專題25概率（講義）

專題25概率1．能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率；2．知道通過大量的重復(fù)實驗，可以用頻率來估計概率?？键c1：等可能條件下的概率1.等可能條件下的概率一般地，如果一個試驗有n個等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m個結(jié)果之一出現(xiàn)時，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=（其中m是指事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n是指所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)）.當(dāng)一個隨機事件在一次試驗中的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，且具有等可能性時，只需列出一次試驗可能出現(xiàn)的所有結(jié)果，就可以求出某個事件發(fā)生的概率.2.等可能條件下的概率的求法一般地，等可能性條件下的概率計算方法和步驟是：（1）列出所有可能的結(jié)果，并判定每個結(jié)果發(fā)生的可能性都相等；（2）確定所有可能發(fā)生的結(jié)果的個數(shù)n和其中出現(xiàn)所求事件的結(jié)果個數(shù)m；（3）計算所求事件發(fā)生的可能性：P（所求事件）=.考點2：用列舉法計算概率常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.【題型1：隨機事件與概率】【典例1】一個不透明的盒子里有紅、黃、白小球共80個，它們除顏色外均相同，小文將這些小球搖勻后，隨機摸出一個記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復(fù)，多次實驗后他發(fā)現(xiàn)摸到紅色、黃色小球的頻率依次為和，由此可估計盒中大約有白球（

）A．20 B．24 C．32 D．56【答案】B【分析】本題考查了利用頻率估計概率，解答此題的關(guān)鍵是要計算出盒中白球所占的比例，再計算其個數(shù)．根據(jù)題意，先求出摸到白色小球的頻率，再乘以總球數(shù)即可求解．【詳解】解：∵多次試驗的頻率會穩(wěn)定在概率附近，∴從盒子中摸出一個球恰好是白球的概率約為，∴白球的個數(shù)約為個．故選：B．1．小鵬制作了一個如圖所示的靶盤，其中點，分別是邊長為的正方形靶盤相鄰兩邊的中點，小鵬隨意向該標靶區(qū)域投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查幾何概率的求法，熟知幾何概率所求陰影區(qū)域的概率是三角形的面積與正方形的面積比是解答的關(guān)鍵．【詳解】∵正方形的邊長為，∴正方形的面積為，陰影部分面積為，∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為，故選D．2．新學(xué)期開學(xué)，剛剛組建的七年級（1）班有男生30人，女生24人，欲從該班級中選出一名值日班長，更好地管理班級事務(wù)，使同學(xué)們的學(xué)習(xí)生活溫暖和諧，任何人都有同樣的機會，則這個班選中一名男生來當(dāng)值日班長的概率是【答案】【分析】本題考查了簡單的概率計算，如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．先求出全班的學(xué)生數(shù)，再根據(jù)概率公式進行求解即可．【詳解】解：全班共有學(xué)生（人，其中男生30人，則這班選中一名男生當(dāng)值日班長的概率是．故答案為：．3．一個不透明的布袋里裝有個紅球，個黑球，若干個白球；從布袋中隨機摸出一個球，摸出的球是紅球的概率是，袋中白球共有個．【答案】【分析】本題考查了概率公式，設(shè)白球有個，根據(jù)摸出的球是紅球的概率是，利用概率公式列出方程即可求解，掌握概率所求情況數(shù)總情況數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)白球有個，由題意可得，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴袋中白球有個，故答案為：．4．為豐富校園文化生活，某校舉辦了中學(xué)生“棋類大比拼”活動，棋類項目有四項：A．象棋；B．跳棋；C．飛行棋：D．五子棋．比賽形式分為“單人組”和“雙人組”．(1)小華參加“單人組”比賽，從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“飛行棋”的概率是．(2)小明和小紅組合參加“雙人組”比賽，其比賽規(guī)則是：同一組合的兩名隊員的比賽項目不能相同，且每人只能隨機抽取一次．求恰好小明和小紅都沒有抽到“跳棋”的概率．請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．【答案】(1)(2)，見解析【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好小明和小紅都沒有抽到“跳棋”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）由題意可知，從中恰好抽中“飛行棋”的概率是．故答案為：．（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好小明和小紅都沒有抽到“跳棋”的結(jié)果有：共6種，∴恰好小明和小紅都沒有抽到“跳棋”的概率為．【題型2：用列舉法求概率】【典例2】如圖，某展覽大廳有2個入口和2個出口，參觀者可從任意一個入口進入，參觀結(jié)束后可從任意一個出口離開．小明從入口1進入并從出口離開的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．先畫樹狀圖，得到所有的情況數(shù)與符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式計算即可．【詳解】解：畫樹狀圖得：

所有等可能的情況有4種，其中從入口1進入并從出口B離開的情況有1種，則．故選：C．1．有數(shù)字4，5，6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個三位數(shù)，擺出的三位數(shù)是2的倍數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出所有可能，根據(jù)概率公式即可求解．本題考查了列舉法求概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵有數(shù)字4，5，6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個三位數(shù)，∴擺出的三位數(shù)有共6種可能，其中是2的倍數(shù)，∴擺出的三位數(shù)是2的倍數(shù)的概率是，故選：C．2．有三張正面分別寫有數(shù)字1，2，3的卡片，它們除數(shù)字外其余完全一樣．將其背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片上的數(shù)字后放回洗勻，再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的數(shù)字相同的概率是．【答案】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽取的兩張卡片上的數(shù)字相同的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)字相同的結(jié)果有3種，∴抽取的兩張卡片上的數(shù)字相同的概率是．故答案為：．3．如圖，分別是甲、乙兩名同學(xué)手中的撲克牌兩人在看不到對方牌的前提下，分別從對方手中隨機抽取一張牌，若牌上數(shù)字與自己手中某一張牌上數(shù)字相同，則組成一對．若甲從乙手中抽取一張，恰好組成一對的概率是．【答案】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出組成一對的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中組成一對的結(jié)果數(shù)為3，所以甲從乙手中抽取一張，恰好組成一對的概率．故答案為：．4．在一個不透明的口袋里裝有分別標有，，，的四個小球．除所標數(shù)字不同外，小球沒有任何區(qū)別．(1)若從中任取一球（不放回），再從中任取一球，請用畫樹狀圖或列表的方法求出兩個球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．(2)若設(shè)計一個游戲方案：從中任取兩球，兩個球上的數(shù)字之差的絕對值為的為甲勝，否則為乙勝．請問這個游戲方案對甲、乙公平嗎？試說明理由．【答案】(1)見解析，(2)公平，理由見解析【分析】本題主要考查了列表法或樹狀圖法，概率公式求概率，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．（1）先畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果數(shù)與兩個球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況，再利用概率公式即可求解；（2）分別求出甲勝與乙勝的概率，即可求解．【詳解】（1）解：樹狀圖如下：共有種等可能的結(jié)果，兩個球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有，，，共種情況，兩個球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為：；（2）兩個球上的數(shù)字之差的絕對值為的有，，，，，共種情況，，，，這個游戲方案公平．【題型3：用頻率估計概率】【典例3】在一個不透明的布袋中裝有4個白球和若干個黑球，除顏色外其他都相同，小紅每次摸出一個球并放回，通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則布袋中黑球的個數(shù)可能有（

