專題05勾股定理與網(wǎng)格問題(原卷版+解析)

專題05勾股定理與網(wǎng)格問題知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點(diǎn)1．勾股定理的性質(zhì)定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即：在Rt△ABC中，如果a，b為直角邊，c為斜邊，那么。）勾股定理的變式：、、、勾股定理與網(wǎng)格問題該問題主要考查的知識點(diǎn)就是根據(jù)網(wǎng)格的長度，并應(yīng)用勾股定理求邊長，及面積的問題，求面積一般用分割法或大圖形減小圖形面積進(jìn)行求解。題型精煉題型精煉一、單選題1．如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．2．如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長為1，點(diǎn)A，B都在小正方形的頂點(diǎn)上，線段AB與網(wǎng)格線MN交于點(diǎn)C，則AC的長為（）A． B． C． D．3．在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．4．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切是（

）A．2 B． C． D．5．如圖，小正方形的邊長均為，則、、、四個選項(xiàng)中的三角形（陰影部分）與相似的是（

）A． B．C． D．6．如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在邊長為1的網(wǎng)格格點(diǎn)上，以A為圓心，AE為半徑畫弧，弧EF經(jīng)過格點(diǎn)D，則扇形AEF的面積是（）A． B． C．π D．7．如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，四邊形的頂點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，則下面5條線段長度為的是（）A．AB B．BC C．CD D．AD8．如圖，由小正方形組成的網(wǎng)格圖，每個小正方形的邊長均為1，圖中標(biāo)有線段，，，，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，9．如圖，在5×5的網(wǎng)格中，每個格點(diǎn)小正方形的邊長為1，的三個頂點(diǎn)A，B，C都在網(wǎng)格格點(diǎn)的位置上，則的邊上的高為（

）A． B． C． D．10．如圖，將放在每個小正方形的邊長為的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上，則的值是（）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，在邊長1正網(wǎng)格中，A、B、C都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)D，則sin∠ADC=_____．12．在如圖的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則的值______．13．如圖，網(wǎng)格中的小正方形邊長都是1，則以為圓心，為半徑的和弦所圍成的弓形面積等于___________．14．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，∠APB＝___°．15．如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，在中，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，則線段CD的長為_________．16．如圖，已知每個小方格的邊長均為1，則與的周長比為_________．三、解答題17．如圖，在邊長為1的6×6的小正方形網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．(1)求出線段AB的長度；(2)用無刻度直尺作出以AB為斜邊，直角頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的所有格點(diǎn)直角三角形，用字母C1，C2，…標(biāo)出直角頂點(diǎn)；(3)用無刻度直尺作出（2）中其中一個面積最大的直角三角形以A為對稱中心的中心對稱圖形．18．如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，頂點(diǎn)在網(wǎng)格上，點(diǎn)在邊上，且．(1)長等于__________．(2)請你僅用無刻度的直尺在邊上找點(diǎn)，使得與相似．（要求畫出兩種情形）19．在所給的的正方形網(wǎng)格中，按下列要求操作：（單位正方形的邊長為1）(1)請?jiān)诘诙笙迌?nèi)的格點(diǎn)上找一點(diǎn)，使是以為底的等腰三角形，且腰長是無理數(shù)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出以點(diǎn)為中心，旋轉(zhuǎn)180°后的，并求的面積．20．如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1．已知點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上（網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫做格點(diǎn)），且它們的坐標(biāo)分別是A（2，-4）、B（3，-1）．（1）點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是

；（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，-2)，將△ABC先沿y軸向上平移4個單位長度后，再沿y軸翻折得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1，B1點(diǎn)的坐標(biāo)是；（3）的面積為___；（4）在現(xiàn)有的網(wǎng)格中，到點(diǎn)B1距離為10的格點(diǎn)的坐標(biāo)是專題05勾股定理與網(wǎng)格問題知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點(diǎn)1．勾股定理的性質(zhì)定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即：在Rt△ABC中，如果a，b為直角邊，c為斜邊，那么。）勾股定理的變式：、、、勾股定理與網(wǎng)格問題該問題主要考查的知識點(diǎn)就是根據(jù)網(wǎng)格的長度，并應(yīng)用勾股定理求邊長，及面積的問題，求面積一般用分割法或大圖形減小圖形面積進(jìn)行求解。題型精煉題型精煉一、單選題1．如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為（

） B． C． D．【分析】如圖，連接格點(diǎn)CD，設(shè)1個網(wǎng)格的邊長為x，根據(jù)格點(diǎn)的長度求出BD，CD邊的長度，根據(jù)勾股定理證明∠BDC＝∠ADC＝90°，再計(jì)算sin∠A=計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接格點(diǎn)CD，設(shè)1個網(wǎng)格的邊長為x，則，∴∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=又∴sin∠A=＝故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、銳角的三角函數(shù)，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵．2．如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長為1，點(diǎn)A，B都在小正方形的頂點(diǎn)上，線段AB與網(wǎng)格線MN交于點(diǎn)C，則AC的長為（） B． C． D．【分析】先利用勾股定理求出AB的長，再利用A字模型相似三角形證明△ANC∽△ADB，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖：由題意得：AB==5，∵CN//BD，∴∠ANC=∠ADB，∠ACN=∠ABD，∴△ANC∽△ADB，∴，∴，∴AC=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，則的值為（

