興趣小組，在課外活動中他們帶著測角儀和皮尺到室外開展實踐活動，當(dāng)他們走到一個平臺上時，發(fā)現(xiàn)不遠(yuǎn)處有一棵大樹，如圖所示，小明在平臺底部的點(diǎn)C處測得大樹的頂部B的仰角為60°，在平臺上的點(diǎn)E處測得大樹的頂部的仰角為30°．測量可知平臺的縱截面為矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大樹AB的高．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】20米【分析】延長EF交AB于點(diǎn)G，設(shè)AB為x，利用三角函數(shù)解直角三角形用x表示出EG、AC，根據(jù)CD=EG﹣AC列出方程求出x即可．【詳解】延長EF交AB于點(diǎn)G，如圖，設(shè)AB=x米，則BG=AB﹣2=（x﹣2）米，在Rt△BGE中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG=，在Rt△BAC中CA=AB÷tan∠ACB=，則CD=EG﹣AC=，解得：．答：大樹AB的高約為20米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度的山坡，點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平面上，與在同一平面內(nèi)．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓的高度，在坡底處測得樓頂?shù)难鼋菫椋缓笱仄旅嫔闲辛嗣祝疵祝┑竭_(dá)點(diǎn)處，此時在處測得樓頂?shù)难鼋菫椋▍⒖紨?shù)據(jù)：，，）（1）求點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離的長；（2）求樓的高度．【答案】（1）米；（2）樓的高度為米．【分析】（1）由的坡度，可得設(shè)則由勾股定理可得再列方程解方程可得答案；（2）如圖，過作于先證明四邊形是矩形，可得設(shè)證明可得由建立方程，再解方程檢驗即可得到答案．【詳解】解：（1）的坡度，設(shè)則（2）如圖，過作于四邊形是矩形，設(shè)由解得：經(jīng)檢驗：符合題意，所以：建筑物的高為：米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，坡度的含義，掌握利用解直角三角形測量建筑物的高是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積例題：（2022·海南·九年級專題練習(xí)）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實線所示，底座為，點(diǎn)、、在同一條直線上，測得，，，，其中一段支撐桿，另一段支撐桿，(1)求的距離；(2)求支撐桿上的到水平地面的距離是多少？（用四舍五入法對結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)，，，）【答案】(1)16cm(2)105cm【分析】（1）根據(jù)直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如圖作DG⊥EF，，證明EF=EG+QC+CP，再分別運(yùn)用解直角三角形求出EG、QC、CP即可．（1）∵，，AB=32cm∴(cm)（2）如圖，作DG⊥EF于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作，交DG于點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)P，∵DG⊥EF，AF⊥EF，∴DG⊥PQ，AF⊥PQ，∴四邊形FPQG是矩形，F(xiàn)G=PQ，∴(cm)，(cm)，∵∴∠EDG=75°-60°=15°∴(cm)∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=(cm)故E到地面的距離EF為105cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，作輔助線構(gòu)造相等線段，熟練運(yùn)用解直角三角形求線段長度是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是放在水平桌面上的臺燈的幾何圖，已知臺燈底座高度為2cm，固定支點(diǎn)O到水平桌面的距離為7.5cm，當(dāng)支架OA、AB拉直時所形成的線段與點(diǎn)M共線且與底座垂直，此時測得B到底座的距離為31.64cm（線段AB，AO，OM的和），經(jīng)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠OAB=115°，∠AOM=160°時，臺燈所投射的光線最適合寫作業(yè)，測量得A到B的水平距離為10cm，求此時點(diǎn)B到桌面的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）【答案】點(diǎn)B到桌面得距離為28.78cm【分析】點(diǎn)A作AC平行于水平桌面，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，再延長MO交AC于點(diǎn)D，在Rt△ABC中，解直角三角形求得AB，繼而求得，在Rt△AOD中，解直角三角形求得OD，繼而即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AC平行于水平桌面，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，再延長MO交AC于點(diǎn)D，由題意可知：OD⊥AC，AC=10cm，，∵∠AOM=160°，∴∠AOD=20°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∴∠OAD=70°，∵∠OAB=115°，∴∠BAC=45°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∴AC=BC=10cm，在Rt△ABC中，cos∠BAC=，∴，∵，∴，在Rt△AOD中，cos∠AOD=，∴，∴點(diǎn)B到桌面的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，熟練掌握并應(yīng)用三角函數(shù)定義．