第07講二元一次方程組最?？键c歸類復(fù)習(xí)(原卷版+解析)-2021-2022學(xué)年下學(xué)期七年級數(shù)學(xué)下冊期末復(fù)習(xí)高頻考點專題(人教版)

第07講二元一次方程組最?？键c歸類復(fù)習(xí)（原卷版）第一部分典例剖析+遷移應(yīng)用考點一二元一次方程與二元一次方程組典例1（2022春?臺江區(qū)校級期中）下列方程中是二元一次方程的是A． B． C． D．典例2（2022春?恩陽區(qū)期中）已知方程組是二元一次方程組，則A．1或 B．2或 C． D．2【遷移應(yīng)用1】1．（2022春?南崗區(qū)校級月考）關(guān)于、的方程是二元一次方程，則的值為0．2．（2022春?長興縣期中）方程■是二元一次方程，■是被弄污的的系數(shù)，推斷■的值A(chǔ)．不可能是2 B．不可能是1 C．不可能是 D．不可能是03．（2022春?澧縣期中）下列方程組，是二元一次方程組的是A． B． C． D．4．（2022春?錫山區(qū)校級月考）當(dāng)時，方程是二元一次方程．專題二二元一次方程與二元一次方程組的解典例3（2022春?南召縣期中）已知關(guān)于，的二元一次方程，是不為零的常數(shù)．（1）若是該方程的一個解，求的值；（2）當(dāng)每取一個不為零的值時，都可得到一個方程，而這些方程有一個公共解，試求出這個公共解；【遷移應(yīng)用2】5．（2022春?拱墅區(qū)）已知關(guān)于的方程組和的解相同，則的值為A．0 B． C．1 D．20226．（2022春?福清市期中）關(guān)于，的方程組的解為整數(shù)，則滿足這個條件的整數(shù)的個數(shù)有A．4個 B．3個 C．2個 D．無數(shù)個7．（2022春?淅川縣期中）若關(guān)于，的方程組的解滿足，則的值為A． B．2 C． D．18．（2022春?廣州期中）已知關(guān)于，的方程組的解滿足．（1）求的值；（2）化簡：．專題三代入消元法與加減消元法典例4（2022春?隨州期中）按要求解下列二元一次方程組：（1）用代入法解方程組（2）用加減法解方程組【遷移應(yīng)用3】9．（2021秋?高碑店市期中）閱讀下面第（1）題的解答過程，填全過程然后解答第（2）題．（1）已知與是同類項，求的值．解：根據(jù)同類項的意義，可知的指數(shù)相同，即：，的指數(shù)也相同，即．所以：，即：．所以：．（2）已知與是同類項，求的值．

10．（2022春?樂清市校級月考）若是方程組的解，試求的值．11．（2021秋?城固縣期末）已知關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，求的值．專題四二元一次方程組的實際應(yīng)用典例5（2022春?柯橋區(qū)期中）雅安地震發(fā)生后，全國人民抗震救災(zāi)，眾志成城，值地震發(fā)生一周年之際，某地政府又籌集了重建家園的必需物資120噸打算運往災(zāi)區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設(shè)每輛車均滿載）車型甲乙丙汽車運載量（噸輛）5810汽車運費（元輛）400500600（1）全部物資可用甲型車6輛，乙型車5輛，丙型車5輛來運送．（2）若全部物資都用甲、乙兩種車型來運送，需運費8200元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？（3）已知三種車的總輛數(shù)為14輛，你有哪幾種安排方案剛好運完？哪種運費最省？

【遷移應(yīng)用4】12．（2022春?上城區(qū)校級期中）目前，新型冠狀病毒在我國雖可控可防，但不可松懈，建蘭中學(xué)欲購置規(guī)格分別為和的甲、乙兩種免洗手消毒液若干瓶，已知購買3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，購買1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．（1）求甲、乙兩種免洗手消毒液的單價．（2）該校在校師生共1000人，平均每人每天都需使用的免洗手消毒液，若校方采購甲、乙兩種免洗手消毒液共花費2500元，則這批消毒液可使用多少天？（3）為節(jié)約成本，該校購買散裝免洗手消毒液進行分裝，現(xiàn)需將的免洗手消毒液全部裝入最大容量分別為和的兩種空瓶中（每瓶均裝滿），若分裝時平均每瓶需損耗，請問如何分裝能使總損耗最小，求出此時需要的兩種空瓶的數(shù)量．13．（2022?莆田模擬）為了更好開展勞動教育，某校采購了一批木板供學(xué)生組裝成課桌和椅子．該校共采購類木板400塊，類木板500塊．已知一張課桌需要2塊類木板和1塊類木板，一把椅子需要1塊類木板和2塊類木板．（1）這批木板可以組裝成多少張課桌和多少把椅子？（2）現(xiàn)安排正在上勞動實踐課的九年（1）班的30名學(xué)生來組裝課桌和椅子，已知一名學(xué)生組裝一張課桌需要10分鐘，組裝一把椅子需要7分鐘．應(yīng)當(dāng)如何分組，才能最快完成全部組裝任務(wù)？