）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本題考查了用頻率估計概率，分式方程的應(yīng)用，設(shè)黑球的個數(shù)為個，根據(jù)頻率可列出方程，解方程即可求得，從而得到答案，根據(jù)概率列出方程是關(guān)鍵．【詳解】設(shè)袋中有黑球個，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，則布袋中黑球的個數(shù)可能有6個．故選：B．1．某區(qū)為了解初中生體質(zhì)健康水平，在全區(qū)進行初中生體質(zhì)健康的隨機抽測，結(jié)果如下．根據(jù)抽測結(jié)果，下列對該區(qū)初中生體質(zhì)健康合格的概率的估計，最合理的是（

）累計抽測的學(xué)生數(shù)2003004005006007008009001000體質(zhì)健康合格的學(xué)生數(shù)與的比值0.930.890.920.910.900.920.920.920.92A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93【答案】C【分析】本題考查了利用頻率估計概率，熟練掌握利用頻率估計概率是解題關(guān)鍵．直接根據(jù)利用頻率估計概率求解即可得．【詳解】解：由表格可知，經(jīng)過大量重復(fù)試驗，體質(zhì)健康合格的學(xué)生數(shù)與抽測的學(xué)生數(shù)的比值穩(wěn)定在附近，所以該區(qū)初中生體質(zhì)健康合格的概率為，故選：C．2．小夢在研究“擲一枚圖釘，針尖朝上”的概率，于是她便用同一枚圖釘做實驗進行研究，得到如下的數(shù)據(jù)：擲圖釘?shù)拇螖?shù)101003005008001000針尖朝上的頻率請利用以上數(shù)據(jù)估算“擲這枚圖釘，針尖朝上”的概率是．【答案】【分析】本題主要考查用頻率估計概率，熟練掌握用頻率估計概率是解題的關(guān)鍵．根據(jù)用頻率估計概率即可得到答案．【詳解】解：觀察數(shù)據(jù)可得，“擲這枚圖釘，針尖朝上”的概率是，即．故答案為：．3．在一個不透明的袋子里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球．小明做摸球試驗時，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是實驗進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)…摸到白球的次數(shù)…摸到白球的頻率…則摸到白球的概率為．（結(jié)果精確到）【答案】0.6【分析】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當(dāng)n很大時，摸到白球的頻率接近0.6．【詳解】解：由表可知：“摸到白球的”的概率的估計值是0.6．故答案為：0.6．4．某批乒乓球的質(zhì)量檢驗結(jié)果如下：抽取的乒乓球數(shù)200500100015002000優(yōu)等品頻數(shù)18847194614261898優(yōu)等品頻率(1)這批乒乓球“優(yōu)等品”的概率的估計值是多少？(2)從這批乒乓球中選擇5個黃球、13個黑球、22個紅球，它們除顏色外都相同，將它們放入一個不透明的袋中．①求從袋中摸出一個球是黃球的概率；②現(xiàn)從袋中取出若干個黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個是黃球的概率不小于，問至少取出了多少個黑球？【答案】(1)(2)①；②9個【分析】本題主要考查利用頻率估計概率：（1）根據(jù)頻率估計概率，頻率都在0.946左右波動，所以可以估計這批乒乓球“優(yōu)等品”概率的估計值是0.946；（2）①用黃球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可；②設(shè)從袋中取出了x個黑球，根據(jù)攪拌均勻后使從袋中摸出一個是黃球的概率不小于，列出不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：這批乒乓球“優(yōu)等品”概率的估計值是0.946；（2）解：①∵袋中一共有球個，其中有5個黃球，∴從袋中摸出一個球是黃球的概率為：；

②設(shè)從袋中取出了個黑球，由題意得，解得，故至少取出了9個黑球．【題型4：概率的應(yīng)用】【典例4】一個密碼箱的密碼，每個數(shù)位上的數(shù)都是從0到9的自然數(shù)．若要使不知道密碼的人一次就撥對密碼的概率小于，則密碼的位數(shù)至少需要設(shè)（