2．（2022·重慶·模擬預(yù)測）翠湖公園中有一四邊形空地，如圖1，已知空地邊緣，且、之間的距離為30米，經(jīng)測量，，長度為42米．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求空地邊緣的長度；（結(jié)果精確到1米）(2)為了打造更具觀賞性、娛樂性、參與性的城市名片，如圖2，公園管理處準(zhǔn)備在四邊形空地內(nèi)修建寬度為2米的園林卵石步道，其余地面鋪成顆粒塑膠，經(jīng)調(diào)研每平米卵石步道成本為80元，每平米顆粒塑膠成本為45元，公園目前可用資金有75000元，請用（1）的結(jié)果計算此次修建費(fèi)用是否足夠？【答案】(1)空地邊緣的長度為64米；(2)此次修建費(fèi)用足夠【分析】（1）過作交于，過作交的延長線于，證得四邊形是矩形，從而，分別在和中，利用正切三角函數(shù)求得AK、BH的值，即可求解；（2）分別求出和梯形ABCD的面積，從而，再求出總費(fèi)用，比較即可.（1）解：（1）如圖，過作交于，過作交的延長線于，，，，，，，∴四邊形是矩形，，，在中，，，，，在中，，，，（米）答：空地邊緣的長度為64米．（2）解：由題得，四邊形為平行四邊形，，，，∴總花費(fèi)為：（元），答：此次修建費(fèi)用足夠．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造出含有特殊角的直角三角形，屬于中考?？碱}型．3．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）圖1是一款平板電腦支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成．工作時，可將平板電腦吸附在托板上，底座放置在桌面上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，已知托板AB長200mm，支撐板CB長80mm，當(dāng)，時，求托板頂點(diǎn)A到底座CD所在平面的距離（結(jié)果精確到1mm）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】托板頂點(diǎn)A到底座CD所在平面的距離為248mm．【分析】過點(diǎn)B作，，交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作，交BE于點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)可得，得出，在與中，分別利用銳角三角函數(shù)求解得出，，托板頂點(diǎn)A到底座CD所在平面的距離即可得出．【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)B作，，交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作，交BE于點(diǎn)F，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，答：托板頂點(diǎn)A到底座CD所在平面的距離為．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)，利用銳角三角函數(shù)解三角形，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·山東·新泰市宮里鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，則小明上升的距離是（

）A．米 B．20米 C．米 D．米【答案】A【分析】根據(jù)坡度意思可知，設(shè)米，則米，由勾股定理可得：，即，求出h即可．【詳解】解：如圖：由題意可知：，米，設(shè)米，則米，由勾股定理可得：，即，解得：米，米（舍去）．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，坡度坡比問題，解題的關(guān)鍵是理解坡度的意思，找出BC，AC之間的關(guān)系．2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，O為蹺蹺板AB的中點(diǎn)．支柱OC與地面MN垂直，垂足為點(diǎn)C，當(dāng)蹺蹺板的一端B著地時，蹺蹺板AB與地面MN的夾角為20°，測得AB=1.6m，則OC的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．【詳解】解：∵O為AB的中點(diǎn)，AB=1.6，∴OB=AB=0.8，在Rt△OCB中，sin∠OBC=，∴OC=OB?sin∠OBC=0.8sin20°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江·平陽蘇步青學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，某游樂場矗立起一座摩天輪，其直徑為90m，旋轉(zhuǎn)1周用時15min．小明從摩天輪的底部（與地面相距0.5m）出發(fā)開始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動1周，小明在離地面68m以上的空中時間是（）A．5min B．6min C．7min D．8min【答案】A【分析】設(shè)小明在點(diǎn)和點(diǎn)時距離地面，利用三角函數(shù)求出的角度即可求出時間．【詳解】解：如圖，設(shè)小明在點(diǎn)和點(diǎn)時距離地面，延長交于，即，小明在上時即為所求，由題知，，，，，，，，摩天輪旋轉(zhuǎn)1周用時，小明在離地面以上的空中時間是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的知識，熟練利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）三模）如圖為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道．若點(diǎn)A的高AE＝a米，水平賽道BC＝b米，賽道AB，CD的坡角均為θ，則點(diǎn)D與點(diǎn)A的水平距離DE為(