14．（2022春?長興縣期中）“冰墩墩”和“雪容融”分別是北京2022年冬奧會和冬殘奧會的吉祥物．2021年十一月初，奧林匹克官方旗艦店上架了“冰墩墩”和“雪容融”這兩款毛絨玩具，當(dāng)月售出了“冰墩墩”200個和“雪容融”100個，銷售總額為32000元．十二月售出了“冰墩墩”300個和“雪容融”200個，銷售總額為52000元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價；（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分別為90元個和60元個．為回饋新老客戶，旗艦店決定對“冰墩墩”降價后再銷售，若一月份銷售出這兩款毛絨玩具的數(shù)量與十二月一樣，求該旗艦店當(dāng)月銷售的利潤．15．（2022春?十堰期中）為更好落實“雙減”精神，提高課后延時服務(wù)質(zhì)量，某校根據(jù)學(xué)校實際，決定本學(xué)期開設(shè)更多運動項目，讓更多學(xué)生參加體育鍛煉，各班自主選擇購買兩種體育器材．（1）七（1）班有部分同學(xué)準(zhǔn)備統(tǒng)一購買新的足球和跳繩．經(jīng)班長統(tǒng)計共需要購買足球的有12名同學(xué)，需要購買跳繩的有10名同學(xué)．請你根據(jù)如圖中班長和售貨員阿姨的對話信息，分別求出足球和跳繩的單價．（2）由于足球和跳繩需求量增大，該體育用品商店老板計劃再次購進足球個和跳繩根（其中，恰好用了1800元，其中足球每個進價為80元，跳繩每根的進價為15元，則最多可以買多少根跳繩？

專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2014春?溫州期中）下列方程中，屬于二元一次方程的是A． B． C． D．2．（2021春?金壇區(qū)期末）若是方程的解，則的值是A． B．4 C．3 D．3．（2020?黑龍江）學(xué)校計劃用200元錢購買、兩種獎品（兩種都要買），種每個15元，種每個25元，在錢全部用完的情況下，有多少種購買方案A．2種 B．3種 C．4種 D．5種4．（2020秋?項城市期末）如圖，利用兩塊相同的長方體木塊（陰影部分）測量一件長方體物品的高度，首先按左圖方式放置，再按右圖方式放置，測量的數(shù)據(jù)如圖，則長方體物品的高度是A． B． C． D．5．（2020秋?鄭州期末）列方程組解古算題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？”題目大意是：幾個人共同購買一件物品，每人出8錢，余3錢；每人出7錢，缺4錢．設(shè)參與共同購物的有個人，物品價值錢，可列方程組為A．B．C． D．6．（2012?杭州模擬）已知．則的值為A．0 B．4 C．6 D．127．（2019?保定三模）設(shè)“●”“■”“▲”分別表示不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，如果要第三架天平也平衡，那么“？”處應(yīng)放“■”的個數(shù)為A．5 B．4 C．3 D．28．（2021春?淮陽區(qū)校級期中）如圖，把一個長為，寬為的長方形分成五塊，其中兩個大長方形和兩個大正方形分別相同，則中間小正方形的邊長為A．4 B．5 C．6 D．79．（2019春?西湖區(qū)校級月考）已知關(guān)于、的方程組給出下列結(jié)論：①是方程組的解；②無論取何值，，的值都不可能互為相反數(shù)；③當(dāng)時，方程組的解也是方程的解；④，的值都為自然數(shù)的解有4對，其中正確的有A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④10．（2019春?西湖區(qū)校級月考）已知，用含的代數(shù)式表示為：．11．（2021?南充）已知關(guān)于，的二元一次方程組的解互為相反數(shù)，則的值是．12．若關(guān)于、的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則的值為．13．（2020秋?北碚區(qū)期末）對于任意實數(shù)，，定義關(guān)于“”的一種運算如下：．例如．若，且，則的值為．14．若關(guān)于、的二元一次方程組的解為，則關(guān)于、的二元一次方程組的解為．15．求方程組：（1）．（2）．（3）．（4）．16．已知是關(guān)于，的二元一次方程組的解，求，的值．17．已知方程組與有相同的解，求、的值及方程組的解．18．已知關(guān)于、的方程組的解滿足，求代數(shù)式的值．19．小明和小麗同解一個二元一次方程組，小明正確解得，小麗因抄錯了，解得．已知小麗除抄錯外沒有發(fā)生其他錯誤，求的值．

小方小程兩人相距，兩人同時相向而行，相遇．同時出發(fā)同向而行，小方可追上小程．兩人的平均速度各是多少？（列二元一次方程組解答）21．（2021秋?涼山州期末）某車間有60個工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件24個或乙種零件12個．已知每2個甲種零件和3個乙種零件配成一套，問應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套？22．節(jié)約用水和合理開發(fā)利用水資源是每個公民應(yīng)盡的責(zé)任和義務(wù)，為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，各地采用價格調(diào)控等手段引導(dǎo)市民節(jié)約用水．某市規(guī)定如下用水收費標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月的用水不超過時，水費按元收費；超過時，超過的部分按元收費．該市某戶居民今年2月份的用水量為9立方米，繳納水費為27元；3月份的用水量為11立方米，繳納水費為37元（1）求、的值；（2）若該市某居民今年4月份的用水量為13.5立方米．則應(yīng)繳納水費多少元？

