第六章平面圖形的認識（一）（知識歸納題型突破）

第六章平面圖形的認識（一）（知識歸納+題型突破）掌握直線、線段、射線之間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握角的概念、分類、計算、比較。掌握平面中直線的位置關系，能解決線段或角度的綜合問題一、線段、射線、直線的概念及性質線段射線直線定義直線上兩點之間的部分直線上一點及其一旁的部分特征有兩個端點，不向任何一方延伸，可度量只有一個端點，且向一方無限延伸，不可度量向兩個防線無限延伸，沒有端點，不可度量圖示表示方法①線段AB②線段BA③線段a射線OA①直線AB②直線BA③直線l性質兩點之間的所有連線中，線段最短經(jīng)過兩點有且只有一條直線二、角的基本概念及分類1、角的基本分類銳角直角鈍角平角周角大于0°小于90°90°大于90°小于180°180°360°2、特殊角的概念余角補角對頂角定義兩個角的和是一個直角，即互余兩個角的和是一個平角，即互補兩條直線相交形成的四個角中相對的兩個角性質同角（或等角）的余角相等同角（或等角）的補角相等對頂角相等注意：1、余角、補角與兩個角的大小有關系，與它們的位置沒有關系；所以互為余角、互為補角的兩個角不一定有公共頂點；2、定義中的“互為”是相互的意思，互為余角、互為補角是對兩個角來說；3、互余的兩個角都是銳角，互補的兩個角一個是銳角一個是鈍角或者兩個角都是直角．題型一直線射線線段的聯(lián)系與區(qū)別【例1】下列說法正確的是（

）A．延長直線到點C B．延長射線到點CC．延長線段到點C D．平角是一條直線【答案】C【分析】根據(jù)直線，射線，線段的區(qū)別和聯(lián)系依次進行判斷即可．【詳解】直線沒有端點，可沿兩個方向無限延伸，故A錯誤；射線，只能反向延長，故B錯誤；線段有兩個端點，可以說延長線段AB到點C，故C正確；平角不是一條直線，而是在一條直線上的兩條共端點的射線，故D錯誤．故選：C．【例2】下列幾何圖形與相應語言描述相符的有（

）

①直線a、b相交于點A；②射線與線段沒有公共點；③延長線段；④直線經(jīng)過點A.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用線段、直線和射線的語言描述逐一判斷即可解題．【詳解】①直線a、b相交于點A，描述正確；②射線與線段有公共點，描述錯誤；③延長線段，描述正確；④直線不經(jīng)過點A，描述錯誤；故選B．【例3】下列說法中，正確的個數(shù)是（

）①直線與直線是同一條直線；②若，則點是的中點；③兩點之間直線最短；④兩點確定一條直線．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)直線、線段的定義及性質逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：①在同一圖形中，直線與直線是同一條直線，故①說法正確，符合題意；②若，則點是的中點的說法錯誤，因為點三點不一定在一條直線上，故②說法錯誤，不符合題意；③兩點之間線段最短，故③說法錯誤，不符合題意；④兩點確定一條直線，故④說法正確，符合題意；綜上所述，正確的有①④，共2個，故選：B．鞏固訓練1．下列幾何圖形與相應語言描述不相符的有（

）

A．如圖1所示，直線和直線相交于點B．如圖2所示，延長線段到點C．如圖3所示，射線不經(jīng)過點D．如圖4所示，射線和線段會有交點【答案】B【分析】根據(jù)線段、射線、直線的性質逐一判斷即可．【詳解】解：A、如圖1所示，直線和直線相交于點，幾何圖形與相應語言描述相符，不符合題意，選項錯誤；B、如圖2所示，延長線段到點，則點C左側就應該沒有線了，故幾何圖形與相應語言描述不相符，符合題意，選項正確；C、如圖3所示，射線不經(jīng)過點，幾何圖形與相應語言描述相符，不符合題意，選項錯誤；D、如圖4所示，射線和線段會有交點，幾何圖形與相應語言描述相符，不符合題意，選項錯誤；故選：B2．下列說法正確的是（

）A．兩點之間的線段叫做兩點間的距離 B．若，則為線段的中點C．兩點之間線段最短 D．射線可以比較長短【答案】C【分析】根據(jù)兩點之間的距離，線段的中點，線段的性質以及射線的性質分別判斷即可．【詳解】解：A．兩點之間的線段的長度叫做兩點間的距離，故錯誤，不合題意．B．若，則為線段的中點的前提為在同一直線上，故錯誤，不合題意．C．兩點之間線段最短，故正確，符合題意．D．射線不能比較長短，故錯誤，不合題意．故選C．3．對于如圖所示的直線的表示方法，下列說法正確的是（）