)A．米 B．(b)米 C．(a-b)sinθ米 D．(a﹣b)cosθ米【答案】B【分析】如圖，過B作，過C作，解直角三角形，根據(jù)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：過B作，過C作由題意得：，，∴，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線構(gòu)造直角三角形．二、填空題5．（2021·廣東·佛山市第十四中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在高度是18米的小山A處測得建筑物CD頂部C處的仰角為30°，底部D處的仰角為45°，則這個建筑物的高度CD=__________米（結(jié)果可保留根號）；【答案】##【分析】作于點(diǎn)E，則和都是等腰直角三角形，即可求得的長，然后在直角三角形中國利用三角函數(shù)求得的長，進(jìn)而求得的長．【詳解】解：作于點(diǎn)E．在中，，（米）．在中，（米）．∴（米）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用直角三角形解決仰角和俯角問題，要求學(xué)生能夠借助仰角和俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．6．（2022·江蘇省南菁高級中學(xué)實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，小明在騎行過程中發(fā)現(xiàn)山上有一建筑物，他測得仰角為；沿水平筆直的公路向建筑物的方向行駛4千米后，測得該建筑物的仰角為，若小明的眼睛與地面的距離忽略不計，則該建筑物離地面的高度為___________千米．【答案】2【分析】過該建筑物的頂端點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，可得，即，則千米，在中，，即可求得．【詳解】解：如圖，過該建筑物的頂端點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由題意得，，，千米，，，千米，在中，，解得，該建筑物離地面的高度為2千米．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·上海·九年級專題練習(xí)）從一棟二層樓的樓頂點(diǎn)A處看對面的教學(xué)樓，探測器顯示，看到教學(xué)樓底部點(diǎn)B處的俯角為45°，看到樓頂頂部點(diǎn)C處的仰角為60°，已知兩棟樓之間的水平距離為6米，那么教學(xué)樓的高_(dá)_______米．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D．則米，在Rt△ACD中，，解得，在中，，解得，由可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)D．則米，，，在中，，解得，在中，，解得，∴米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·廣東·深圳市觀瀾第二中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行．請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算回答，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算回答：小敏身高米，她乘電梯會有碰頭危險嗎？______．（填是或否）（可能用到的參考數(shù)值：，，）【答案】否【分析】求出長，比較大小即可．【詳解】解：根據(jù)天花板與地面平行，可知，（米）．因為，所以小敏不會有碰頭危險．故答案為：否．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角函數(shù)求解．三、解答題9．（2022·浙江紹興·一模）如圖，圖①是某電腦液晶顯示器的側(cè)面圖，顯示屏可以繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度．研究表明：顯示屏頂端A與底座B的連線與水平線BC垂直時(如圖②)，人觀看屏幕最舒適．此時測得，求的長度．(結(jié)果精確到)（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)．構(gòu)造直角三角形，在中，計算出，在中，計算出.【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)作交于點(diǎn)．在中，又∵在中，答：的長度為【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．10．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳C處，然后在地面上沿CB向樓房方向繼續(xù)行走10米到達(dá)E處，測得樓房頂部A的仰角為60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）．求樓房AB高度．（結(jié)果保留根式）【答案】（15+5）米【分析】)過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，設(shè)AB=x，AG=x-5，則，，根據(jù)DG＝FC+CE+BE，列出方程，即可求解.