23．（2019?煙臺）亞洲文明對話大會召開期間，大批的大學(xué)生志愿者參與服務(wù)工作．某大學(xué)計劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去會場，若單獨調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若只調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個座位．（1）計劃調(diào)配36座新能源客車多少輛？該大學(xué)共有多少名志愿者？（2）若同時調(diào)配36座和22座兩種車型，既保證每人有座，又保證每車不空座，則兩種車型各需多少輛？24．（2022?無錫模擬）某快遞公司在我市新設(shè)了一處中轉(zhuǎn)站，預(yù)計每周將運送快遞308噸．為確保完成任務(wù)，該中轉(zhuǎn)站計劃向汽車廠家購買電動、燃油兩種類型的貨車．根據(jù)測算，每輛電動貨車每周能運送快遞48噸，每輛燃油貨車每周能運送快遞36噸．已知汽車廠家售出1輛電動貨車、2輛燃油貨車的總價為39萬元；售出3輛電動貨車、1輛燃油貨車的總價為57萬元．（1）分別求出每輛電動、燃油貨車的價格；（2）考慮到環(huán)保因素，電動貨車最少購買4輛，為確保完成每周的快遞運送任務(wù)，求該中轉(zhuǎn)站最低的購車成本．第07講二元一次方程組最?？键c歸類復(fù)習(xí)（解析版）第一部分典例剖析+遷移應(yīng)用考點一二元一次方程與二元一次方程組典例1（2022春?臺江區(qū)校級期中）下列方程中是二元一次方程的是A． B． C． D．思路引領(lǐng)：根據(jù)二元一次方程的定義即可求出答案．含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程．解：．該方程符合二元二次方程的定義，故不符合題意；．該方程是二元一次方程，故符合題意；．該方程是一元一次方程，故不符合題意；．該方程不是整式方程，故不符合題意．故選：．解題秘籍：本題考查二元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解二元一次方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．典例2（2022春?恩陽區(qū)期中）已知方程組是二元一次方程組，則A．1或 B．2或 C． D．2思路引領(lǐng)：根據(jù)組成二元一次方程組的兩個方程應(yīng)共含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程解答．解：由題意得，，解得．故選：．解題秘籍：本題考查的是二元一次方程組的定義，解答時，一定要緊扣二元一次方程組的定義：組成二元一次方程組的兩個方程應(yīng)共含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．【遷移應(yīng)用1】1．（2022春?南崗區(qū)校級月考）關(guān)于、的方程是二元一次方程，則的值為0．思路引領(lǐng)：根據(jù)二元一次方程定義可得：，且，再解即可．解：由題意得：，且，解得：，故答案為：0．解題秘籍：此題主要考查了二元一次方程，關(guān)鍵是掌握二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．2．（2022春?長興縣期中）方程■是二元一次方程，■是被弄污的的系數(shù)，推斷■的值A(chǔ)．不可能是2 B．不可能是1 C．不可能是 D．不可能是0思路引領(lǐng)：設(shè)■的值為，利用二元一次方程的定義求出的值，即可作出判斷．解：設(shè)■的值為，方程為，由方程為二元一次方程，得到，則■的值不可能是0．故選：．解題秘籍：此題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．3．（2022春?澧縣期中）下列方程組，是二元一次方程組的是A． B． C． D．思路引領(lǐng)：根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．解：．是二元二次方程，不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；．是二元一次方程組，故此選項符合題意；．有三個未知數(shù)，不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；．有一個方程的次數(shù)是2，不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；故選：．解題秘籍：本題主要考查了二元一次方程的定義．一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩個二元一次方程組成的方程組”．4．（2022春?錫山區(qū)校級月考）當(dāng)時，方程是二元一次方程．思路引領(lǐng)：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程，據(jù)此解答即可．解：方程是二元一次方程，，解得．故答案為：2．解題秘籍：此題主要考查了二元一次方程的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．專題二二元一次方程與二元一次方程組的解典例3（2022春?南召縣期中）已知關(guān)于，的二元一次方程，是不為零的常數(shù)．（1）若是該方程的一個解，求的值；（2）當(dāng)每取一個不為零的值時，都可得到一個方程，而這些方程有一個公共解，試求出這個公共解；思路引領(lǐng)：（1）由二元一次方程組的解可求出答案；（2）任取兩個的值，不妨取，，得到兩個方程并組成方程組，解方程組即可．解：（1）把代入方程，得，解得：．（2）任取兩個的值，不妨取，，得到兩個方程并組成方程組．解得．即這個公共解是．解題秘籍：本題考查了二次一次方程的解，解二元一次方程組，解一元一次不等式組等知識，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【遷移應(yīng)用2】5．（2022春?拱墅區(qū)期中）已知關(guān)于的方程組和的解相同，則的值為A．0 B． C．1 D．