）A．五位 B．四位 C．三位 D．二位【答案】B【分析】分別求出取一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)時一次就撥對密碼的概率，再根據(jù)所在的范圍解答即可．【詳解】解：∵取一位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為；取兩位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為；取三位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為；取四位數(shù)時一次就撥對密碼的概率為；∵，∴密碼的位數(shù)至少需要四位，故選項B正確．故選：B．【點睛】本題考查概率的求法與運用，一般方法為：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結(jié)果，那么事件的概率1．如圖是可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成三個扇形，并分別標上1，2，3，轉(zhuǎn)盤停止后，則指針指向的數(shù)字為奇數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：由轉(zhuǎn)盤被等分成三個扇形可知：有3種等可能的結(jié)果，轉(zhuǎn)盤停止后指向奇數(shù)的情況有2種，所以指針指向的數(shù)字為奇數(shù)的概率是．故選D．【點睛】本題考查的是概率公式的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．2．一個不透明的袋子里裝有除顏色外其他完全相同的紅、白、黃三種顏色的球各10個，至少要摸()個才能保證摸出兩個不同顏色的球，至少摸()個才能保證摸出兩個黃色的球．【答案】1122【分析】（1）由題意可知，袋中共有紅、白、黃三種顏色的球，最壞的情況是，取出三個球后，每種顏色的球各有一個，此時只要再任意拿出一個球，就能保證取到的球中有兩個顏色相同的球．即至少要取個．（2）考慮最壞情況：摸出10個球都是紅種顏色，再摸出10個球都是白種顏色，再摸出2個都是黃色，即可保證摸出兩個黃色的球．【詳解】解：（1）（個），（2）（個），答；至少要摸出4個才能保證有兩個球的顏色相同，至少要摸22個才能保證摸出兩個黃色的球．故答案為：4，22．【點睛】本題考查抽屜原理，熟練掌握抽屜原理中的最壞情況進行分析是完成本題的關(guān)鍵．3．某船隊要對下月是否出海作出決策，若出海后是好天氣，可得收益5000元；若出海后天氣變壞，將要損失2000元；若不出海，無論天氣好壞都要承擔(dān)1000元的損失費，船隊隊長通過上網(wǎng)查詢下月的天氣情況后，預(yù)測下月好天氣的機會是，壞天氣的機會是，則作出決策為（填“出?！?、“不出?！保敬鸢浮砍龊！痉治觥坷酶怕仕愠霁@得收益的平均值比較即可．【詳解】解：預(yù)測下月好天氣的機會是，壞天氣的機會是，，下月是好天氣的可能性壞天氣的可能性；又若出海后是好天氣，可得收益5000元；若出海后天氣變壞，將要損失2000元；若不出海，無論天氣好壞都要承擔(dān)1000元的損失費，出海的話，獲得平均收益（獲得收益的數(shù)學(xué)期望）（元，不出海：（元，，船隊隊長作出決策為：出海．故答案為：出海．【點睛】本題主要考查概率的實際應(yīng)用，能夠通過概率算出平均收獲是解題關(guān)鍵．4．某體育館有A，B兩個入口，每個入口有3個通道可同時通行，C，D，E三個出口，其中C、D出口有2個通道，E出口只有一個通道，每個通道在規(guī)定時間內(nèi)可通行100人，規(guī)定：觀眾進館時須持票任意從兩個入口進入，出館時只可任意從三個出口離開．甲、乙、丙三名觀眾分別從兩個入口中隨機選擇一個入口進入．(1)求甲從A口進入，C口離開的概率；(2)求甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進館的概率．(3)學(xué)校有七、八、九三個年級的學(xué)生進場觀看比賽，七年級80人，八年級150人，九年級160人，比賽結(jié)束后，為了能夠在規(guī)定時間內(nèi)使所有同學(xué)都能有序離開，請你合理安排七、八、九三個年級的學(xué)生從C、D、E三個出口（每個年級的學(xué)生走同一個出口）離開（安排一種即可），并說明理由．【答案】(1)(2)(3)七年級走E出口，八九年級走C、D出口，理由見解析【分析】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．（1）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中甲從A口進入，C口離開的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有8種等可能的結(jié)果，其中甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進館的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可；（3）滿足題意的方案即可．【詳解】（1）解：（1）畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中甲從A口進入，C口離開的結(jié)果有1種，

∴甲從A口進入，C口離開的概率為；（2）畫樹狀圖如下：共有8種等可能的結(jié)果，其中甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進館的結(jié)果有2種，

∴甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進館的概率為．（3）七年級走E出口，八九年級走C、D出口．理由：因為七年級80人，八年級150人，九年級160人，又因為C、D出口有2個通道，E出口只有一個通道，且每個通道在規(guī)定時間內(nèi)可通行100人，所以按七年級走E出口，八九年級走C、D出口方案，能夠在規(guī)定時間內(nèi)使所有同學(xué)都能有序離開．1．山西省中考體育考試將足球、籃球、排球“三大球”單列成為體育中考項目4（學(xué)生自選一項），若考生任選一項參加考試，則甲考生選擇籃球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】題考查概率公式求概率，注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【詳解】解：考生一共有種不同的選擇，選擇的可能性相同，則考生選擇考籃球的概率為，故選：C．2．一個袋子中有黑球個，白球4個，每個球除顏色外都相同，搖勻后從中任取一個球，摸出黑球的概率為，則的值是（

）A．12 B．14 C．16 D．20【答案】A【分析】本題主要考查概率，熟練掌握概率的求解是解題的關(guān)鍵．由于摸出黑球的概率為，故可利用概率公式列出等式，求出m的值．【詳解】解：，∴，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴，故選：A．3．下列選項中，屬于隨機事件的是（

）A．在一個只有紅球的口袋中，摸出白球 B．a(chǎn)是負數(shù)，則C．某同學(xué)練習(xí)投籃，其中一次投中籃筐 D．兩個等邊三角形相似【答案】C【分析】本題考查事件的分類．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．據(jù)此逐一判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、屬于不可能事件，不符合題意；B、屬于必然事件，不符合題意；C、屬于隨機事件，符合題意；D、屬于必然事件，不符合題意；故選：C．4．一個不透明的袋子中有個紅球和個黃球，這些球除顏色外完全相同．從袋子中隨機摸出一個球，它是黃球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了概率的求法，根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部等可能情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】解：∵袋子中球的總數(shù)為：，有個黃球，∴從袋子中隨機摸出一個球，它是黃球的概率為：．故選：B．5．林業(yè)部門考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：移植總數(shù)1027075015003500700014000成活數(shù)823566213353180629212628成活的頻率結(jié)果保留小數(shù)點后三位0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902下列說法正確的是（