） B． C． D．【分析】連接格點(diǎn)、，則由勾股定理及其逆定理，易得CD⊥AB，從而在Rt△ADC中，由正切函數(shù)的定義即可求得結(jié)果．【詳解】如圖，連接格點(diǎn)、，則，，，∵，即，∴，在Rt△ADC中，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，正切函數(shù)的定義等知識，把非直角三角形中銳角三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中銳角三角函數(shù)問題是本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．4．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切是（

）A．2 B． C． D．【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，利用勾股定理可求出，的長，利用等面積法可求出的長，由勾股定理求出，再利用正切的定義可求出的正切值．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，如圖所示．，，在中，由等面積法得：，即，，在中，,．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面積，利用面積法及勾股定理求出長度是解題的關(guān)鍵．5．如圖，小正方形的邊長均為，則、、、四個選項(xiàng)中的三角形（陰影部分）與相似的是（

）A． B．C． D．【分析】先求出已知三角形三邊長，再分別求出選項(xiàng)中三角形三邊長，按小中大進(jìn)行求比值看是否相等即可判斷【詳解】解：根據(jù)勾股定理AC=，BC=2，AB=，A．三條線段長分別為1，，，∵，故選項(xiàng)A中的三角形與相似；B．三條線段長分別為，，3，∵，故選項(xiàng)B中的三角形不與相似；C．三條線段長分別為1，，2，∵，故選項(xiàng)C中的三角形不與相似；D．三條線段長分別為2，，，∵，故選項(xiàng)D中的三角形不與相似．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似判定，掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在邊長為1的網(wǎng)格格點(diǎn)上，以A為圓心，AE為半徑畫弧，弧EF經(jīng)過格點(diǎn)D，則扇形AEF的面積是（） B． C．π D．【分析】根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點(diǎn)求得，圓弧的半徑為，進(jìn)而根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】依題意，點(diǎn)A、B、C、D都在邊長為1的網(wǎng)格格點(diǎn)上，,，扇形AEF的面積．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格的特點(diǎn)，勾股定理，扇形面積，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)求得圓心角和半徑是解題的關(guān)鍵．7．如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，四邊形的頂點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，則下面5條線段長度為的是（）AB B．BC C．CD D．AD【分析】根據(jù)勾股定理求得每條線段的長度即可．【詳解】解：AB=，BC=3，CD=，AD=，故長度為的線段是AD，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，由小正方形組成的網(wǎng)格圖，每個小正方形的邊長均為1，圖中標(biāo)有線段，，，，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的是（

），， B．，， C．，， D．，，【分析】根據(jù)網(wǎng)格圖，分別求出，，，，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷是否能構(gòu)成直角三角形．【詳解】∵由小正方形組成的網(wǎng)格圖，每個小正方形的邊長均為1∴，，，，A、，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，故不符合題意；故答案選：C【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理．根據(jù)網(wǎng)格圖找出四條線段的長度是本題的關(guān)鍵．9．如圖，在5×5的網(wǎng)格中，每個格點(diǎn)小正方形的邊長為1，的三個頂點(diǎn)A，B，C都在網(wǎng)格格點(diǎn)的位置上，則的邊上的高為（