2022思路引領(lǐng)：原方程組可化為：，用加減消元法解出、，把，代入其它方程組成新的方程組，，用加減消元法解出、，代入計算即可．解：原方程組可化為：，①②，得，把代入②，得，把，代入，得，②①，得，把代入②，得，，故選：．解題秘籍：本題考查了解二元一次方程組，掌握用加減消元法解二元一次方程組是解題關(guān)鍵．6．（2022春?福清市期中）關(guān)于，的方程組的解為整數(shù)，則滿足這個條件的整數(shù)的個數(shù)有A．4個 B．3個 C．2個 D．無數(shù)個思路引領(lǐng)：首先應(yīng)用加減消元法，求出方程組的解是多少；然后根據(jù)方程組的解為整數(shù)，判斷出滿足這個條件的整數(shù)的個數(shù)有多少即可．解：，②①得，，解得，把代入①，解得，原方程組的解是，方程組的解為整數(shù)，，或．當(dāng)時，，此時，不符合題意；當(dāng)時，，此時，不符合題意；當(dāng)時，，此時，符合題意；當(dāng)時，，此時，符合題意；當(dāng)時，，此時，符合題意；當(dāng)時，，此時，符合題意；滿足這個條件的整數(shù)的個數(shù)有4個：，6，2，4．故選：．解題秘籍：此題主要考查了解二元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用．7．（2022春?淅川縣期中）若關(guān)于，的方程組的解滿足，則的值為A． B．2 C． D．1思路引領(lǐng)：先求出只含，的方程組的解，再將解代入中，即可求得的值．解：根據(jù)題意，聯(lián)立，①②，得，把代入①，得，方程組的解．將代入中，得，解得．故選：．解題秘籍：本題考查二元一次方程組的解，正確理解方程組的解的意義是解題的關(guān)鍵．8．（2022春?廣州期中）已知關(guān)于，的方程組的解滿足．（1）求的值；（2）化簡：．思路引領(lǐng)：（1）將方程組的兩個方程相減可得，再將代入即可求出的值；（2）將的值代入后，再根據(jù)絕對值的意義化簡即可．解：（1），①②得，，即③，將代入③得，，解得，；（2）當(dāng)時，原式．解題秘籍：本題考查二元一次方程組，絕對值，掌握二元一次方程組的解法以及絕對值的化簡方法是正確解答的前提．專題三代入消元法與加減消元法典例4（2022春?隨州期中）按要求解下列二元一次方程組：（1）用代入法解方程組（2）用加減法解方程組思路引領(lǐng)：（1）應(yīng)用代入法，求出方程組的解即可．（2）應(yīng)用加減法，求出方程組的解即可．解：（1）由①，可得：③，③代入②，可得：，解得，把代入③，可得：，原方程組的解是．（2）①②，可得，解得，把代入①，可得：解得，原方程組的解是．解題秘籍：此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用．【遷移應(yīng)用3】9．（2021秋?高碑店市期中）閱讀下面第（1）題的解答過程，填全過程然后解答第（2）題．（1）已知與是同類項，求的值．解：根據(jù)同類項的意義，可知的指數(shù)相同，即：，的指數(shù)也相同，即．所以：，即：．所以：．（2）已知與是同類項，求的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)同類項的相同字母的指數(shù)相同，得到與的值，再把看成一個整體，求出其值；（2）仿照（1）的過程求解即可．解：（1）根據(jù)同類項的意義，可知的指數(shù)相同，即：，的指數(shù)也相同，即．所以：，即：．所以：．故答案為：2，5，；（2）根據(jù)同類項的意義，可知的指數(shù)相同，即：，的指數(shù)也相同，即．所以：，即：．所以：．解題秘籍：本題考查了同類項的定義和整體的思想，理解題意掌握解決此類問題的過程，是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022春?樂清市校級月考）若是方程組的解，試求的值．思路引領(lǐng)：將代入方程組可得，先求、的值，再求的值．解：由題意得，將代入原方程組可得，，①②得，，解得，把代入①得，方程組的解為．解題秘籍：本題考查了方程組的解的意義以及二元一次方程組的解法，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題關(guān)鍵．11．（2021秋?城固縣期末）已知關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，求的值．思路引領(lǐng)：根據(jù)題目已知可得，然后代入中進行計算即可解答．解：將代入得：，解得：，，將代入得：，解得．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的解，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．專題四二元一次方程組的實際應(yīng)用典例5（2022春?柯橋區(qū)期中）雅安地震發(fā)生后，全國人民抗震救災(zāi)，眾志成城，值地震發(fā)生一周年之際，某地政府又籌集了重建家園的必需物資120噸打算運往災(zāi)區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設(shè)每輛車均滿載）車型甲乙丙汽車運載量（噸輛）5810汽車運費（元輛）400500600（1）全部物資可用甲型車6輛，乙型車5輛，丙型車5輛來運送．（2）若全部物資都用甲、乙兩種車型來運送，需運費8200元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？（3）已知三種車的總輛數(shù)為14輛，你有哪幾種安排方案剛好運完？哪種運費最省？