）A．若移植10棵幼樹，成活數(shù)將為8棵B．若移植270棵幼樹，成活數(shù)不會超過235棵C．移植的幼樹越多，成活率越高D．隨著移植總數(shù)的增加，幼樹移植成活的頻率總在0.900左右擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計該幼樹在同等條件下移植成活的概率為0.900【答案】D【分析】題考查了利用頻率估計概率，概率的意義．概率是大量重復(fù)實驗的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率．【詳解】解：∵概率是大量重復(fù)實驗的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率，∴所以這種幼樹移植成活率的概率約為，故選D．6．將分別標有“學(xué)”“習(xí)”“強”“國”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“強國”的概率是．【答案】【分析】本題考查列表法或樹狀圖法求等可能事件發(fā)生的概率．根據(jù)題意依次列舉出可能出現(xiàn)的情況即可算出本題答案．【詳解】解：根據(jù)題意將情況一一列舉出來，如圖所示：設(shè)：兩次摸出的球上的漢字組成“強國”的事件為A，共有12種等可能的結(jié)果，其中事件A發(fā)生有2種結(jié)果，∴，故答案為：．7．從6、7、8這三個數(shù)中任選兩個數(shù)，其積為偶數(shù)的概率是．【答案】【分析】本題考查的是利用列舉法求解概率，先列舉所有的情況數(shù)與符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可．【詳解】解：從6、7、8這三個數(shù)中任選兩個數(shù)，有三種情況：，；，；，；而，，，∴積為偶數(shù)的概率為，故答案為：8．一個不透明的袋中有若干個除顏色外完全相同的小球，其中黃球有6個，將袋中的球搖勻后，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋中小球的個數(shù)為．【答案】20【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用黃球的個數(shù)除以摸到黃球頻率即可得出球的總個數(shù)．【詳解】解：通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，口袋中黃球有6個，∴袋中小球的個數(shù)為（個）．故答案為：20．9．2023年12月3日，以“暢跑海絲路，晉馬世遺情”為主題的特步馬拉松賽在中國著名僑鄉(xiāng)晉江鳴槍開跑．小馬報名參加了該項賽事的志愿者服務(wù)工作，組委會隨機將志愿者分配到半程馬拉松、全程馬拉松和健康跑三個項目組．小馬被分配到“半程馬拉松”項目組的概率為．【答案】【分析】本題考查概率公式，根據(jù)概率公式直接求出即可．【詳解】解：組委會隨機將志愿者分配到半程馬拉松、全程馬拉松和健康跑三個項目組．3種等可能出現(xiàn)的結(jié)果中，小馬被分配到“半程馬拉松”項目組的只有1種，小馬被分配到“半程馬拉松”項目組的概率為，故答案為：．10．某大型生鮮超市購進一批草莓，在運輸、儲存過程中部分草莓損壞（不能出售），超市工作人員從所有草莓中隨機抽取了若干進行“草莓損壞率”統(tǒng)計，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄如下表：草莓總質(zhì)量n/斤2050100200500損壞草莓質(zhì)量m/斤草莓損壞的頻率根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以估計，這批草莓的損壞率為．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】【分析】本題考查了由頻率估計概率．根據(jù)表格中的草莓損壞的頻率為，估計草莓損壞的概率即可．【詳解】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以估計，這批草莓的損壞率為，故答案為：．11．2023年9月23日晚，第19屆亞運會開幕式在浙江杭州隆重舉行．如圖是小明收集的本屆亞運會的四枚紀念徽章（其中會徽徽章用A表示，宸宸、瓊瓊、蓮蓮三個吉祥物徽章分別用B，C，D表示），小明從這四枚徽章中隨機抽取兩枚．請利用畫樹狀圖或列表的方法，求抽到的兩枚徽章中有一枚是會徽徽章的概率．【答案】，畫圖見解析【分析】本題考查用樹狀圖或列表法求概率．根據(jù)題意用列表法將情況一一列舉出，即可求得本題答案．【詳解】解：∵小明從這四枚徽章中隨機抽取兩枚，∴用列表法如下圖所示：，設(shè)：抽到的兩枚徵意中有一枚是會徽徽章為事件，根據(jù)上方列表可知，共有12種情況，其中有6種符合情況，∴．12．小明和小亮用如圖所示的轉(zhuǎn)盤進行游戲，三個扇形的圓心角均相等，分別標有數(shù)字1，2，3．游戲規(guī)則如下：一人轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，若兩次轉(zhuǎn)盤指針所指的數(shù)字之積為偶數(shù)，則小明勝；若兩次轉(zhuǎn)盤指針所指的數(shù)字之積為奇數(shù)，則小亮勝．

(1)用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．(2)你認為這個游戲公平嗎？請說明理由，【答案】(1)見解析(2)不公平，理由見解析【分析】本題考查畫樹狀圖或列表法表示事件的等可能性，簡單概率計算．（1）根據(jù)題意列表法表示即可；（2）根據(jù)（1）中列表計算出現(xiàn)的概率是否一致來判斷是否公平即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，列表如下：

