第28章《銳角三角函數(shù)》（教師版）

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊易錯題真題匯編（提高版）第28章《銳角三角函數(shù)》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?黔江區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，則AC的長為（）A．6 B．2 C．3 D．9解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，∴BC＝AB?cosB＝9×＝6，∴AC＝＝＝3，故選：C．2．（2分）（2023?新華區(qū)校級模擬）題目：“如圖，∠MON＝60°，點(diǎn)B在射線OM上，，射線OA在∠MON的內(nèi)部，∠AOM＝45°，點(diǎn)P在射線OA上，且∠OBP＝∠AON，Q是射線PA上的動點(diǎn)，當(dāng)△BPQ是鈍角三角形時，求PQ的取值范圍．”對于其答案，甲答：0＜PQ＜2，乙答：2＜PQ＜8，丙答：PQ＞8，則正確的是（）A．只有乙答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整解：∵∠OBP＝∠AON，∴∠BPA＝∠OBP+∠BOP＝∠AON+∠BOP＝∠MON＝60°．①當(dāng)∠BQP為鈍角時，如圖所示，過點(diǎn)B作BH⊥OA于點(diǎn)H，在Rt△OHB中，BH⊥OA，∠AOM＝45°，則OH＝BH＝＝2．在Rt△PHB中，BH⊥OA，∠PBH＝90°﹣∠BPA＝30°，則PH＝＝2，BP＝2PH＝4．由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段PH上時，可滿足∠BQP為鈍角，∴0＜PQ＜2．②當(dāng)∠PBQ為鈍角時，如圖所示，過點(diǎn)B作BE⊥BP交射線OA于點(diǎn)E，在Rt△PBE中，BE⊥BP，∠PEB＝90°﹣∠BPA＝30°，則PE＝2BP＝8．由圖可知，當(dāng)點(diǎn)Q在線段PE的延長線上時，可滿足∠PBQ為鈍角，∴PQ＞8．綜上，0＜PQ＜2或PQ＞8，則甲、丙答案合在一起才完整．故選：B．3．（2分）（2023?南充）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．米 B．米 C．x?sinα米 D．x?cosα米解：由題意得：BC⊥AB，在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，∴AC＝＝（米），∴A，C兩處相距米，故選：B．4．（2分）（2023?思明區(qū)校級模擬）如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長為140m的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）A．140m B． C． D．解：如圖：∵該金字塔的下底面是一個邊長為140m的正方形，∴BC＝×140＝70（m），∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴AC＝BC?tan60°＝70（m），∴則金字塔原來高度為70m，故選：B．5．（2分）（2023?婺城區(qū)模擬）安裝了軟件“SmartMeasure”的智能可以測量物高．其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過測量離地面的高度、物體底端的俯角和頂端的仰角即可知道物體高度．如圖2小明測得大樹底端C點(diǎn)的俯角α，頂端D點(diǎn)的仰角β，點(diǎn)A離地面的高度AB＝am．則大樹CD的高為（）A．a(chǎn)（tanα+tanβ）米 B．a(chǎn)（sinα+sinβ）米 C．a(chǎn)（+1）米 D．a(chǎn)（+1）米解：過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，由題意得：AB＝CE＝am，AE＝CB，AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB＝α，在Rt△ABC中，BC＝＝（m），∴AE＝BC＝m，在Rt△AED中，∠DAE＝β，∴DE＝AE?tanβ＝?tanβ＝（m），∴DC＝DE+CE＝a+＝a（+1）（m），故選：D．6．（2分）（2023?