思路引領(lǐng)：（1）利用使用丙型車的數(shù)量（這批物資的總重量每輛甲型車的運載量使用甲型車的數(shù)量每輛乙型車的運載量使用乙型車的數(shù)量）每輛丙型車得運載量，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)需要輛甲型車，輛乙型車，根據(jù)全部物資都用甲、乙兩種車型來運送且共需運費8200元，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（3）設(shè)需要輛甲型車，輛乙型車，則需要輛丙型車，根據(jù)14輛車共運送物資120噸，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，，均為自然數(shù)，即可得出各安排方案，再利用總運費每輛車的運費安排數(shù)量，即可求出各方案所需總運費，比較后即可得出方案3運費最?。猓海?）（輛．故答案為：5．（2）設(shè)需要輛甲型車，輛乙型車，依題意得：，解得：．答：需要8輛甲型車，10輛乙型車．（3）設(shè)需要輛甲型車，輛乙型車，則需要輛丙型車，依題意得：，．又，，均為自然數(shù)，或或，共有3種運輸方案，方案1：安排4輛甲型車，10輛丙型車，總運費為（元；方案2：安排2輛甲型車，5輛乙型車，7輛丙型車，總運費為（元；方案3：安排10輛乙型車，4輛丙型車，總運費為（元．，方案3運費最?。忸}秘籍：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出二元一次方程．【遷移應(yīng)用4】12．（2022春?上城區(qū)校級期中）目前，新型冠狀病毒在我國雖可控可防，但不可松懈，建蘭中學(xué)欲購置規(guī)格分別為和的甲、乙兩種免洗手消毒液若干瓶，已知購買3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，購買1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．（1）求甲、乙兩種免洗手消毒液的單價．（2）該校在校師生共1000人，平均每人每天都需使用的免洗手消毒液，若校方采購甲、乙兩種免洗手消毒液共花費2500元，則這批消毒液可使用多少天？（3）為節(jié)約成本，該校購買散裝免洗手消毒液進行分裝，現(xiàn)需將的免洗手消毒液全部裝入最大容量分別為和的兩種空瓶中（每瓶均裝滿），若分裝時平均每瓶需損耗，請問如何分裝能使總損耗最小，求出此時需要的兩種空瓶的數(shù)量．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)甲種免洗手消毒液的單價為元，乙種免洗手消毒液的單價為元，根據(jù)“購買3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，購買1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進甲種免洗手消毒液瓶，乙種免洗手消毒液瓶，根據(jù)總價單價數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，再結(jié)合可使用時間免洗手消毒液總體積每天需消耗的體積，即可求出結(jié)論；（3）設(shè)分裝的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根據(jù)需將的免洗手消毒液進行分裝且分裝時平均每瓶需損耗，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為正整數(shù)即可得出各分裝方案，選擇最小的方案即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)甲種免洗手消毒液的單價為元，乙種免洗手消毒液的單價為元，依題意，得：，解得：．答：甲種免洗手消毒液的單價為10元，乙種免洗手消毒液的單價為25元．（2）設(shè)購進甲種免洗手消毒液瓶，乙種免洗手消毒液瓶，依題意，得：，，．答：這批消毒液可使用5天．（3）設(shè)分裝的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，依題意，得：，．，均為正整數(shù)，和．要使分裝時總損耗最小，，即分裝時需的空瓶6瓶，的空瓶14瓶，才能使總損耗最?。忸}秘籍：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．13．（2022?莆田模擬）為了更好開展勞動教育，某校采購了一批木板供學(xué)生組裝成課桌和椅子．該校共采購類木板400塊，類木板500塊．已知一張課桌需要2塊類木板和1塊類木板，一把椅子需要1塊類木板和2塊類木板．（1）這批木板可以組裝成多少張課桌和多少把椅子？（2）現(xiàn)安排正在上勞動實踐課的九年（1）班的30名學(xué)生來組裝課桌和椅子，已知一名學(xué)生組裝一張課桌需要10分鐘，組裝一把椅子需要7分鐘．應(yīng)當(dāng)如何分組，才能最快完成全部組裝任務(wù)？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)這批木板可以組裝成張課桌和把椅子，由題意：該校共采購類木板400塊，類木板500塊．已知一張課桌需要2塊類木板和1塊類木板，一把椅子需要1塊類木板和2塊類木板．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)名學(xué)生來組裝課桌，則有名學(xué)生來組裝椅子，當(dāng)組裝課桌和椅子用的時間相等時，才能最快完成全部組裝任務(wù)，列出分式方程，解得：，再由或時，分別求出完成全部組裝任務(wù)的時間，進而得出結(jié)論．