2.2 直線的位置關(guān)系-(選擇性必修第一冊(cè)) (教師版)

直線的位置關(guān)系1兩直線的位置關(guān)系直線方程位置關(guān)系直線方程位置關(guān)系llll重合k1=A相交kA平行k1=A垂直kAPS對(duì)于兩條不重合的直線l1,l則有l(wèi)1//l有l(wèi)1⊥l2?k1?k2線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)分別是(x3常見的直線系方程平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程Ax+By+C垂直于于直線Ax+By+C=0的直線系方程Bx?Ay+C過兩條已知直線l1:AA1(λ∈R,這個(gè)直線系下不包括直線l2:A4對(duì)稱性問題(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P(x0,y0(2)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱設(shè)點(diǎn)P(x0,y0則有y'?y0x(直線l是線段PP'的垂直平分線，則kPP'?k=?1，PP'的中點(diǎn)(x(3)直線關(guān)于直線的對(duì)稱(i)若已知直線l1與對(duì)稱軸l相交于點(diǎn)P，則與l1對(duì)稱的直線l2過點(diǎn)P，再求出直線l1上一點(diǎn)P1關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)P2，則由點(diǎn)(ii)若已知直線l1與對(duì)稱軸l平行，求與已知直線l1關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱的直線l2，利用直線l1、【題型一】直線的位置關(guān)系的判斷【典題1】已知l1：x+my+6=0，l2：(m?2)x+3y+2m=0，分別求m的值，使得l1和l【解析】(1)若l1和l2垂直，方法1把直線化為斜截式，由斜率k1當(dāng)m=0時(shí)，l1:x=?6，當(dāng)m≠0時(shí)，k1=?1m，k2方法2從一般式來看，可得1?(m?2)+3?m=0，∴m=1(2)若l1和l2平行，則∴m2?2m?3=0(3)若l1和l2重合，則m?21(4)若l1和l2相交，則由(2)(3)可知m≠3且【點(diǎn)撥】判定直線的位置，有斜截式和一般式兩種角度；由斜截式判定時(shí)，要注意直線斜率是否存在；由一般式判定時(shí)，切記不要死記結(jié)論.【典題2】順次連接A(?4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(?3,0)，所組成的圖形是()A．平行四邊形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不對(duì)【解析】(要判斷四邊形形狀，需要判斷各邊的位置關(guān)系，可從直線斜率入手)AB的斜率為5?32+4=13，則kAB=k由AD的斜率為3?0?4+3=?3得kAD由BC的斜率為5?32?6=?12得kAD故四邊形為直角梯形，故選B．【典題3】已知m<1，直線l1：y=mx+1，l2：x=?my+1，l1與l2相交于點(diǎn)P，l1交y軸于點(diǎn)A(1)證明：l1(2)用m表示四邊形OAPB的面積S，并求出S的最大值.【解析】(1)當(dāng)m=0時(shí)，直線l1：y=1，l2：x=1，顯然有(確定l2當(dāng)m≠0時(shí)，l1與l2的斜率分別為m，1?m，斜率之積m?綜上，l1(2)由題意知，A(0,1)，B(1,0)，由l1與l2相的方程聯(lián)立方程組解得點(diǎn)P(1?m1+因m<1，故點(diǎn)(注意這點(diǎn)，否則圖不準(zhǔn)確，導(dǎo)致四邊形OAPB判斷出錯(cuò))則|PA|=1?m|PB|=1?m由(1)可知PA⊥PB，∴S∴S故m=0時(shí)，S有最大值為1．【點(diǎn)撥】謹(jǐn)記l1//l2?k鞏固練習(xí)1(★)若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為a1,a(1)若l1∥l2，則斜率k1=k(3)若l1∥l2，則傾斜角a1=a其中正確命題的個(gè)數(shù)是.【答案】4【解析】(1)由于斜率都存在，若l1∥l(2)因?yàn)閮芍本€的斜率相等即斜率k1=k2，得到傾斜角的正切值相等即tana(3)因?yàn)閘1∥l(4)因?yàn)閮芍本€的傾斜角a1=a所以正確的命題個(gè)數(shù)是4．2(★)已知直線l1：x+2ay?1=0，與l2：【答案】0或14【解析】當(dāng)a=0時(shí)，兩直線的斜率都不存在，(注意a是否為0，直線的斜率不一定存在的.)它們的方程分別是x=1，x=－1，顯然兩直線是平行的．當(dāng)a≠0時(shí)，兩直線的斜率都存在，故它們的斜率相等，由2a?1a=?a2a≠?1?13(★)三條直線l1則k的取值范圍是.【答案】k∈R且【解析】由l1∥l3得k=5，由由&x?y=0&x+y?2=0得&x=1若(1，1)在l3上，則k=－10故若l1,l2,4(★)已知直線l1：mx+4y?2=0與l2：2x?5y+n=0互相垂直，其垂足為則m+n?p的值為.【答案】0【解析】∵直線mx+4y－2=0與2x－5y+n=0互相垂直，∴m?4×直線mx+4y－2=0即5x+2y－1=0，垂足(1,p)代入得，5+2p－1=0，∴p=－2．把P(1,－2)代入2x－5y+n=0，可得n=－12，∴m+n－p=10－12+2=0.5(★)直線l過點(diǎn)A(3,4)且與點(diǎn)B(?3,2)的距離最遠(yuǎn)，那么l的方程為.