由表格可知，共有9種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．（2）解：不公平，理由如下：由（1）中表格可知，兩次轉(zhuǎn)盤指針所指數(shù)字之積為偶數(shù)的有5種，積為奇數(shù)的有4種，則小明勝的概率是，小亮勝的概率是．，這個游戲不公平．13．早茶作為廣東餐飲文化的重要組成部分，以其小吃精美、種類繁多、口味獨特、價格實惠而聞名．張帆在廣州旅游期間，決定在“A．蝦餃，B．干蒸燒賣，C．艇仔粥，D．蜜汁叉燒包”四種茶點中選擇喜歡的進行品嘗．（選到每種茶點的可能性相同）(1)如果只選其中一種茶點品嘗，張帆選到“蜜汁叉燒包”的概率是______________；(2)如果選擇兩種茶點品嘗，請用畫樹狀圖或列表的方法求張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了概率的應(yīng)用，掌握概率的計算公式以及樹狀圖或列表法是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意即可求解；（2）畫出樹狀圖，確定可能出現(xiàn)的所有結(jié)果以及滿足條件的結(jié)果數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵共有四種茶點，∴如果只選其中一種茶點品嘗，張帆選到“蜜汁叉燒包”的概率是：，故答案為：（2）解：畫樹狀圖如圖所示：由樹狀圖知，共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中選到“蝦餃”和“艇仔粥”的結(jié)果有2種，∴P（張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”）.14．籠子里關(guān)著一只小松鼠（如圖），管理員決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開．松鼠要先經(jīng)過第一道門（或），再經(jīng)過第二道門（或或）才能出去．(1)松鼠經(jīng)過第一道門時，從口出去的概率是_____；(2)請用畫樹狀圖或列表的方法表示松鼠出籠子的所有可能路線（經(jīng)過兩道門），并求松鼠經(jīng)過門出去的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了概率的應(yīng)用，掌握概率的求解方法以及畫樹狀圖或列表法是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)松鼠經(jīng)過第一道門時，要么選擇，要么選擇，即可求解；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖，找出總的可能情況和松鼠經(jīng)過門出去的情況，即可求出概率．【詳解】（1）解：∵松鼠經(jīng)過第一道門時，要么選擇，要么選擇，∴松鼠經(jīng)過第一道門時，從口出去的概率是，故答案為：（2）解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的情況，其中松鼠經(jīng)過門出去的情況有2種，∴松鼠經(jīng)過門出去的概率是15．已知一個不透明的袋子中裝有4個只有顏色不同的球，其中1個白球，3個紅球．(1)求從袋中隨機摸出一個球是紅球的概率．(2)從袋中隨機摸出一個球，記錄顏色后放回，搖勻，再隨機摸出一個球，請用樹狀圖或列表法求兩次摸出的球恰好顏色不同的概率．(3)若在原袋子中再放入m個白球和m個紅球，攪拌均勻后，使得隨機從袋中摸出1個球，顏色是白色的概率為求m的值．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）直接利用概率公式計算可得；（2）先列表得出所有等可能結(jié)果，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，繼而利用概率公式求解可得；（3）根據(jù)已知列出關(guān)于m的方程，解之可得．【詳解】（1）解：（1）∵袋中共有4個小球，其中紅球有3個，∴從袋中隨機摸出一個球是紅球的概率為，由表知共有49種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的球恰好顏色不同的有20種結(jié)果，∴兩次摸出的球恰好顏色不同的概率為；（2）列表如下：白紅紅紅白（白，白）（紅，白）（紅，白）（紅，白）紅（白，紅）（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）紅（白，紅）（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）紅（白，紅）（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）由表知共有16種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的球恰好顏色不同的有6種結(jié)果，∴兩次摸出的球恰好顏色不同的概率為；（3）解：根據(jù)題意，得：，解得m＝3；∴m的值為3．【點睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．1．下列說法中，正確的是（

）A．對角線相等的四邊形是正方形B．關(guān)于的方程一定有兩個實數(shù)根C．當(dāng)實驗次數(shù)足夠大時，頻率穩(wěn)定在概率附近D．兩個等腰三角形一定相似【答案】C【分析】本題考查了正方形的判定、一元二次方程根的判別式、利用頻率估計概率、相似三角形的判定，熟練掌握各判定定理和一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的判定、一元二次方程根的判別式、利用頻率估計概率、相似三角形的判定逐項判斷即可得．【詳解】解：A、對角線相等的菱形是正方形，則此項錯誤，不符合題意；B、當(dāng)時，關(guān)于的方程為，只有一個解，當(dāng)時，關(guān)于的方程的根的判別式為，一定有兩個不相等的實數(shù)根，綜上，此項錯誤，不符合題意；C、當(dāng)實驗次數(shù)足夠大時，頻率穩(wěn)定在概率附近，則此項正確，符合題意；D、兩個等腰直角三角形一定相似，但兩個等腰三角形不一定相似，則此項錯誤，不符合題意；故選：C．2．點P的坐標是，從，，0，4，7這五個數(shù)中任取一個數(shù)作為m的值，再從余下的四個數(shù)中任取一個數(shù)作為n的值，則點在平面直角坐標系中第四象限內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了點的坐標以及列表法與樹狀圖法，先畫樹狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)第四象限點的坐標特征找出點在平面直角坐標系中第四象限內(nèi)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：共有20種等可能的結(jié)果，其中點在平面直角坐標系中第四象限內(nèi)的結(jié)果數(shù)為4，所以點在平面直角坐標系中第四象限內(nèi)的概率為，故選：B．3．文房四寶是我國傳統(tǒng)文化中的文書工具，即筆、墨、紙、硯．某禮品店將傳統(tǒng)與現(xiàn)代相結(jié)合，推出文房四寶盲盒，盲盒外觀和重量完全相同，內(nèi)含對應(yīng)文房四寶之一的卡片，若從一套四個盲盒（筆墨紙硯盲盒各一個）中隨機選兩個，則恰好抽中筆和紙的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了畫樹狀圖法求概率，根據(jù)題意正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意畫出樹狀圖，再確定共有多少種可能性以及恰好抽中內(nèi)含筆和紙的可能性數(shù)目，然后運用概率公式計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：一共有12種等可能性，其中恰好抽中內(nèi)含筆和紙的可能性有2種，故恰好抽中內(nèi)含筆和紙的盲盒的概率是．故選A．4．某大型連鎖超市以17元/斤的價格購進草莓1萬斤，在運輸、儲存過程中部分草莓損壞，超市管理員從所有的草莓中隨機抽取了若干進行“草莓損壞率”統(tǒng)計，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄如表：草莓總質(zhì)量n/斤2050100200500損壞草莓質(zhì)量m/斤3.127.715.229.875草莓損壞的頻率0.1560.1540.1520.1490.150超市管理員希望賣出草莓（損壞的草莓不能出售）可以獲得利潤42500元，那么就需要利用草莓損壞的概率（精確到0.01）估算草莓的售價．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以估計，草莓每斤的售價應(yīng)該定為（

