專題06平行四邊形的性質(zhì)(考點(diǎn)剖析)-2018-2019學(xué)年浙江省八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末必考點(diǎn)復(fù)習(xí)(浙教版)(原卷版+解析)

專題06平行四邊形的性質(zhì)【考點(diǎn)剖析】1、多邊形內(nèi)角和定理與外角和（1）n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；注意：正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；（2）多邊形的外角和為360°．注意：①在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；②正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；2、平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質(zhì)：（1）邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；（2）角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；（3）對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；（4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.3、中心對(duì)稱圖形（1）如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心.注意：①中心對(duì)稱圖形指的是一個(gè)圖形；②線段，平行四邊形，圓等等都是中心對(duì)稱圖形.（2）中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．注意：①有兩個(gè)圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；②位置必須滿足一個(gè)條件：將其中一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°能夠與另一個(gè)圖形重合（全等圖形不一定是中心對(duì)稱的，而中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定是全等的）.（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，反之也成立.多邊形的內(nèi)角和與外角和【典例】例1．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是（）A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形例2．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是（）A．360° B．480° C．540° D．720°【鞏固練習(xí)】1．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080°，則此多邊形的邊數(shù)是（）A．十二 B．十 C．八 D．十四2．如圖，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的3個(gè)外角，若∠A+∠B＝220°，則∠1+∠2+∠3＝（）A．140° B．180° C．220° D．320°3．如圖，七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，著∠1、∠2、∠3、∠4對(duì)應(yīng)的鄰補(bǔ)角和等于215°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°平行四邊形的性質(zhì)【典例】例1．平行四邊形的3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（1，0）和（0，3）．求第4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．例2．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F．（1）求證：CD＝BE；（2）若AB＝4，點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，且DG＝1，求AE的長(zhǎng)．【鞏固練習(xí)】1．在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BE交AD邊于E，∠DCB的平分線交AD邊于F，若AB＝7，EF＝3，則BC的長(zhǎng)為（）A．11或17 B．11或12 C．12或17 D．11或12或172．如圖，已知△ABC的面積為12，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BC＝4CF，四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．63．如圖，?ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝27°，則∠AED的度數(shù)為_(kāi)_________．4．已知：如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：OE＝OF；（2）楚接BE，DF，求證：BE＝DF．中心對(duì)稱圖形【典例】例1．有下列圖形：①線段，②三角形，③平行四邊形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥菱形，其中不是中心對(duì)稱圖形的是_________．（填序號(hào)）例2．如圖，△ABC與△A′BC′是成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．AB＝A′B′，BC＝B′C B．AB∥A′B′，BC∥B′C C．S△ABC＝S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′【鞏固練習(xí)】1．下列四個(gè)圖形中是中心對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．2．下列四張撲克牌中，左旋轉(zhuǎn)180°后還是和原來(lái)一樣的是（）A． B． C． D．3．如圖所示的四組圖形中，左邊圖形與右邊圖形既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱的是（）A． B． C． D．4．下列圖案均是名車的標(biāo)志，在這些圖案中，是中心對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)專題06平行四邊形的性質(zhì)【考點(diǎn)剖析】1、多邊形內(nèi)角和定理與外角和（1）n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；注意：正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；（2）多邊形的外角和為360°．注意：①在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；②正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；2、平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質(zhì)：（1）邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；（2）角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；（3）對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；（4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.3、中心對(duì)稱圖形（1）如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心.注意：①中心對(duì)稱圖形指的是一個(gè)圖形；②線段，平行四邊形，圓等等都是中心對(duì)稱圖形.（2）中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．注意：①有兩個(gè)圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；②位置必須滿足一個(gè)條件：將其中一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°能夠與另一個(gè)圖形重合（全等圖形不一定是中心對(duì)稱的，而中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定是全等的）.（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，反之也成立.多邊形的內(nèi)角和與外角和【典例】例1．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是（）A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形【答案】B【解析】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得（n﹣2）×180°＝2×360，解得：n＝6．故這個(gè)多邊形是六邊形．故選：B．【點(diǎn)睛】多邊形的外角和是360°，則內(nèi)角和是2×360＝720°．設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，這樣就得到一個(gè)關(guān)于n的方程，從而求出邊數(shù)n的值．本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記內(nèi)角和公式和外角和定理并列出方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求邊數(shù)的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題來(lái)解決．例2．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是（）A．