日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測得燈塔最高點(diǎn)A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進(jìn)至C處測得最高點(diǎn)A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是（）（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m解：由題意得：AD⊥BD，設(shè)CD＝xm，∵BC＝15.3m，∴BD＝BC+CD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝BD?tan45°＝（x+15.3）m，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴AD＝CD?tan60°＝x（m），∴x＝（x+15.3），解得：x≈21.0，∴AD＝x+15.3≈36（m），∴燈塔的高度AD大約是36m，故選：B．7．（2分）（2023?東港區(qū)校級二模）為出行方便，越來越多的日照市民使用起了共享單車，圖1為單車實(shí)物圖，圖2為單車示意圖，AB與地面平行，點(diǎn)A、B、D共線，點(diǎn)D、F、G共線，坐墊C可沿射線BE方向調(diào)節(jié)．已知∠ABE＝70°，車輪半徑為20cm，當(dāng)BC＝60cm時，小明體驗(yàn)后覺得騎著比較舒適，此時坐墊C離地面高度約為（）（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．80cm B．76cm C．72cm D．70cm解：過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，在Rt△BCH中，∠ABE＝70°，BC＝60cm，∴CH＝BC?sin70°≈60×0.94＝56.4（cm），∵車輪半徑為20cm，∴此時坐墊C離地面高度＝56.4+20≈76（cm），∴此時坐墊C離地面高度約為76cm，故選：B．8．（2分）（2023?衢州二模）某停車場入口欄桿如圖，欄桿從水平位置AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到CD的位置，已知AO＝a，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠BOC＝36°，則欄桿端點(diǎn)A上升的垂直高度DE的長為（）A．a(chǎn)sin36° B．a(chǎn)cos36° C． D．a(chǎn)tan36°解：如圖：過點(diǎn)D作DE⊥AO，垂足為E，由題意得：OA＝OD＝a，∠BOC＝∠AOD＝36°，在Rt△DOE中，DE＝OD?sin36°＝asin36°，∴欄桿端點(diǎn)A上升的垂直高度DE的長為asin36°，故選：A．9．（2分）（2020秋?北碚區(qū)校級期末）北碚區(qū)政府計(jì)劃在縉云山半山腰建立一個基站AB，其設(shè)計(jì)圖如圖所示，BF，ED與地面平行，CD的坡度為i＝1：0.75，EF的坡角為45°，小王想利用所學(xué)知識測量基站頂部A到地面的距離，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山腳C點(diǎn)處測得基站底部B的仰角為37°，在F點(diǎn)處測得基站頂部A的仰角為60°，則基站頂部A到地面的距離為（）（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米解：如圖，延長AB交過點(diǎn)C的水平線于M，交DE延長線于點(diǎn)N，作DG⊥MC于G，F(xiàn)H⊥DN于H，∵CD的坡度為i＝1：0.75＝，∴＝，設(shè)DG＝4k米，CG＝3k米，則CD＝5k米，∴5k＝15，∴k＝3，∴DG＝12米，CG＝9米，∵EF的坡角為45°，EF＝3米，∴EH＝FH＝3米，∵四邊形BNHF和四邊形DGMN是矩形，∴BF＝NH＝DE，BN＝FH＝3米，DN＝MG，NM＝DG＝12米，∴BM＝BN+NM＝15米，在Rt△BCM中，∠BCM＝37°，MC＝MG+CG＝DN+CG＝NH+HE+DE+CG＝2BF+3+9＝（2BF+12）米，∴BM＝CM?tan∠BCM，∴15＝（2BF+12）×0.75，∴BF＝4米，在Rt△ABF中，∠AFB＝60°，∴AB＝BF?tan60°＝4≈6.92（米），∴AM＝AB+BM＝6.92+15≈21.9（米）．故選：B．10．（2分）（2023?無錫二模）如圖，在△BDE中，∠BDE＝90°，，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，0），tan∠BDO＝，將△BDE旋轉(zhuǎn)到△ABC的位置，點(diǎn)C在BD上，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（）?A． B． C． D．