【答案】3x+y?13=0【解析】∵直線l過點(diǎn)A(3,4)且與點(diǎn)B(－3,2)的距離最遠(yuǎn)，∴直線l的斜率為：?1k∴直線l的方程為y－4=－3(x－3)，即3x+y－13=0.6(★★)[多選題]已知等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)為C(3,3)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(6,4) C．(4,6) D．(0,2)【答案】AC【解析】設(shè)B(x,y)，∵等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)為C(3,3)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4)，∴y?3x?3×4?30?3∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(4,6)．故選：AC7(★★★)在△ABC中，已知M(1,6)是BC邊上一點(diǎn)，邊AB,AC所在直線的方程分別為2x?y+7=0,x?y+6=0．(1)若AM⊥BC，求直線BC的方程；(2)若|BM|=|CM|，求直線BC在x軸上的截距．【答案】(1)2x+y?8=0(2)【解析】(1)聯(lián)立方程2x?y+7=0x?y+6=0，解得x=－1,y=5故點(diǎn)A(－1,5)，又M(1,6)，所以kAM因?yàn)锳M⊥BC，所以kBC又M為BC邊上的一點(diǎn)，所以直線BC的方程為y－6=－2(x－1)，即2x+y－8=0；(2)因?yàn)閨BM|=|CM|，所以點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B(m,n),C(a,b)，則有m+a=2，n+b=12，點(diǎn)B在直線AB上，點(diǎn)C在直線AC上，且A(－1,5)，所以有n?5m+1解得m=－3,n=1,a=5,b=11，故點(diǎn)B(－3,1),C(5,11)，所以直線BC的方程為y?111?1=x+3令y=0，解得x=19故直線BC在x軸上的截距為195．【題型二】對(duì)稱問題【典題1】已知直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(?4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【解析】(直線y=2x是角平分線，意味直線AC與BC關(guān)于y=2x對(duì)稱)設(shè)A(?4,2)關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為A'(x,y)，則y?2x+4×2=?1y+22=2×?4+x2(這是點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題，理解到直線y=2x是AA'的垂直平分線易得(?)式)∴直線BA'方程為y?1=?2?1化為3x+y?10=0．(點(diǎn)A'在直線BC上)聯(lián)立3x+y?10=0y=2x，解得x=2y=4，可得(對(duì)稱軸y=2x與直線BC的交點(diǎn)就是點(diǎn)C)【點(diǎn)撥】建議通過畫圖去理解它們之間的關(guān)系，在圖中你能更容易發(fā)現(xiàn)一些隱含信息.【典題2】如圖已知A(4,0)、B(0,4)、O(0,0)，若光線L從點(diǎn)P(2,0)射出，直線AB反射后到直線OB上，在經(jīng)直線OB反射回原點(diǎn)P，則光線L所在的直線方程為.【解析】由題意知直線AB的方程為y=?x+4，設(shè)光線分別射在AB、OB上的M、N處，(本題就是求直線PM方程，只要求出點(diǎn)M便可)由于光線從點(diǎn)P經(jīng)兩次反射后又回到P點(diǎn)，根據(jù)反射規(guī)律，則∠PMA=∠BMN，∠PNO=∠BNM．(反射問題，當(dāng)然想到入射角相等，數(shù)學(xué)上是對(duì)稱問題)作出點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，作出點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P則∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠∴P易得點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P1∵OA=OB=4,∴∠P2∴P2A⊥OA，∴由對(duì)稱性可知P2A=PA=2，可得P2∴P(求P2∴直線PP2方程yx+2聯(lián)立x?3y+2=0x+y?4=0，得x=52，y=∴直線PM：yx?2=325【點(diǎn)撥】反射問題的本質(zhì)還是對(duì)稱問題，平時(shí)處理一類問題中在掌握通法的同時(shí)也要注意“巧法”，根據(jù)題目的特殊性多思考與觀察！【典題3】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為2π3的直線l與x,y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A,B△AOB的面積為83(1)求直線l的方程；(2)直線l'：y=?33x，點(diǎn)P【解析】(1)由題意可得：直線l的斜率k=tan2π設(shè)直線l的方程為：y=?3可得直線l與坐標(biāo)軸的正半軸交點(diǎn)為A(33b,0),B(0,b)∴S△OAB=∴直線l的方程為y=?3(2)由(1)可得A(4,0)，B(0,43(求|PA|+|PB|的最小值是“將軍飲馬”問題，則要求點(diǎn)A或B關(guān)于直線l'的對(duì)稱點(diǎn))設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l'的對(duì)稱點(diǎn)A'(m,n)，則n?0m?4=3∴A'(2,23∵|PA|+|PB|=|PA'|+|PB'|，∴當(dāng)A',B,P三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PB|取得最小值．