）A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元【答案】A【分析】本題主要考查用頻率估計概率和一元一次方程的應(yīng)用，先由草莓的損壞率得出完好率，再設(shè)每斤草莓的售價為x元，根據(jù)“利潤=售價進價”列出一元一次方程，求出x的值即可．【詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可得草莓的損壞率為，則完好率為：，設(shè)每斤草莓的售價為x元，根據(jù)題意得，，解得，，即每斤草莓的售價為25元，故選：A．5．小明珍藏了四枚由國家郵政局發(fā)行的《京劇生角》特種郵票，上面分別繪有《將相和》中的藺相如、《四進士》中的宋士杰、《群英會》中的周瑜、《白蛇傳》中的許仙，這些郵票除圖案外，質(zhì)地、規(guī)格完全相同．元旦之際，他想把心愛的郵票送給好朋友小亮兩枚，于是將這些郵票背面朝上，讓小亮隨機抽取，小亮抽到的郵票正好是“藺相如”和“周瑜”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查列表法和樹狀圖求概率，熟練掌握列表法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)列表法把所有情況列舉出來即可．【詳解】解：藺相如宋士杰周瑜許仙藺相如宋士杰和藺相如周瑜和藺相如許仙和藺相如宋士杰藺相如和宋士杰周瑜和宋士杰許仙和宋士杰周瑜藺相如和周瑜宋士杰和周瑜許仙和周瑜許仙藺相如和許仙宋士杰和許仙周瑜和許仙一共有種情況，符合條件的是兩種，故．故選A．6．從3，4中任取一個數(shù)作為中的，則該函數(shù)圖象與軸有兩個交點的概率是．【答案】/【分析】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題、概率的計算，解題的關(guān)鍵是理解令得到的二次方程，其判別式大于0時，二次函數(shù)與x軸有兩個交點．令得到一元二次方程，分別將3、4代入判別式進行計算，判別式大于0時即滿足函數(shù)圖像與x軸有兩個交點，然后進一步可計算出概率．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，則令時得到的二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時，當(dāng)時，，說明此時函數(shù)圖像與x軸無交點；當(dāng)時，，說明此時函數(shù)圖像與x軸有兩個交點；因此，從3，4這兩個數(shù)中任取一個數(shù)，符合要求的只有一個，故概率為．故答案為：．7．如圖，點為正六邊形對角線上一點，假設(shè)可以隨機在正六邊形中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是．【答案】【分析】本題考查了幾何概率，先根據(jù)正六邊形的特點求出來陰影部分的面積，然后根據(jù)幾何概率公式計算求解即可，解題的關(guān)鍵在于正確表示陰影部分、正六邊形的面積．【詳解】解：∵為正六邊形，連接，交點為一點M，如圖所示：設(shè)正六邊形的邊長為，每個小三角形底邊上的高為，則的長為，∴正六邊形的面積為，，則，∴這個點在陰影部分的概率為，故答案為：．8．2024年“元旦”期間，小明與小亮準備從蕪湖古城、方特夢幻王國、松鼠小鎮(zhèn)中選擇一景點游玩，小明與小亮通過抽簽方式確定景點，則兩人抽到同一景點的概率是．【答案】【分析】本題考查了利用樹狀圖法活列表法求概率，熟練掌握列舉法是解題關(guān)鍵．先畫出樹狀圖，從而可得兩人抽簽的所有等可能的結(jié)果，再找出兩人抽到同一景點的結(jié)果，然后利用概率公式求解即可得．【詳解】解：將蕪湖古城、方特夢幻王國、松鼠小鎮(zhèn)分別記為，畫出樹狀圖如下：由圖可知，兩人抽簽的所有等可能的結(jié)果共有9種，其中，兩人抽到同一景點的結(jié)果有3種，則兩人抽到同一景點的概率是，故答案為：．9．如圖，正方形的對角線交于點中，，將繞點旋轉(zhuǎn)（邊在正方形外面），現(xiàn)隨機向正方形內(nèi)拋擲一枚小針，則針尖落在與正方形重疊部分的概率為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，概率公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：正方形的對角線交于點，，，，，，，，，設(shè)正方形的邊長為，，，正方形與Rt兩個圖形重疊部分的面積針尖落在與正方形重疊部分的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查幾何概率，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．10．為了改良某種農(nóng)作物的基因，培育更加優(yōu)良的品種，某研究團隊開展試驗，對該種農(nóng)作物的種子進行輻射，使其基因發(fā)生某種變異．表一記錄了截至目前的試驗數(shù)據(jù)．表一累計獲得試驗成功的種子數(shù)（單位：粒）1468101214累計試驗種子數(shù)（單位：千粒）15810.512.514.516.5該團隊共需要30粒基因發(fā)生該種變異的種子，請根據(jù)表一的數(shù)據(jù)，合理估計他們還需要準備用以輻射的種子數(shù)（單位：千粒）．【答案】16【分析】本題考查用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．根據(jù)表中數(shù)據(jù)算出每次實驗的成功率，得出成功的概率，利用還差的變異的種子數(shù)除以概率即可求解．【詳解】解：第1次實驗成功率為：，第2次實驗成功率為：，第3次實驗成功率為：，第4次實驗成功率為：，第5次實驗成功率為：，第6次實驗成功率為：，第7次實驗成功率為：，綜上所述，試驗成功的概率為，該團隊共需要30?；虬l(fā)生該種變異的種子，已經(jīng)成功14粒，還差16粒，有（粒）（千粒），故答案為：16．11．某校合唱團為了開展線上“百人合唱一首歌”的“云演出”活動，需招收新成員，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加了應(yīng)聘活動，其中甲、乙來自八年級，丙、丁來自九年級，現(xiàn)對這四名同學(xué)采取隨機抽取的方式進行線上面試．(1)若隨機抽取一名同學(xué)，恰好抽到甲同學(xué)的概率為___________；(2)若隨機抽取兩名同學(xué)，請用列表法或樹狀圖法求兩名同學(xué)均來自九年級的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是簡單隨機事件的概率，以及利用畫樹狀圖求解復(fù)雜的隨機事件的概率，掌握求概率的基本方法是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式可得答案；（2）畫出樹狀圖，利用概率公式計算即可．