解：（1）設(shè)這批木板可以組裝成張課桌和把椅子，由題意得：，解得：，答：這批木板可以組裝成100張課桌和200把椅子；（2）設(shè)名學(xué)生來組裝課桌，則有名學(xué)生來組裝椅子，當(dāng)組裝課桌和椅子用的時間相等時，才能最快完成全部組裝任務(wù)，則，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，為整數(shù)，或，當(dāng)時，（分鐘），（分鐘），完成全部組裝任務(wù)，需用時83.33分鐘；當(dāng)時，（分鐘），（分鐘），完成全部組裝任務(wù)，需用時82.35分鐘；時，完成全部組裝任務(wù)用時較小，名學(xué)生來組裝課桌，17名學(xué)生來組裝椅子，能最快完成全部組裝任務(wù)．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．14．（2022春?長興縣期中）“冰墩墩”和“雪容融”分別是北京2022年冬奧會和冬殘奧會的吉祥物．2021年十一月初，奧林匹克官方旗艦店上架了“冰墩墩”和“雪容融”這兩款毛絨玩具，當(dāng)月售出了“冰墩墩”200個和“雪容融”100個，銷售總額為32000元．十二月售出了“冰墩墩”300個和“雪容融”200個，銷售總額為52000元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價；（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分別為90元個和60元個．為回饋新老客戶，旗艦店決定對“冰墩墩”降價后再銷售，若一月份銷售出這兩款毛絨玩具的數(shù)量與十二月一樣，求該旗艦店當(dāng)月銷售的利潤．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)“冰墩敏”的銷售單價為元，“雪容融”的銷售單價元，然后根據(jù)售出了“冰墩墩”200個和“雪容融”100個，銷售總額為32000元，售出了“冰墩墩300個和“雪容融”200個，銷售總額為52000元列出方程組并求解即可；（2）根據(jù)“利潤（售價成本價）銷售數(shù)量”．解：（1）設(shè)“冰墩敏”的銷售單價為元，“雪容融”的銷售單價元，則．解方程組得．答：“冰墩敏”的銷售單價為120元，“雪容融”的銷售單價80元；（2）（元．答：該旗艦店當(dāng)月銷售的利潤為12100元．解題秘籍：本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．15．（2022春?十堰期中）為更好落實“雙減”精神，提高課后延時服務(wù)質(zhì)量，某校根據(jù)學(xué)校實際，決定本學(xué)期開設(shè)更多運動項目，讓更多學(xué)生參加體育鍛煉，各班自主選擇購買兩種體育器材．（1）七（1）班有部分同學(xué)準(zhǔn)備統(tǒng)一購買新的足球和跳繩．經(jīng)班長統(tǒng)計共需要購買足球的有12名同學(xué)，需要購買跳繩的有10名同學(xué)．請你根據(jù)如圖中班長和售貨員阿姨的對話信息，分別求出足球和跳繩的單價．（2）由于足球和跳繩需求量增大，該體育用品商店老板計劃再次購進足球個和跳繩根（其中，恰好用了1800元，其中足球每個進價為80元，跳繩每根的進價為15元，則最多可以買多少根跳繩？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)足球和跳繩的單價分別為元、元，由圖中信息列出方程組，解方程組解可；（2）由題意得，當(dāng)全買足球時，可買足球的數(shù)量為22.5，然后求出方程的正整數(shù)解，即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)足球的單價為元，跳繩的單價為元，由題意得：，解得：，答：足球的單價為100元，跳繩的單價為20元；（2）由題意得：，，當(dāng)全買足球時，可買足球的數(shù)量為：（個，，又、為正整數(shù)，或，最多可以買24根跳繩，答：最多可以買24根跳繩．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2014春?溫州期中）下列方程中，屬于二元一次方程的是A． B． C． D．思路引領(lǐng)：根據(jù)二元一次方程的定義判斷即可．解：、不是二元一次方程，故本選項錯誤；、不是二元一次方程，故本選項錯誤；、是二元一次方程，故本選項正確；、不是二元一次方程，故本選項錯誤；故選：．解題秘籍：本題考查了對二元一次方程定義的應(yīng)用，注意：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)項的最高次數(shù)是1的整式方程，叫二元一次方程．2．（2021春?金壇區(qū)期末）若是方程的解，則的值是A． B．4 C．3 D．思路引領(lǐng)：把方程的已知解代入中，得到一個含有未知數(shù)的一元一次方程，然后就可以求出的值．解：把代入二元一次方程中，可得：，解得：，故選：．解題秘籍：此題考查了二元一次方程的解，解題關(guān)鍵是把二元一次方程的已知解代入二元一次方程，使原方程轉(zhuǎn)化為以系數(shù)為未知數(shù)的方程，然后解此方程即可．3．（2020?黑龍江）學(xué)校計劃用200元錢購買、兩種獎品（兩種都要買），種每個15元，種每個25元，在錢全部用完的情況下，有多少種購買方案A．2種 B．3種 C．4種 D．5種思路引領(lǐng)：設(shè)購買了種獎品個，種獎品個，根據(jù)學(xué)校計劃用200元錢購買、兩種獎品，其中種每個15元，種每個25元，錢全部用完可列出方程，再根據(jù)，為正整數(shù)可求出解．解：設(shè)購買了種獎品個，種獎品個，根據(jù)題意得：，化簡整理得：，得，，為正整數(shù)，，，有2種購買方案：方案1：購買了種獎品5個，種獎品5個；方案2：購買了種獎品10個，種獎品2個．故選：．