∴=22(對(duì)于形如a+bc【點(diǎn)撥】在解析幾何中最值問題也是常見的題型，你試試設(shè)點(diǎn)P(m,n)用函數(shù)的方法求解，感受下與本題的幾何法比較.我們最好熟悉更多的模型，比如“將軍飲馬”，它在本題利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱處理了！后面我們?cè)趫A的方程、圓錐曲線中也會(huì)有.鞏固練習(xí)1(★)原點(diǎn)關(guān)于x?2y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】(－2【解析】設(shè)原點(diǎn)關(guān)于x－2y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，則yx×12=－1∴要求的點(diǎn)(－22(★)已知點(diǎn)A(1,2)、B(3,1)，則線段AB的垂直平分線的方程是．【答案】4x?2y?5=0【解析】設(shè)P(x,y)為線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)，則|PA|=|PB|，∴(x?1)23(★)入射光線沿直線x－2y+3=0射向直線l：y=x，被l反射后的光線所在直線的方程是【答案】2x?y?3=0【解析】在入射光線上取點(diǎn)(1,2)，則關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)(2,1)在反射光線上，代入驗(yàn)證，通過排除法，2x－y－3=0滿足．4(★)已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,2)，AB邊上的中線CM所在的直線方程為x+2y?1=0，∠ABC的平分線BH所在直線方程為y=x，則直線BC的方程為．【答案】2x?3y?1=0【解析】由題意可知，點(diǎn)B在角平分線y=x上，可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(m,m)，則AB的中點(diǎn)(m+12，m+22)在直線解得：m=－1，故點(diǎn)B(－1,－1)．設(shè)A關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A'(x0,y0即A'(2,1)則由A'在直線BC上，可得BC的方程為y+11+1即3(y+1)=2(x+1)，即2x－3y－1=0，5(★★)已知A(3,0),B(0,3)，從點(diǎn)P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到時(shí)直線AB上，又經(jīng)過直線AB反射回到時(shí)P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程為．【答案】【解析】直線AB的方程為：x+y=3點(diǎn)P(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P1設(shè)點(diǎn)P1(0,－2)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)則b+2a×(－1)=－1，a2∴P∴光線所經(jīng)過的路程=|PP6(★★)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(6,4)，斜率為k(1)若l的縱截距是橫截距的兩倍，求直線l的方程；(2)若k=?1，一條光線從點(diǎn)M(6,0)出發(fā)，遇到直線l反射，反射光線遇到y(tǒng)軸再次放射回點(diǎn)M，求光線所經(jīng)過的路程．【答案】(1)2x?3y=0或2x+y?16=0(2)417【解析】(1)若直線l的縱、橫截距為0，可得k=2直線l的方程為y=2若截距不為0，由題意設(shè)直線方程是：xa代入P(6,4)得：6a+4故l為：2x+y－16=0，則直線l的方程為2x－3y=0或2x+y－16=0；(2)k=－1時(shí)，l的方程是：y－4=－(x－6)，即x+y－10=0，M(6,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M''為(－6,0)，M關(guān)于直線x+y=10的對(duì)稱點(diǎn)為M'(a,b)，由12(a+6)+1即有M'(10,4)，由如圖可得光線所經(jīng)過的路程為MK+KN+NM=M7(★★)在直線l：3x?y?1=0上求一點(diǎn)P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小．【答案】(1)(2、5)(2)(【解析】(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大顯然A、B位于直線L兩側(cè)，作B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'A，則B'A所在直線與直線L交點(diǎn)即為P，此時(shí)，|PA－PB|的差值最大，最大值就是B'A，設(shè)B點(diǎn)關(guān)于L對(duì)稱點(diǎn)