2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1導(dǎo)數(shù)6.1.1函數(shù)的平均變化率課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE十三函數(shù)的平均改變率(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.函數(shù)y=f(x)=2x2-1在區(qū)間[1,1+Δx]上的平均改變率QUOTE= ()A.4 B.4+2ΔxC.4+2(Δx)2 D.4Δx【解析】選B.因?yàn)棣=[2(1+Δx)2-1]-(2×12-1)=4Δx+2(Δx)2,所以QUOTE=4+2Δx.2.函數(shù)f(x)=2x在x=1旁邊(即從1到1+Δx之間)的平均改變率是 ()A.2+Δx B.2-ΔxC.2 D.(Δx)2+2【解析】選C.Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)-2=2Δx,所以QUOTE=QUOTE=2.3.若函數(shù)y=QUOTE在區(qū)間[1,a]上的平均改變率為-QUOTE,則a= ()A.1 B.2 C.3【解析】選B.因?yàn)棣=a-1,Δy=QUOTE-1=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以a=2.4.函數(shù)y=x2+2在x0到x0+Δx之間的平均改變率為k1,在x0-Δx到x0的平均改變率為k2,則 ()A.k1<k2 B.k1>k2C.k1=k2 D.不確定【解析】選D.k1=QUOTE=2x0+Δx,k2=QUOTE=2x0-Δx.所以k1-k2=2Δx,因?yàn)棣的正負(fù)不確定,所以k1與k2的大小關(guān)系也不確定.5.在曲線y=x2+1的圖像上取一點(diǎn)(1,2)及旁邊一點(diǎn)(1+Δx,2+Δy),則QUOTE為()A.Δx+QUOTE+2 B.Δx-QUOTE-1C.Δx+2 D.Δx-QUOTE+2【解析】選C.QUOTE=QUOTE=Δx+2.6.(多選題)關(guān)于函數(shù)f(x)=5x-3在區(qū)間[a,b]上的平均改變率,下列說法錯(cuò)誤的是 ()A.與a的取值有關(guān) B.與b的取值有關(guān)C.與a的取值無(wú)關(guān) D.與b的取值無(wú)關(guān)【解析】選AB.Δx=b-a,Δy=f(b)-f(a)=5(b-a),QUOTE=QUOTE=5,所以平均改變率與a,b的取值沒有關(guān)系.二、填空題(每小題5分,共10分)7.假如函數(shù)y=ax+b在區(qū)間[1,2]上的平均改變率為3,則a=______.

【解析】依據(jù)平均改變率的定義,可知QUOTE=QUOTE=a=3.答案:38.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖像,則(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的平均改變率為________;

(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均改變率為________.

【解析】(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的平均改變率為QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)由函數(shù)f(x)的圖像知,f(x)=QUOTE所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均改變率為QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:(1)QUOTE(2)QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.求y=x2+QUOTE+5在區(qū)間[2,2.5]上的平均改變率.【解析】Δy=6.25+QUOTE+5-4-QUOTE-5=2.15,Δx=2.5-2=0.5,所以平均改變率為QUOTE=4.3.10.若函數(shù)y=f(x)=-x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均改變率不大于-1,求Δx的取值范圍.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[2,2+Δx]上的平均改變率為QUOTE=QUOTE=QUOTE=-3-Δx,所以由-3-Δx≤-1得Δx≥-2,又因?yàn)棣>0,所以Δx的取值范圍是(0,+∞).(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共15分)1.如圖,函數(shù)y=f(x)在A,B兩點(diǎn)間的平均改變率是 ()A.1B.-1C.2D.-2【解析】選B.QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.2.函數(shù)y=f(x)=x2在x0到x0+Δx(Δx>0)之間的平均改變率為k1,在x0-Δx到x0之間的平均改變率為k2,則k1與k2的大小關(guān)系為 ()A.k1>k2 B.k1<k2C.k1=k2 D.不確定【解析】選A.k1=QUOTE=QUOTE=2x0+Δx;k2=QUOTE=QUOTE=2x0-Δx.所以k1>k2.3.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=5-3t2,則在一段時(shí)間[1,1+Δt]內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的平均速度為 ()A.3Δt+6 B.-3Δt+6C.3Δt-6 D.-3Δt-6【解析】選D.因?yàn)棣=5-3(1+Δt)2-(5-3×12)=-3(Δt)2-6Δt,所以v=QUOTE=QUOTE=-3Δt-6.二、填空題(每小題5分,共15分)4.函數(shù)f(x)=x2-1在區(qū)間[1,m]上的平均改變率為3,則實(shí)數(shù)m的值為______.

【解析】由已知得:QUOTE=3,所以m+1=3,所以m=2.答案:25.已知圓的面積S與其半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為S=πr2,其中r∈(0,+∞),則當(dāng)半徑r∈[1,1+Δr]時(shí),圓面積S的平均改變率為______.

【解析】QUOTE=QUOTE=2π+π·Δr.答案:2π+πΔr6.函數(shù)y=cosx在x∈QUOTE上的改變率為______;在x∈QUOTE上的改變率為______.

【解析】當(dāng)x∈QUOTE時(shí),QUOTE=QUOTE=QUOTE;當(dāng)x∈QUOTE時(shí),QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.因此,y=cosx在區(qū)間QUOTE和區(qū)間QUOTE上的平均改變率分別是QUOTE和-QUOTE.答案:QUOTE-QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)7.將半徑為R的球加熱,若半徑從R=1到R=m時(shí)球的體積膨脹率(體積的改變量與半徑的改變量之比)為QUOTE,求m的值.【解析】因?yàn)棣=QUOTEm3-QUOTE×13=QUOTE(m3-1),所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,即m2+m+1=7,解得m=2或m=-3(舍去).8.已知某物體依據(jù)s(t)=3t2+t+4(t的單位:s,s的單位:m)的規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng),求該物體在4s旁邊的平均速度.【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=(25+3Δt)m/s,即該物體在4s旁邊的平均速度為(25+3Δt)m/s.9.求函數(shù)y=sinx在0到QUOTE之間和QUOTE到QUOTE之間的平均改變率,并比較它們的大小.【解析】在0到QUOTE之間的平均改變率為QUOTE=QUOTE;在QUOTE到QUOTE