解題秘籍：本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意列出二元一次方程，然后根據(jù)解為非負整數(shù)確定出，的值．4．（2020秋?項城市期末）如圖，利用兩塊相同的長方體木塊（陰影部分）測量一件長方體物品的高度，首先按左圖方式放置，再按右圖方式放置，測量的數(shù)據(jù)如圖，則長方體物品的高度是A． B． C． D．思路引領(lǐng)：設(shè)長方體木塊的長為，寬為，長方體物品的高為，由圖中數(shù)據(jù)建立方程組求出其解即可得出結(jié)論．解：設(shè)長方體木塊的長為，寬為，長方體物品的高為，由題意得：，兩式相加得：，解得：，故選：．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，列出方程組是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋?鄭州期末）列方程組解古算題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？”題目大意是：幾個人共同購買一件物品，每人出8錢，余3錢；每人出7錢，缺4錢．設(shè)參與共同購物的有個人，物品價值錢，可列方程組為A． B． C． D．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可以找出題目中的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．解：設(shè)參與共同購物的有個人，物品價值錢，可列方程組為，故選：．解題秘籍：本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．6．（2012?杭州模擬）已知．則的值為A．0 B．4 C．6 D．12思路引領(lǐng)：根據(jù)已知得出關(guān)于、的方程組，求出方程組的解，把、的值代入求出即可．解：，，，即，①②得：，，把代入①得：，，，，，，故選：．解題秘籍：本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，代數(shù)式求出值等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出關(guān)于、的方程組，注意：兩個非負數(shù)的和為0，這兩個數(shù)必須都為0．7．（2019?保定三模）設(shè)“●”“■”“▲”分別表示不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，如果要第三架天平也平衡，那么“？”處應(yīng)放“■”的個數(shù)為A．5 B．4 C．3 D．2思路引領(lǐng)：設(shè)“●”“■”“▲”分別為、、，由圖列出方程組解答即可解決問題．解：設(shè)“●”“■”“▲”分別為、、，由圖（1）（2）可知，，解得，，所以，即“■”的個數(shù)為5．故選：．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組．解決此題的關(guān)鍵列出方程組，求解時用其中的一個數(shù)表示其他兩個數(shù)，從而使問題解決．8．（2021春?淮陽區(qū)校級期中）如圖，把一個長為，寬為的長方形分成五塊，其中兩個大長方形和兩個大正方形分別相同，則中間小正方形的邊長為A．4 B．5 C．6 D．7思路引領(lǐng)：大正方形的邊長為，設(shè)小正方形的邊長為，由題意：把一個長為，寬為的長方形分成五塊，列出方程組，解方程組即可．解：設(shè)大正方形的邊長為，設(shè)小正方形的邊長為，由題意得：，解得：，小正方形的邊長為，故選：．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．（2019春?西湖區(qū)校級月考）已知關(guān)于、的方程組給出下列結(jié)論：①是方程組的解；②無論取何值，，的值都不可能互為相反數(shù)；③當(dāng)時，方程組的解也是方程的解；④，的值都為自然數(shù)的解有4對，其中正確的有A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④思路引領(lǐng)：①將，代入檢驗即可做出判斷；②將和分別用表示出來，然后求出來判斷；③將代入方程組求出方程組的解，代入方程中檢驗即可；④由得到、都為自然數(shù)的解有4對．解：①將，代入方程組得：，由①得，由②得，故①不正確．②解方程①②得：解得：，將的值代入①得：，所以，故無論取何值，、的值都不可能互為相反數(shù)，故②正確．③將代入方程組得：，解此方程得：，將，代入方程，方程左邊右邊，是方程的解，故③正確．④因為，所以、都為自然數(shù)的解有，，，．故④正確．則正確的選項有②③④．故選：．解題秘籍：此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．10．（2019春?西湖區(qū)校級月考）已知，用含的代數(shù)式表示為：．思路引領(lǐng)：根據(jù)，可得：，據(jù)此用含的代數(shù)式表示即可．解：，，解得．故答案為：．解題秘籍：此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．11．（2015?南充）已知關(guān)于，的二元一次方程組的解互為相反數(shù)，則的值是．思路引領(lǐng)：將方程組用表示出，，根據(jù)方程組的解互為相反數(shù)，得到關(guān)于的方程，即可求出的值．解：解方程組得：，因為關(guān)于，的二元一次方程組的解互為相反數(shù)，可得：，解得：．故答案為：．解題秘籍：此題考查方程組的解，關(guān)鍵是用表示出，的值．12．（2009?德州）若關(guān)于、的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則的值為．