解：如圖，連接AD，取AD的中點(diǎn)O′，連接O′B，O′C，O′E，過點(diǎn)B作x軸的垂線交x軸于N，與過點(diǎn)A作y軸的垂線相交于點(diǎn)M，由旋轉(zhuǎn)可知，BD＝AB＝4，∠ABC＝∠BDE＝90°，∠BAC＝∠DBE，∴AD＝＝8，∵點(diǎn)O′是AD的中點(diǎn)，∴O′A＝O′B＝O′D＝AD＝4，∴點(diǎn)O′是點(diǎn)A、點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)O′也是點(diǎn)D、點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)中心，∵∠O′AC+∠BAC＝45°＝∠O′BE+∠DBE，∴∠O′AC＝∠O′BE，又∵O′A＝O′B，AC＝BE，∴△O′AC≌△O′BE（SAS），∴O′C＝O′E，∴點(diǎn)O′是點(diǎn)E、點(diǎn)C的旋轉(zhuǎn)中心，因此點(diǎn)O′是△BDE旋轉(zhuǎn)到△ABC的旋轉(zhuǎn)中心，∵∠DBN+∠ABM＝180°﹣90°＝90°，∠DBN+∠BDN＝90°，∴∠ABM＝∠BDN，∵∠BND＝∠AMB＝90°，AB＝DB，∴△ABM≌△BDN（AAS），∴AM＝BN，BM＝DN，在Rt△BDN中，由于tan∠BDN＝＝，設(shè)BN＝x，則DN＝3x，由勾股定理得，BN2+DN2＝BD2，即x2+（3x）2＝（4）2，解得x＝（取正值），即BN＝AM＝，∴DN＝BM＝3BN＝，∴O′N＝4﹣＝，∴MN＝BN+MB＝+＝，∴點(diǎn)A（，）∵點(diǎn)D（4，0）∴AD中點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（，），故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?咸寧三模）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若AB＝20m，則這棵樹CD的高度約為12.7m．（按四舍五入法將結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：）解：由題意得：CD⊥AB，設(shè)BD＝x米，在Rt△BDC中，∠CBD＝60°，∴CD＝BD?tan60°＝x（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴AD＝＝x（米），∵AD+BD＝AB，∴x+x＝20，∴x＝10﹣10，∴CD＝x＝30﹣10≈12.7（米），∴這棵樹CD的高度約為12.7米，故答案為：12.7．12．（2分）（2023?英德市一模）圖①是一輛吊車的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，AC是可以伸縮的起重臂，共轉(zhuǎn)動點(diǎn)A離地面BD的高度AH為3.4m．當(dāng)AC＝9m，∠HAC＝118°時，則操作平臺C離地面的高度為7.6m．（結(jié)果精確到0.1米）【參考數(shù)據(jù)：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過A作AF⊥CE于點(diǎn)F則四邊形AHEF為矩形，∴EF＝AH＝3.4，∠HAF＝90°，∵∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝28°，在Rt△AFC中，sin∠ACF＝，∴CF＝AC?sin∠CAF＝9×0.47≈4.23（m），∴CE＝CF+FE≈7.6（m）；故答案為：7.6m．13．（2分）（2023?南山區(qū)二模）“灣區(qū)之光”摩天輪位于深圳市華僑城歡樂港灣內(nèi)，是深圳地標(biāo)性建筑之一，摩天輪采用了世界首創(chuàng)的魚鰭狀異形大立架，有28個進(jìn)口轎廂，每個轎廂可容納25人．小亮在轎廂B處看摩天輪的圓心O處的仰角為30°，看地面A處的俯角為45°（如圖所示，OA垂直于地面），若摩天輪的半徑為54米，則此時小亮到地面的距離BC為27米．（結(jié)果保留根號）解：過點(diǎn)B作BD⊥OA，垂足為D，則AD＝BC，在Rt△ODB中，∠OBD＝30°，OB＝54米，∴OD＝OB＝27（米），DB＝OD＝27（米），在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴AD＝DB?tan45°＝27（米），∴AD＝BC＝27米，∴小亮到地面的距離BC為27米，故答案為：27．14．（2分）（2023?西城區(qū)校級模擬）在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則sin∠ABC為．解：如圖：在Rt△ABD中，AD＝1，BD＝3，∴AB＝＝＝，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．15．（2分）（2023?泰安）在一次綜合實(shí)踐活動中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測量．