） B． C． D．【分析】如圖，過作于

利用勾股定理先求解再利用等面積法求解高即可．【詳解】解：如圖，過作于

由勾股定理可得：而故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，二次根式的除法運(yùn)算，利用等面積法列方程，掌握網(wǎng)格與勾股定理的密切聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．10．如圖，將放在每個小正方形的邊長為的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上，則的值是（） B． C． D．【分析】取AC上小正方形對角線CD的端點(diǎn)D，連結(jié)BD，BD為小正方形的對角線，利用勾股定理逆定理可得∠CDB=90°，由勾股定理AB=，AD=，根據(jù)余弦定義求cos∠CAB=即可．【詳解】解：取AC上小正方形對角線CD的端點(diǎn)D，連結(jié)BD，∵BD為小正方形的對角線，∴BD=，∵CD是小正方形對角線，∴CD=，∵BD2+CD2=2+2=4=BC2，∴∠CDB=90°，∴∠ADB=90°，由勾股定理AB=，AD=，cos∠CAB=．故選擇：B．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握網(wǎng)格中直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，在邊長1正網(wǎng)格中，A、B、C都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)D，則sin∠ADC=_____．【分析】將轉(zhuǎn)化成其他相等的角，在直角三角形中，利用正弦函數(shù)值的定義求解即可．【詳解】解：延長CD交正方形的另一個頂點(diǎn)為，連接BE，如下圖所示：由題意可知：，，根據(jù)正方形小格的邊長及勾股定理可得：，，在中，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了勾股定理和求解正弦值，熟練地找到所求角在的直角三角形，利用正弦函數(shù)值的定義進(jìn)行求解，這是解決該題的關(guān)鍵．12．在如圖的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則的值______．【分析】連接BE，OE==，BE==3，BO=，根據(jù)勾股定理的逆定理判定△OBE是直角三角形，從而計(jì)算正切值即可．【詳解】∵連接BE，OE==，BE==3，BO=，∴，∴△OBE是直角三角形，∴=tan∠BOE==3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格上的三角函數(shù)的正切計(jì)算，熟練運(yùn)用勾股定理，勾股定理的逆定理，正切的定義即對邊與鄰邊的比值，是解題的關(guān)鍵．13．如圖，網(wǎng)格中的小正方形邊長都是1，則以為圓心，為半徑的和弦所圍成的弓形面積等于___________．【分析】根據(jù)勾股定理求出半徑AO的長度，然后根據(jù)弓形面積＝扇形OAB的面積-三角形OAB的面積，求解即可．【詳解】解：由勾股定理得，，由網(wǎng)格的性質(zhì)可得，是等腰直角三角形，∴和弦所圍成的弓形面積＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了網(wǎng)格的特點(diǎn)和性質(zhì)，勾股定理，扇形面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是正確分析出弓形面積＝扇形面積-三角形OAB的面積．14．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，∠APB＝___°．【分析】延長AP交格點(diǎn)于D，連接BD，由勾股定理得到，勾股定理的逆定理得到為等腰直角三角形，即可求解．【詳解】解：延長AP交格點(diǎn)于D，連接BD，由勾股定理得：，∵∴∴為等腰直角三角形，∴∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，在中，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，則線段CD的長為_________．【分析】根據(jù)勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理，，，∴AC2+BC2=AB2=26，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD=AB=×=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，判斷出△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．如圖，已知每個小方格的邊長均為1，則與的周長比為_________．【分析】設(shè)、分別與交于點(diǎn)、，則，可得到，在網(wǎng)格圖中，利用銳角三角函數(shù)值得到，繼而，可得到，證得，然后分別求出、，即可解答．【詳解】如圖，設(shè)、分別與交于點(diǎn)、，則，∴,∵，，∴，∴，∴，，由圖可知：，∴，即與的相似比為，∴與的周長比為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了網(wǎng)格圖中的兩個相似三角形周長之比，解題的關(guān)鍵是找到相似三角形的相似比．三、解答題17．如圖，在邊長為1的6×6的小正方形網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．(1)求出線段AB的長度；(2)用無刻度直尺作出以AB為斜邊，直角頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的所有格點(diǎn)直角三角形，用字母C1，C2，…標(biāo)出直角頂點(diǎn)；(3)用無刻度直尺作出（2）中其中一個面積最大的直角三角形以A為對稱中心的中心對稱圖形．【分析】（1）由圖可知，由勾股定理得，計(jì)算求解即可；（2）當(dāng)時，如圖點(diǎn)，當(dāng)時，如圖點(diǎn)，當(dāng)時，如圖點(diǎn)；依次連接即為所求；（3）題意知且最大，畫的以A為對稱中心的中心對稱圖形如圖所示．(1)解：由圖可知，由勾股定理得∴線段AB的長為．(2)解：如圖1所示當(dāng)時，如圖點(diǎn)，依次連接，即為所求；當(dāng)時，如圖點(diǎn)，依次連接，即為所求；當(dāng)時，如圖點(diǎn)，依次連接，即為所求．(3)解：由題意知且最大∴畫的以A為對稱中心的中心對稱圖形如圖2所示【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，中心對稱圖形，直角三角形等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運(yùn)用．18．如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，頂點(diǎn)在網(wǎng)格上，點(diǎn)在邊上，且．(1)長等于__________．(2)請你僅用無刻度的直尺在邊上找點(diǎn)，使得與相似．（要求畫出兩種情形）【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定方法，作出圖形即可．(1)解：BD＝＝2．故答案為：2．(2)如左圖，畫DE∥CA，△BDE即為所求；如右圖，畫，△BDE即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣相似變換，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．19．在所給的的正方形網(wǎng)格中，按下列要求操作：（單位正方形的邊長為1）(1)請?jiān)诘诙笙迌?nèi)的格點(diǎn)上找一點(diǎn)，使是以為底的等腰三角形，且腰長是無理數(shù)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出以點(diǎn)為中心，旋轉(zhuǎn)180°后的，并求的面積．【分析】（1）根據(jù)題意，腰長為無理數(shù)