【詳解】（1）解：由概率公式得：隨機抽取一名同學(xué)，恰好抽到甲同學(xué)的概率為，故答案為：（2）畫樹狀圖如下：一共有種等可能的結(jié)果，其中兩名同學(xué)均來自九年級的有種可能，所以：兩名同學(xué)均來自九年級的概率12．紅古田惠民卡是由龍巖市委、市政府主導(dǎo)，龍巖市文化和旅游局監(jiān)制，龍巖文旅匯金發(fā)展集團發(fā)行，龍巖景區(qū)讓利的一項旅游惠民工程．小明家已購買了紅古田惠民親子卡，憑親子卡本年度可以在龍巖20個景區(qū)無需購買首道門票進入游玩．某周末小明家決定從梁野山、龍碎洞、梅花山虎園、臥龍書院4個景區(qū)中選擇1至2個景區(qū)游玩．(1)若小明家從這4個景區(qū)，隨機選擇1個景區(qū)游玩，則選中梅花山虎園景區(qū)的概率為________；(2)若小明家從這4個景區(qū)，隨機選擇2個景區(qū)游玩，求選中梁野山和臥龍書院2個景區(qū)游玩的概率．（要求畫樹狀圖或列表求概率，并將梁野山表示為A，龍腔洞表示為B，梅花山虎園表示為C，臥龍書院表示為D．）【答案】(1)(2)列表見解析，【分析】（1）直接利用概率的計算公式進行計算即可；（2）先根據(jù)題意用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，找出選中梁野山和臥龍書院2個景區(qū)的所有情況，再根據(jù)概率的計算公式進行計算即可．概率=所求情況數(shù)總情況數(shù)，熟練掌握概率的計算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）小明家從這4個景區(qū)，隨機選擇1個景區(qū)游玩，則選中梅花山虎園景區(qū)的概率為；故答案為：（2）將梁野山表示為A，龍腔洞表示為B，梅花山虎園表示為C，臥龍書院表示為D，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC共有12種等可能的結(jié)果，其中選中A和D的有2種，．13．在春節(jié)來臨之際，某商場開展“慶新年”有獎酬賓活動：凡購物滿200元，均可得到一次在不透明的紙盒里抽獎的機會，該紙盒里裝有2個紅球和3個白球，它們除顏色外其它都相同．(1)若抽獎?wù)邚脑摷埡兄幸淮蚊鲆粋€球，抽到紅球的概率是多少？(2)該商場支持“在線支付”和“現(xiàn)金支付”兩種付款方式，抽獎?wù)邚脑摷埡兄幸来稳〕鰞蓚€球（不放回），根據(jù)抽獎?wù)叩母犊罘绞胶颓虻念伾珱Q定贈送相應(yīng)券值的禮金券．（如表）在線支付：球兩紅一紅一白兩白禮金券/元102010現(xiàn)金支付：球兩紅一紅一白兩白禮金券/元201020如果一個顧客當(dāng)天在本商場購物滿200元，他很想獲得20元的禮金券，你推薦他采用哪種支付方式？并說明理由．【答案】(1)(2)選擇在線支付，理由見解析【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽到兩個紅球的結(jié)果數(shù)、抽到一個紅球一個白球的結(jié)果數(shù)、抽到兩個白球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可求出采用在線支付獲得20元的禮金券的概率和采用現(xiàn)金支付獲得20元的禮金券的概率，進而可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意得，抽獎?wù)邚脑摷埡兄幸淮蚊鲆粋€球，抽到紅球的概率是．（2）列表如下：紅紅白白白紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）（紅，白）紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）（紅，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）（白，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）（白，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）（白，白）共有20種等可能的結(jié)果，其中抽到兩個紅球的結(jié)果有2種，抽到一個紅球一個白球的結(jié)果有12種，抽到兩個白球的結(jié)果有6種，∴采用在線支付獲得20元的禮金券的概率為，采用現(xiàn)金支付獲得20元的禮金券的概率為．∵，∴選擇在線支付．14．我省高考從2025年起將采用“3＋1＋2”模式：“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必選科目；“1”是指在物理、歷史兩科中任選一科；“2”是指在化學(xué)、生物、政治、地理四科中任選兩科．(1)小舟在“1”中選擇物理的概率是______；(2)若小華在“1”中選擇了歷史，用畫樹狀圖或者列表的方法求他在“2”中選擇化學(xué)和生物的概率．（化學(xué)、生物、政治、地理分別用字母A、B、C、D表示）【答案】(1)(2)【分析】此題考查了用概率公式和列表法或樹狀圖法求概率，掌握概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．（1）由概率公式即可得出答案；（2）先列表，共有12個等可能的結(jié)果，其中選化學(xué)、生物的方案有2個，然后由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：∵“1”中有物理、歷史兩科，∴選擇物理的概率為；（2）解：列表如下：共有12個等可能的結(jié)果，其中選化學(xué)、生物的方案有2個，她在“2”中選化學(xué)、生物的概率．15．一個不透明的袋子里有4個小球，小球上各標有一個數(shù)字，分別是1，2，4，7．這些小球除標有的數(shù)字不同外其他都相同．(1)從這個袋子里隨機摸出一個小球，摸出標有數(shù)字“2”的小球的概率是________；(2)先從袋中隨機摸出一個小球，記下小球上的數(shù)字后，放回、搖勻，再從袋子中隨機摸出一個小球，記下小球上的數(shù)字，第一次記下的數(shù)放在十位，第二次記下的數(shù)放在個位組成兩位數(shù)，請運用畫樹狀圖或列表的方法，求這個兩位數(shù)是偶數(shù)的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的樹狀圖，求出相應(yīng)的概率．（1）直接運用概率公式計算即可；（2）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求出這個兩位數(shù)是偶數(shù)的概率．【詳解】（1）解：由題意可得，從袋中機摸出一個小球，則摸出標有數(shù)字“2”的小球的概率是．（2）解：畫樹狀圖如下