思路引領(lǐng)：先用含的代數(shù)式表示、，即解關(guān)于，的方程組，再代入中可得．解：根據(jù)題意組，得，，，把，代入二元一次方程，得：，．故答案為：解題秘籍：理解清楚題意，運用三元一次方程組的知識，解出的數(shù)值．13．（2020秋?北碚區(qū)期末）對于任意實數(shù)，，定義關(guān)于“”的一種運算如下：．例如．若，且，則的值為6．思路引領(lǐng)：利用題中的新定義化簡已知等式列出方程組，求出方程組的解即可求出所求．解：根據(jù)題中的新定義得：，①②得：．故答案為：6．解題秘籍：此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．14．若關(guān)于、的二元一次方程組的解為，則關(guān)于、的二元一次方程組的解為．思路引領(lǐng)：根據(jù)已知方程組的解列出關(guān)于與的方程組，求出解即可．解：方程組的解為，，關(guān)于、的二元一次方程組的解為．故答案為：．解題秘籍：此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．15．求方程組：（1）．（2）．（3）．（4）．思路引領(lǐng)：（1）運用加減消元法求解即可；（2）運用代入消元法求解即可；（3）運用加減消元法求解即可；（4）先整理得，再運用加減消元法求解即可．解：（1），①②，得：，解得：，把代入②，得，解得：，原方程組的解是．（2），把①代入②，得，解得：，把代入①，得，原方程組的解是．（3），①②，得，解得：，把代入①，得，解得：，原方程組的解是．（4）原方程組可化為，①②，得，解得：，把代入①，得，解得：，原方程組的解是．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的解法，靈活選擇加減消元法或代入消元法是解題關(guān)鍵．16．已知是關(guān)于，的二元一次方程組的解，求，的值．思路引領(lǐng)：將與代入值代入方程組計算求出與的值即可．解：將，代入方程組得：，①②得：，即，將代入②得：．解題秘籍：此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．17．已知方程組與有相同的解，求、的值及方程組的解．思路引領(lǐng)：根據(jù)兩個方程組解相同，可先求出、的值，再將、的值代入其余兩個方程即可求出、的值．解：根據(jù)題意，得，解得，把、的值代入方程組，可得，解得．答：，，方程組的解為．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是先求出、的值．18．已知關(guān)于、的方程組的解滿足，求代數(shù)式的值．思路引領(lǐng)：把看作已知數(shù)求出與，代入，求出的值，即可確定出原式的值．解：，①②得：，把代入②得：，代入得：，解得：，則原式．解題秘籍：此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．19．小明和小麗同解一個二元一次方程組，小明正確解得，小麗因抄錯了，解得．已知小麗除抄錯外沒有發(fā)生其他錯誤，求的值．思路引領(lǐng)：因為小明的解正確，所以可以代入任何一個方程，代入①可求的值，代入②得；因為小麗抄錯了，因此可以代入②中，得，建立方程組，可以得出、的值，從而求出結(jié)論．解：將代入①得，，，將代入②得，③，將代入②得，，④，將③，④聯(lián)立，，解之得，所以．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的解，要求方程組的字母系數(shù)，通常采用代入法，將正確的解代入即可．20．小方小程兩人相距，兩人同時相向而行，相遇．同時出發(fā)同向而行，小方可追上小程．兩人的平均速度各是多少？（列二元一次方程組解答）思路引領(lǐng)：設(shè)小方的速度是千米時，小程的速度是千米時，根據(jù)兩人相距6千米，兩人同時出發(fā)相向而行，1小時相遇；同時出發(fā)同向而行小方可追上小程，可列方程組求解．解：設(shè)小方的速度是千米小時，小程的速度是千米小時，，解得：答：小方的速度是4千米時，小程的速度是2千米時．解題秘籍：本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用問題行程問題，根據(jù)相遇和追及兩種情況列出方程組求解，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．21．（2021秋?涼山州期末）某車間有60個工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件24個或乙種零件12個．已知每2個甲種零件和3個乙種零件配成一套，問應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套？思路引領(lǐng)：設(shè)應(yīng)分配人生產(chǎn)甲種零件，則人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種種零件剛好配套，根據(jù)每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件24個或乙種零件12個，可列方程求解．解：設(shè)分配人生產(chǎn)甲種零件，則共生產(chǎn)甲零件個和乙零件，依題意得方程：，解得，（人．答：應(yīng)分配15人生產(chǎn)甲種零件，45人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套．解題秘籍：本題考查一元一次方程的應(yīng)用和理解題意的能力，關(guān)鍵是設(shè)出生產(chǎn)甲和乙的人數(shù)，以配套的比例列方程求解．2