如圖，在塔前C處，測得該塔頂端B的仰角為50°，后退60m（CD＝60m）到D處有一平臺，在高2m（DE＝2m）的平臺上的E處，測得B的仰角為26.6°．則該電視發(fā)射塔的高度AB為55m．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）解：過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，由題意得：AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA，設(shè)AC＝xm，∵CD＝60m，∴EF＝AD＝AC+CD＝（x+60）m，在Rt△ABC中，∠BCA＝50°，∴AB＝AC?tan50°≈1.2x（m），在Rt△FBE中，∠BEF＝26.6°，∴BF＝EF?tan26.6°≈0.5（x+60）m，∴AB＝BF+AF＝[2+0.5（x+60）]m，∴1.2x＝2+0.5（x+60），解得：x＝，∴AB＝1.2x≈55（m），∴該電視發(fā)射塔的高度AB為約為55m，故答案為：55．16．（2分）（2023?武昌區(qū)模擬）如圖是某廠家新開發(fā)的一款摩托車，它的大燈射出的光線AB、AC與地面MN的夾角分別為8°和10°，該大燈照亮地面的寬度BC的長為1.4米，則該大燈距地面的高度約為1米．（參考數(shù)據(jù)：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10°≈）．解：過點(diǎn)A作AD⊥MN，垂足為D，設(shè)DC＝x米，∵BC＝1.4米，∴DB＝DC+BC＝（x+1.4）米，在Rt△ADC中，∠ACD＝10°，∴AD＝CD?tan10°≈x（米），在Rt△ADB中，∠ABD＝8°，∴AD＝BD?tan8°≈（x+1.4）米，∴x＝（x+1.4），∴x＝5.6，∴AD＝x＝1（米），∴該大燈距地面的高度約為1米．故答案為：1米．17．（2分）（2023?南山區(qū)校級二模）如圖所示，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球A處與樓的水平距離為150米，則這棟樓的高度為200米．解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：AD＝150米，在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，∴BD＝AD?tan30°＝150×＝50（米），在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，∴CD＝AD?tan60°＝150（米），∴BC＝BD+CD＝200（米），∴這棟樓的高度為200米，故答案為：200．18．（2分）（2023?濟(jì)寧）某數(shù)學(xué)活動小組要測量一建筑物的高度，如圖，他們在建筑物前的平地上選擇一點(diǎn)A，在點(diǎn)A和建筑物之間選擇一點(diǎn)B，測得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的測角儀在A處測得建筑物頂部E的仰角為30°，在B處測得仰角為60°，則該建筑物的高是（15+1）m．解：如圖：延長CD交EF于點(diǎn)G，由題意得：DB＝AC＝FG＝1m，CG⊥EF，DC＝AB＝30m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，∵∠EDG是△EDC的一個外角，∴∠DEC＝∠EDG﹣∠ECG＝30°，∴∠DEC＝∠ECD＝30°，∴ED＝CD＝30m，在Rt△EGD中，EG＝ED?sin60°＝30×＝15（m），∴EF＝EG+FG＝（15+1）m，∴該建筑物的高是（15+1）m，故答案為：（15+1）m．19．（2分）（2023?南崗區(qū)一模）在△ABC中，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AC上，AD＝2AE，連接BD交CE于點(diǎn)F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，則CD長為．解：在BE上取一點(diǎn)G，使EG＝EA，連接GC，則AG＝2AE，∵AD＝2AE，∴AD＝AG，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝∠GEC＝90°，在△ACE和△GCE中，∴△ACE≌△GCE（SAS），∴∠ECA＝∠ECG，∴∠ACG＝2∠ECA，∵CE⊥AB，∴∠ABD+∠BFE＝90°，∵2∠ECA+∠BFE＝90°，∴∠ABD＝2∠ECA，∴∠ABD＝∠ACG，在△ABD和△ACG中，∴△ABD≌△ACG（ASA），∴AB＝AC，∵，∴設(shè)EC＝12k，AE＝5k，∴AD＝2AE＝10k，∴CD＝AC﹣AD＝13k﹣10k＝3k，在Rt△AEC中，AC＝＝＝13k，∴AB＝13k，∴BE＝AB﹣AE＝13k﹣5k＝8k，在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，∵BE＝8k，CE＝12k，BC＝39，∴（8k）2+（12k）2＝392，解得k＝．