由樹狀圖可知一共有16種可能，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中這個兩位數(shù)是偶數(shù)的結(jié)果數(shù)有8種，這個兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為．1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，桌面上有3張卡片，1張正面朝上．任意將其中1張卡片正反面對調(diào)一次后，這3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上的概率是（）．

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】任意將其中1張卡片正反面對調(diào)一次，有3種對調(diào)方式，其中只有對調(diào)反面朝上的2張卡片才能使3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上，據(jù)此即可作答．【詳解】解：∵任意將其中1張卡片正反面對調(diào)一次，有3種對調(diào)方式，其中只有對調(diào)反面朝上的2張卡片才能使3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上，∴，故選：B．【點睛】本題考查了簡單概率的計算，明確題意，知道只有對調(diào)反面朝上的2張卡片才能使3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上，是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）在相同條件下的多次重復(fù)試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率為f，該事件的概率為P．下列說法正確的是（

）A．試驗次數(shù)越多，f越大B．f與P都可能發(fā)生變化C．試驗次數(shù)越多，f越接近于PD．當(dāng)試驗次數(shù)很大時，f在P附近擺動，并趨于穩(wěn)定【答案】D【分析】根據(jù)頻率的穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：在多次重復(fù)試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動，并且趨于穩(wěn)定這個性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性．故選：D．【點睛】本題考查了頻率與概率，掌握頻率的穩(wěn)定性是關(guān)鍵．3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）下列事件中的必然事件是（

）A．地球繞著太陽轉(zhuǎn) B．射擊運動員射擊一次，命中靶心C．天空出現(xiàn)三個太陽 D．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈【答案】A【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，可得答案．【詳解】解∶A、地球繞著太陽轉(zhuǎn)是必然事件，故A正確；B、射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，故B錯誤；C、天空出現(xiàn)三個太陽是不可能事件，故C錯誤；D、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，故D錯誤；故選∶A．【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．4．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，轉(zhuǎn)盤中四個扇形的面積都相等，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在灰色區(qū)域的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)灰色區(qū)域與整個面積的比即可求解．【詳解】解：∵轉(zhuǎn)盤中四個扇形的面積都相等，設(shè)整個圓的面積為1，∴灰色區(qū)域的面積為,∴當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在灰色區(qū)域的概率是，故選：C．【點睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內(nèi)任取一點，則點落在陰影部分的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)小正方形的邊長為1，則大正方形的邊長為，根據(jù)題意，分別求得陰影部分面積和總面積，根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為1，則大正方形的邊長為，∴總面積為，陰影部分的面積為，∴點落在陰影部分的概率為，故選：B．【點睛】本題考查了幾何概率，分別求得陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同，任意投擲飛鏢1次（假設(shè)每次飛鏢均落在游戲板上），擊中有顏色的小正方形（陰影部分）的概率為．【答案】【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為1，則總面積為9，其中陰影部分面積為5，∴飛鏢落在陰影部分的概率是，故答案為：．【點睛】本題考查了幾何概率的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．7．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，電路圖上有3個開關(guān)和1個小燈泡，閉合開關(guān)或同時閉合開關(guān)都可以使小燈泡發(fā)亮．任意閉合其中的1個開關(guān)，小燈泡發(fā)亮的概率是．

【答案】【分析】直接由概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：閉合開關(guān)或者同時閉合開關(guān)、，都可使小燈泡發(fā)光，任意閉合其中一個開關(guān)共有3種等可能的結(jié)果，小燈泡發(fā)光的只有閉合這1種結(jié)果，小燈泡發(fā)光的概率為．故答案為：．【點睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用．此題比較簡單，注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）某種綠豆在相同條件下發(fā)芽試驗的結(jié)果如下：每批粒數(shù)n2510501005001000150020003000發(fā)芽的頻數(shù)m2494492463928139618662794發(fā)芽的頻率（精確到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931這種綠豆發(fā)芽的概率的估計值為（精確到0.01）．【答案】0.93【分析】根據(jù)題意，用頻率估計概率即可．【詳解】解：由圖表可知，綠豆發(fā)芽的概率的估計值0.93，故答案為：0.93．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率．解題的關(guān)鍵在于明確：大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．9．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）在一個不透明的袋子中裝有個紅球和個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一個球，則摸出白球的概率是．【答案】【分析】根據(jù)白球的個數(shù)÷總個數(shù)即可得解；【詳解】根據(jù)題意可得：摸出白球的概率；故答案是：．【點睛】本題主要考查了概率公式算概率，準確分析計算是解題的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）一只不透明的袋子中裝有1個黃球，現(xiàn)放若干個紅球，它們與黃球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出兩個球，使得P（摸出一紅一黃）＝P（摸出兩紅），則放入的紅球個數(shù)為．【答案】3【分析】分別假設(shè)放入的紅球個數(shù)為1、2和3，畫樹狀圖列出此時所有等可能結(jié)果，從中找到摸出一紅一黃和兩個紅球的結(jié)果數(shù)，從而驗證紅球的個數(shù)是否符合題意．【詳解】解：（1）假設(shè)袋中紅球個數(shù)為1，此時袋中由1個黃球、1個紅球，攪勻后從中任意摸出兩個球，P（摸出一紅一黃）＝1，P（摸出兩紅）＝0，不符合題意．（2）假設(shè)袋中的紅球個數(shù)為2，列樹狀圖如下：由圖可知，共有6種情況，其中兩次摸到紅球的情況有2種，摸出一紅一黃的有4種結(jié)果，∴P（摸出一紅一黃）=，P（摸出兩紅）=，不符合題意，（3）假設(shè)袋中的紅球個數(shù)為3，畫樹狀圖如下：由圖可知，共有12種情況，其中兩次摸到紅球的情況有6種，摸出一紅一