360° B．480° C．540° D．720°【答案】A【解析】解：如圖，連接AD．∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠FAD+∠ADE，∴∠E+∠F＝∠FAD+∠ADE，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠FAD+∠ADE＝∠BAD+∠B+∠C+∠ADC．又∵∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．故選：A．【點(diǎn)睛】連接AD，由三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系可知∠E+∠F＝∠FAD+∠ADE，由四邊形內(nèi)角和是360°，即可求∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．本題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，涉及到四邊形及三角形內(nèi)角和定理，比較簡(jiǎn)單．【鞏固練習(xí)】1．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080°，則此多邊形的邊數(shù)是（）A．十二 B．十 C．八 D．十四【答案】C【解析】解：設(shè)此多邊形邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180°＝1080°，解得n＝8．故選：C．2．如圖，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的3個(gè)外角，若∠A+∠B＝220°，則∠1+∠2+∠3＝（）A．140° B．180° C．220° D．320°【答案】C【解析】解：根據(jù)∠A+∠B＝220°，可知∠A的一個(gè)鄰補(bǔ)角與∠B的一個(gè)鄰補(bǔ)角的和為360°﹣220°＝140°．根據(jù)多邊形外角和為360°，可知∠1+∠2+∠3＝360°﹣140°＝220°．故選：C．3．如圖，七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，著∠1、∠2、∠3、∠4對(duì)應(yīng)的鄰補(bǔ)角和等于215°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【解析】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°，∵五邊形OAGFE內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°，故選：B．平行四邊形的性質(zhì)【典例】例1．平行四邊形的3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（1，0）和（0，3）．求第4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：如圖所示：①以AC為對(duì)角線時(shí)，第四點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3）；②以AB為對(duì)角線時(shí)，第四點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，3）；③以BC為對(duì)角線時(shí)，第四點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）；綜上所述，第4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3），或（﹣4，3），或（﹣2，﹣3）．【點(diǎn)睛】根據(jù)題意畫出平面直角坐標(biāo)系，再描出（﹣3，0）、（1，0）和（0，3）的位置，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找第4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)．此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等．例2．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F．（1）求證：CD＝BE；（2）若AB＝4，點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，且DG＝1，求AE的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）證明：∵AE為∠ADB的平分線，∴∠DAE＝∠BAE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD＝AB．∴∠DAE＝∠E．∴∠BAE＝∠E．∴AB＝BE．∴CD＝BE．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠BAF＝∠DFA．∴∠DAF＝∠DFA．∴DA＝DF．∵F為DC的中點(diǎn)，AB＝4，∴DF＝CF＝DA＝2．∵DG⊥AE，DG＝1，∴AG＝GF．∴AG．∴AF＝2AG＝2．在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4．【點(diǎn)睛】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線證出∠BAE＝∠E．得出AB＝BE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）證出DA＝DF，由F為DC中點(diǎn)，AB＝CD，求出AD與DF的長(zhǎng)，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點(diǎn)，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的長(zhǎng)．此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．【鞏固練習(xí)】1．在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BE交AD邊于E，∠DCB的平分線交AD邊于F，若AB＝7，EF＝3，則BC的長(zhǎng)為（）A．11或17 B．11或12 C．12或17 D．11或12或17【答案】A【解析】解：有兩種情形：①如圖1中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠EBA，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝7，同法可證：DF＝DC＝AB＝7，∵EF＝3，∴BC＝AD＝7+7﹣3＝11．②如圖2中，同法可知：AB＝AE＝7，DF＝DC＝7，EF＝3，∴BC＝AD＝7+3+7＝17，故選：A．2．如圖，已知△ABC的面積為12，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BC＝4CF，四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】解：連接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝12，∴S△ACF12＝3，∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB＝S△DEC，∴S陰＝S△ADE+S△DEC＝S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC＝S△ACF＝3，∴S陰＝3．故選：B．3．如圖，?ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝27°，則∠AED的度數(shù)為_(kāi)_________．【答案】87°【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠EAB＝∠EAD，∴∠EAB＝∠AEB，∴BA＝BE，∵AB＝AE，∴AB＝BE＝AE，∴∠B＝∠BAE＝∠AEB＝60°，∴∠EAD＝∠CDA＝60°，∵EA＝AB，CD＝AB，∴EA＝CD，∵AD＝DA，∴∠AED≌△DCA，∴∠AED＝∠DCA，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝60°+27°＝87°，∴∠AED＝87°．4．已知：如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：OE＝OF；（2）楚接BE，DF，求證：BE＝DF．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△OAF和△OCE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∵OE＝OF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴BE＝DF．中心對(duì)稱圖形【典例】例1．有下列圖形：①線段，②三角形，③平行四邊形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥菱形，其中不是中心對(duì)稱圖形的是_________．（填序號(hào)）【答案】②⑤【解析】解：①線段，②三角形，③平行四邊形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥菱形，其中不是中心對(duì)稱圖形的是：②三角形，⑤等腰三角形，故答案為：②⑤．【點(diǎn)睛】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行逐項(xiàng)分析，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，運(yùn)用排除法即可確定答案．本題主要考查中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合，關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用中心對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行逐項(xiàng)分析．例2．如圖，△ABC與△A′BC′是成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．AB＝A′B′，BC＝B′C B．AB∥A′B