A．都正確 B．都錯誤 C．只有一個錯誤 D．只有一個正確【答案】D【分析】根據(jù)直線的表示方法，一個小寫字母，或兩個大寫字母，進行判斷即可．【詳解】解：由題意，可知：直線的表示方法是正確的，其它兩種表示方法是錯誤的．故選D．題型二線段的和差問題【例4】如圖，已知直線，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點，若，，則平行線b，c之間的距離是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意可求出，再根據(jù)平行線間的距離的定義即可解答．【詳解】解：∵，，∴．∵，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點，∴平行線b，c之間的距離是4．故選B．【例5】如圖，、、是一條公路上的三個村莊，、間的路程為間的路程為，現(xiàn)要在之間建一個車站，若要使車站到三個村莊的路程之和最小，則車站應建在何處？（

）

A．點處 B．線段之間 C．線段的中點 D．線段之間【答案】A【分析】設、間的路程為，分類討論，當點在點的左側和點在點的右側，用含的代數(shù)式表示車站到三個村莊的路程之和，就可以得出結論．【詳解】解∶設、間的路程為，由題意，得如圖，當點在點的左側．

車站到三個村莊的路程之和為∶；如圖，當點在點的右側，

車站到三個村莊的路程之和為∶．綜上所述∶車站到三個村莊的路程之和為；∴當時，路程之和最小為．∴當車站建在村莊處，車站到三個村莊的路程之和最?。蔬x∶A．鞏固訓練4．已知直線上有三點，且線段，，那么兩點之間的距離為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)線段的位置，分類討論，①如圖所示，點在點的右邊；②如圖所示，點在點的左邊；根據(jù)線段的和、差計算方法，圖形結合分析即可求解．【詳解】解：①如圖所示，點在點的右邊，，，

∴；②如圖所示，點在點的左邊，，，

∴；∴兩點之間的距離為或，故選：．5．已知直線上有三點，其中線段，線段，則線段．【答案】或【分析】分點在線段上還是在線段的延長線上，兩種情況進行求解即可．【詳解】解：分兩種情況討論：①當點在線段上時，；②當點在線段的延長線上時：；綜上：或；故答案為：或．6．將一根繩子對折后用線段表示，現(xiàn)從處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為，若，則這條繩子的原長為．【答案】140或210/210或140【分析】根據(jù)繩子對折后用線段表示，可得繩子的長度是的2倍，分類討論，的2倍最長，可得，的2倍最長，可得的長，再根據(jù)線段間的比例關系，可得答案．【詳解】解：①當?shù)?倍最長時，得，，，，∴這條繩子的原長為，②當?shù)?倍最長時，得，，，∴這條繩子的原長為．綜上所述，這條繩子的原長為或．故答案為：140或210．題型三線段中點的有關計算【例6】如圖，，，，分別是，的中點，則的長為(

)A．10 B．8 C．6 D．8.5【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可以求出，的長度，再根據(jù)中點的定義，可以求出的值，再由即可求解．【詳解】解：，，分別是，的中點，，故選：B【例7】已知：、、是同一直線上的三點，點為的中點，若、，則的長為．【答案】或/1或11【分析】應用兩點間的距離計算方法，根據(jù)題意畫出圖形，應用數(shù)形結合的方法進行計算即可得出答案．【詳解】解：如圖，當在的延長線上時，∵點為的中點，若，∴，∴當在線段上時，∴，綜上，的長度為或．故答案為：或．鞏固訓練7．點、、在同一條直線上，，，、分別是、中點，則長可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】因直線上三點、、的位置不確定，所以要分兩種情況：①、在點兩側；②、在點同側，畫出圖形根據(jù)中點的定義即可求出的長．【詳解】解：根據(jù)題意有兩種情況：①當、在點兩側時，如圖1：則；②當、在點同側時，如圖2：則；故選：AD．8．如圖，為線段的中點，點在上，，若，求和的長．【答案】9，【分析】根據(jù)，得，即可得的長；根據(jù)C為線段AB的中點得i，即可得．【詳解】解：∵，，∴，∴；∵C為線段AB的中點，∴，∴．9．如圖，已知點在線段上，且，，點、分別是，的中點，求線段的長度．

【答案】線段的長度為【分析】根據(jù)題意可知：點、分別是，的中點，則，，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：點是的中點，，，是的中點，，，，答：線段的長度為．題型四兩點確定一條直線（兩點之間線段最短）【例8】下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③從A地到B地架設電線，盡可能沿直線架設；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中可用“兩點確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象有（

）A．①② B．①②③ C．②④ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)“兩點確定一條直線”可直接進行排除選項．【詳解】①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，符合題意；②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，符合題意；③從地到地架設電線，總是盡可能沿若直線架設，符合“兩點之間，線段最短”，故不符合題意；④把彎曲的公路改直，就能縮知路程，符合“兩點之間，線段最短”，故不符合題意；故選：A．【例9】下列四個生產(chǎn)生活現(xiàn)象，可以用基本事實“兩點之間，線段最短”來解稀的是（