【詳解】解：過D作DF⊥BC，垂足為F，∵i＝1：，∴DF：FC＝1：，CD＝10，∴DF＝5，CF＝5，過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G，設(shè)AB＝x，則AG＝x﹣5，在Rt△ABE中，，在Rt△ADG中，，由DG＝FC+CE+BE得，（x﹣5）＝5+10+x，解得，x＝15+5，答：AB的高度為（15+5）米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)的定義，列出方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022·四川·仁壽縣黑龍灘鎮(zhèn)光相九年制學(xué)校九年級期末）小明周未與父母一起到眉山濕地公園進(jìn)行數(shù)學(xué)實踐活動，在A處看到B，C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹.他在A處測得B在西北方向，C在北偏東30°方向.他從A處走了20米到達(dá)B處，又在B處測得C在北偏東60°方向．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求兩棵銀杏樹B，C之間的距離．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)(2)米【分析】（1）過點(diǎn)A作交于點(diǎn)，根據(jù)且，可得，利用外角的性質(zhì)根據(jù)可求出結(jié)果（2）過點(diǎn)B作BG⊥AD于G，則有，可得，，，可求得，再根據(jù)可得結(jié)果．（1）如圖示，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)，∵且∴∵且∴；（2）過點(diǎn)B作BG⊥AD于G．∵∴在中，，在中，∵∴∴答：兩顆銀杏樹B、C之間的距離為米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2022·山東·乳山市乳山寨鎮(zhèn)中心學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角為30°，背水坡AD的坡度為1：1.2，壩頂寬DC為2.5米，壩高CF為4.5米．求：(1)壩底AB的長；(2)坡BC的長；(3)迎水坡BC的坡度．【答案】(1)米(2)9米(3)【分析】（1）過D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，先證明四邊形CDEF是矩形，即有CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，根據(jù)∠B=30°，背水坡AD的坡度比為1:1.2，可得，AE=1.2DE=5.4，則問題得解；（2）根據(jù)即可求解；（3）利用坡比的定義，即可得出迎水坡BC的坡比的值．（1）解：過D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，如圖，根據(jù)題意有：，，∠B=30°，∵，∴四邊形CDEF是矩形．∴CF=DE，EF=CD，∵CF=4.5，CD=2.5，∴CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，∵CF=4.5，CD=2.5，∠B=30°，背水坡AD的坡度比為1:1.2，∴，AE=1.2DE=5.4，∴AB=BF+EF+AE=+2.5+5.4=+7.9（米），故壩底AB的長為：米；（2）∵∠B=30°，CF=4.5，∴（米），即坡BC長為9米；（3）∵CF=4.5，，∴迎水坡BC的坡度為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了坡度與坡角問題，通過構(gòu)造直角三角形，矩形，利用直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解是解題關(guān)鍵．13．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）小甬要外出參加“建黨100周年”慶?；顒?，需網(wǎng)購一個拉桿箱，圖①，圖②分別是他上網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿DE，箱長BC，拉桿AB的長度都相等，B，F(xiàn)在AC上，C在DE上，支桿DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，請根據(jù)以上信息，解決下列問題．(1)求DE的長度（結(jié)果保留根號）；(2)求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離（結(jié)果保留根號）．【答案】(1)（20+20）cm(2)（20+20）cm【分析】（1）過點(diǎn)F作FH⊥CD，垂足為H，在Rt△DFH中，求出FH，DH，再在Rt△CFH中，求出CH，從而求出CD，進(jìn)而求出CE，然后進(jìn)行計算即可解答；（2）過點(diǎn)A作AG⊥ED，交ED的延長線于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得AC＝40+40，然后在Rt△AGC中，利用銳角三角函數(shù)求出AG即可解答．（1）解：過點(diǎn)F作FH⊥CD，垂足為H，在Rt△DFH中，∠D＝30°，DF＝30，∴FH＝DF＝15cm，DH＝DFcos30°＝30×＝15cm，在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，∴CH＝FH＝15cm，∴CD＝CH+DH＝（15+15）cm，∵CE：CD＝1：3，∴CE＝CD＝（5+5）cm，∴DE＝CE+CD＝（20+20）cm，∴DE的長度為（20+20）cm；（2）解：過點(diǎn)A作AG⊥ED，交ED