∵CD＝3k＝，故答案為：．20．（2分）（2023?五常市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC，tan∠ADC＝，延長AB、DC交于點(diǎn)P，若CD＝，PB＝3CD，則線段AD的長為．解：作AM⊥PD于M，CN⊥PA于N，∴∠AMD＝∠CNB＝90°，∵AD＝BC，∠ADC＝∠ABC，∴△AMD≌△CNB（AAS），∴AM＝CN，NB＝DM，∵∠APM＝∠CPN，∠PNC＝∠PMA＝90°，AM＝CN，∴△PCN≌△PAM（AAS），∴PN＝PM，∵tan∠ADC＝＝，∴令A(yù)M＝4x，MD＝3x，∴CN＝AM＝4x，NB＝MD＝3x，∵PB＝3CD＝3×＝，∴PN＝PB+BN＝+3x，∴PM＝PN＝+3x，∵M(jìn)C＝MD﹣CD＝3x﹣，∴PC＝PM+MC＝6x+，∵PC2＝PN2+CN2，∴＝+（4x）2，∴16x2+24x﹣55＝0，∴x＝或x＝﹣（舍），∵AD＝＝5x，∴AD＝5×＝．故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?朝陽區(qū)校級期末）計(jì)算：．解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．22．（8分）（2023?瓊海模擬）學(xué)校運(yùn)動場的四角各有一盞燈，其中一盞燈B的位置如圖所示，燈桿AB的正前方有一斜坡AC．已知斜坡AC的長為12m，坡度i＝1：，坡角為α．燈光受燈罩的影響，最遠(yuǎn)端的光線與地面的夾角β為27°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角∠BCG＝60°，A、B、C、D、G在同一平面上．（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，≈1.73．）（1）∠α＝30度，∠ABD＝63度；（2）求燈桿AB的高度；（3）求CD的長度．（結(jié)果精確到0.1m）解：（1）∵坡度i＝1：，坡角為α，∴tanα＝＝，∴∠α＝30°；∵β＝27°，∴∠ABD＝90°﹣β＝63°，故答案為：30，63；（2）延長BA交CG于點(diǎn)E，則BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC?cosα＝12×＝6（m），在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，∴BE＝CE?tan∠BCE＝6×＝18（m），∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m），答：燈桿AB的高度為12m；（3）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈25.6（m），答：CD的長度約為25.6m．23．（6分）（2023?朝陽二模）高樓AB和斜坡CD的縱截面如圖所示，斜坡CD的底部點(diǎn)C與高樓AB的水平距離CB為150米，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，坡頂D到BC的垂直距離DE＝50米，在點(diǎn)D處測得高樓樓頂點(diǎn)A的仰角為50°，求高樓的高度AB（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）解：過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝BF＝50米，DF＝BE，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝50米，∴＝，∴CE＝2.4DE＝2.4×50＝120（米），∵BC＝150米，∴DF＝BE＝BC﹣CE＝150﹣120＝30（米），在Rt△ADF中，∠ADF＝50°，∴AF＝DF?tan50°≈30×1.192＝35.76（米），∴AB＝BF+AF＝50+35.76≈85.8（米），∴高樓的高度AB為85.8米．24．（8分）（2023?永豐縣模擬）2021年11月9日是我國第30個“全國消防宣傳日”，該年“119消防宣傳月”活動的主題是“落實(shí)消防責(zé)任，防范安全風(fēng)險(xiǎn)”．為落實(shí)該主題，江西省南昌市消防大隊(duì)到某小區(qū)進(jìn)行消防演習(xí)．已知，圖1是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖2是其工作示意圖，起重臂AC可伸縮（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），轉(zhuǎn)動點(diǎn)A距離地面BD的高度AE為3.5m．