）A．用兩個釘子就可以把木條固定在墻上B．為了節(jié)省航行時間，把原來彎曲的河道改直C．植樹時，只要定出兩顆樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線D．打靶的時候，眼睛要與槍上的準星、靶心在同一條直線上【答案】B【分析】根據(jù)“兩點之間，線段最短”進行判斷即可得解.【詳解】A、用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上，體現(xiàn)的是“兩點確定一條直線”；B、為了節(jié)省航行時間，把原來彎曲的河道改直，體現(xiàn)的是“兩點之間，線段最短”；C、植樹時定出兩棵樹的位置后確定同一行樹所在的直線，體現(xiàn)的是“兩點確定一條直線”；D、打靶的時候，眼睛要與槍上的準星、靶心在同一條直線上，體現(xiàn)的是“兩點確定一條直線”，故選：B.鞏固訓練10．連接兩點的所有線中（

）A．直線最短 B．線段最短 C．折線最短 D．圓弧最短【答案】B【分析】根據(jù)線段的性質求解．【詳解】解：連接兩點的所有線中線段最短，故選B．11．下列說法正確的個數(shù)有（

）①若，則點C是線段的中點；②兩點確定一條直線；③射線與射線是同一條射線；④線段就是點A到點B之間的距離；⑤兩點之間線段最短．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)射線的表示法以及兩點之間的距離的定義即可作出判斷．【詳解】①若，且A、B、C三點共線時，則點C是線段的中點，故原說法錯誤；②兩點確定一條直線，說法正確；③射線與射線不是同一條射線，故原說法錯誤；④線段的長度就是點A到點B之間的距離，故原說法錯誤；⑤兩點之間線段最短，說法正確．即正確的有2個，故選：B．12．下列現(xiàn)象：其中能用“兩點確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象是（

）①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段架設；③植樹時，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．A．①③ B．①② C．②④ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)直線的性質及線段的性質依次分析判斷．【詳解】解：①有兩個釘子就可以把木條固定在墻上，是利用兩點確定一條直線；②A從地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段架設，是利用兩點之間，線段最短；③植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行所在的直線，利用兩點確定一條直線；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程，利用兩點之間，線段最短．故選A．題型五角的基礎概念【例10】下列圖形中，能表示的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)角的定義和角的表示方法解答即可．【詳解】解：A．是兩條直線，不是角，本選項不符合題意；B．表示或，本選項不符合題意；C．表示，本選項符合題意；D．表示或，本選項不符合題意，故答案為：C．【例11】用放大2倍的放大鏡看的角，看到的角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【分析】角的大小和邊的長短無關，與角張開的角度的大小有關，而放大鏡看到的角，放大的只是角的邊，所以，無論用多少倍的放大鏡看角，角的大小都不變，可據(jù)此解題．【詳解】解：由題意得用放大10倍的放大鏡看的角，看到的度數(shù)是．故選：A鞏固訓練13．下列說法中，正確的是（

）A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【答案】D【分析】根據(jù)平角，周角的概念，角的大小及表示分別判斷即可．【詳解】解：A、周角的兩邊在同一射線上，不是一條射線，故錯誤，不合題意；B、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點，而直線沒有，故錯誤，不合題意；C、角的大小和兩邊的長度沒有關系，故錯誤，不合題意；D、也可以表示為，故正確，符合題意；故選：D．題型六方位角與角度計算【例12】周角=平角=直角．【答案】/0.51【分析】根據(jù)周角、平角、直角的定義可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，據(jù)此即可求解．【詳解】解：1周角度，1平角度，1直角度，∴周角平角直角，故答案為：，1．【例13】計算：分．【答案】78【分析】根據(jù)，進行計算即可．【詳解】解：∵，∵，故答案為：78．【例14】．【答案】【分析】進行度、分、秒的轉化運算，注意以為進制、用分進位到度，需要除以．【詳解】故答案為．鞏固訓練14．°；【答案】2652【分析】根據(jù)1度分，即，1分秒，即進行度分秒的換算和度分秒間的加減計算．【詳解】．故答案為：①26，②52．15．換算度分秒．【答案】50，14，24．【分析】根據(jù)度分秒的進制進行計算即可．【詳解】解：，，，，度14分24秒，故答案為：50，14，24．16．計算：．【答案】/【分析】根據(jù)小化大用除法，再列式計算即可．【詳解】解：，故答案為：．題型七余角補角相關計算【例15】一個角的補角比這個角的余角的3倍少，這個角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】互余的兩個角和為，互補的兩個角和為，再建立方程求解．【詳解】解：設這個角為度數(shù)，則，解得；故選：A．【例16】如果一個角的補角是，那么這個角的余角的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)補角的定義得出這個角為，進而根據(jù)余角的定義，即可求解．【詳解】解：∵一個角的補角是，∴這個角為∴這個角的余角的度數(shù)為，故選：A．【例17】一個角的余角的3倍比它的補角多，求這個角的度數(shù)．【答案】這個角的度數(shù)為．【分析】根據(jù)題意，先設這個角的度數(shù)為x，再列方程進行計算．【詳解】解：設這個角的度數(shù)是x．根據(jù)題意，得，解得．即這個角的度數(shù)為．鞏固訓練17．若與互余，與互補，則與的關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由與互余，與互補可得，，由得：，由此即可得到答案．【詳解】解：與互余，與互補，，，由得：，，故選：D．18．已知一個角的余角是這個角的補角的，求這個角．【答案】60度【分析】設這個角的度數(shù)是，根據(jù)一個角的余角是這個角的補角的列出方程，解方程即可．【詳解】解：設這個角的度數(shù)是，根據(jù)題意得：，解得：，答：這個角的度數(shù)是60度．題型七對頂角【例18】下列圖中，和是對頂角的有（

）個．

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】根據(jù)對頂角的兩邊互為反向延長線對各圖形分析判斷后進行解答．【詳解】根據(jù)對頂角的定義：中和不是對頂角；中和是對頂角；中和不是對頂角；中和不是對頂角；故選：．【例19】圖中，和是對頂角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角，由此即可判斷．【詳解】解：A、D、和兩邊不互為反向延長線，故A、D不符合題意；B、和兩角沒有公共頂點，故B不符合題意；C、和是對頂角，故C符合題意．故選：C．鞏固訓練19．下列圖形中，與是對頂角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)對頂角的概念解答即可．【詳解】解：A，與不是對頂角，故不合題意；B，與不是對頂角，故不合題意；C，與不是對頂角，故不合題意；D，與是對頂角，故符合題意；故選：D．20．圖中的，是對頂角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】對頂角：有公共的頂點，角的兩邊互為反向延長線，根據(jù)定義逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)對等角的定義，只有C選項符合題意，故選：C．題型七平面內(nèi)兩直線的位置關系【例20】、、為同一平面內(nèi)的三條直線，若與不平行，與不平行，那么下列判斷正確的是（

）A．與一定不平行 B．與一定平行C．與一定互相垂直 D．與可能相交或平行【答案】D【分析】根據(jù)關鍵語句“若與不平行,與不平行,”畫出圖形，圖形有兩種情況，根據(jù)圖形可得答案．【詳解】根據(jù)題意可得圖形：根據(jù)圖形可知：若與不平行,與不平行,則與可能相交或平行，故選：D.【例21】下列說法正確的有（

）①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②平面內(nèi)兩條垂直的直線一定相交；③平面內(nèi)兩條相交的直線一定垂直；④平面內(nèi)不相交的兩條線段一定平行．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩直線的位置關系逐一判斷即可．【詳解】解：①同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，原說法錯誤；②平面內(nèi)兩條垂直的直線一定相交，原說法正確；③平面內(nèi)兩條相交的直線一定不一定垂直，原說法錯誤；④平面內(nèi)不相交的兩條線段一定平行，原說法正確；故選B．鞏固訓練21．下列說法正確的是（

）A．過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行 B．永不相交的兩條直線叫做平行線C．若，則為線段的中點 D．兩點確定一條直線【答案】D【分析】平行線的性質；直線的性質：兩點確定一條直線；兩點間的距離；平行公理及推論．根據(jù)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，可以判斷A；根據(jù)平行線的特點可以判斷B；根據(jù)線段的性質可以判斷C；根據(jù)兩點確定一條直線判斷D．【詳解】解：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，故選A錯誤，不符合題意；在同一面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線，故選項B錯誤，不符合題意；若，且點在線段上，則為線段的中點，故選項C錯誤，不符合題意；兩點確定一條直線，故選項D正確，符合題意；故選：D．題型七畫垂線（垂線段最短）【例22】下列選項中，過點畫直線的垂線，三角尺的擺放方式正確的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)畫垂線的方法進行判斷即可．【詳解】解：∵三角板有一個角是直角，∴三角板的一條直角邊與直線重合，∵過點P作直線的垂線，∴三角板的另一條直角邊過點P，∴符合上述條件的圖形只有選項C．故選：C．【例23】如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．點到的垂線段是線段 B．點到的垂線段是線段C．線段是點D到的垂線段 D．線段是點到的垂線段【答案】C【分析】根據(jù)垂線段的定義逐個判