（1）當(dāng)起重臂AC長度為15m，云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面BD的高度為11m，求張角∠CAE的大?。唬?）已知該小區(qū)層高為2.8m，若某9樓居民家突發(fā)險(xiǎn)情，請問該消防車能否實(shí)施有效救援？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.732）解：（1）過點(diǎn)A作AM⊥CD，垂足為M，則AE＝MF＝3.5米，∠EAM＝90°，∵CF＝11米，∴CM＝CF﹣MF＝11﹣3.5＝7.5（米），在Rt△ACM中，AC＝15米，∴sin∠CAM＝＝＝，∴∠CAM＝30°，∴∠CAE＝∠EAM+∠CAM＝120°，∴張角∠CAE為120°；（2）該消防車不能實(shí)施有效救援，理由：當(dāng)∠CAE＝150°，AC＝20m時，能達(dá)到最高高度，∵∠EAM＝90°，∴∠CAM＝∠CAE﹣∠EAM＝60°，在Rt△CAM中，CM＝AC?sin60°＝20×＝10（m），∴CF＝CM+MF＝10+3.5≈20.82（m），∵8×2.8＝22.4（m），∴20.82＜22.4，∴該消防車不能實(shí)施有效救援．25．（8分）（2023?橋西區(qū)校級模擬）如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB．已知儀器在A處測得點(diǎn)D的仰角為14°，水深DH＝1.6m（點(diǎn)D到河底線AB的距離）．（1）求∠ADH的大小及AB的長；（2）受暴雨影響，水面以平均每小時0.3m的速度升高，若不及時進(jìn)行開閘泄洪，則經(jīng)過多長時間水面將淹沒整個橋洞？（參考數(shù)據(jù)：tan76°取4）解：（1）連接BD，由題意得：DH⊥AB，∴∠AHD＝∠BHD＝90°，∵∠DAH＝14°，∴∠ADH＝90°﹣∠DAH＝76°，在Rt△ADH中，DH＝1.6m，∴AH＝DH?tan76°≈1.6×4＝6.4（m），∵AB是半⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAH＝76°，在Rt△BDH中，BH＝≈＝0.4（m），∴AB＝AH+BH＝6.8（m），∴∠ADH的度數(shù)為76°，AB的長約為6.8m；（2）由（1）可得：AB＝6.8m，∴OB＝OA＝AB＝3.4（m），∵DH＝1.6m，∴＝＝6（小時），∴經(jīng)過6小時水面將淹沒整個橋洞．26．（8分）（2023?宜陽縣三模）紅旗渠，位于河南安陽林州市，是全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，被人稱之為“人工天河”．某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組到紅旗渠景區(qū)測量總干渠分水閘的樓高．如圖，斜坡CD的坡底C、樓AB的底部B與點(diǎn)F在同一水平線上．已知斜坡的坡角為8°，斜坡CD長為10m，BC長為8.46m，在點(diǎn)D處測得樓頂A的仰角為30°，求樓AB的高．（結(jié)果精確到1m．sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，≈1.73）?解：過點(diǎn)D作DG⊥BF，垂足為G，由題意得：BE＝DG，DE＝BG，DE⊥AB，在Rt△CDG中，∠DCG＝8°，CD＝10m，∴DG＝CD?sin8°≈10×0.14＝1.4（m），CG＝CD?cos8°≈10×0.99＝9.9（m），∴BE＝DG＝1.4m，∵BC＝8.46m，∴DE＝BG＝BC+CG＝8.46+9.9＝18.36（m），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝DE?tan30°＝18.36×＝6.12（m），∴AB＝AE+BE＝6.12+1.4≈12（m），∴樓AB的高約為12m．27．（8分）（2023?濟(jì)南三模）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長CD＝18m，斜坡CD的坡度．小文在點(diǎn)C處測得樓頂端A的仰角為63°，在D點(diǎn)處測得樓頂端A的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin63°≈，cos63°≈，tan63°≈2，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，）（1）求∠CAD度數(shù)；（2）求居民樓的高度AB．解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，由題意得：DF∥BE，∵斜坡CD的坡度，∴＝＝，在Rt△DCE中，tan∠DCE＝＝，∴∠DCE＝30°