3.1 橢圓-(選擇性必修第一冊) (教師版)

橢圓1定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距.如圖：P是橢圓上一點，P注PF1+PF2=2a>FPF1+PF2PF2幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程xy范圍?a≤x≤a且?b≤y≤b?b≤x≤b且?a≤y≤a頂點ABAB軸長短軸長2b，長軸長焦點FF焦距Fa、b、c的關(guān)系a離心率e=3一些常見結(jié)論①通徑：過焦點且垂直于長軸的弦，其長度為2b②最大角，P是橢圓上一點，當(dāng)運動到短軸端點時，∠F③焦點三角形面積S?P④焦半徑PF1=a+e⑤橢圓x2a2

【題型一】橢圓的定義【典題1】設(shè)定點F10,－3、F2(0,3)動點P滿足條件|PA．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【解析】由題意得，|PF所以|P當(dāng)且僅當(dāng)a=9a時取等號，此時a=3因為定點F1(0,－3)、F當(dāng)|PF1|+|PF2|=6當(dāng)|PF1|+|PF2|>6時，點故選：D．【點撥】注意橢圓定義的常數(shù)要大于兩定點距離.【典題2】如圖，點A是平面α外一定點，過A作平面α的斜線l，斜線l與平面α所成角為50°．若點P在平面α內(nèi)運動，并使直線AP與l所成角為35°，則動點A．圓B．橢圓C．拋物線 D．雙曲線的一支【解析】用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線．故可知動點P的軌跡是橢圓的一部分．故選：B．鞏固練習(xí)1(★)設(shè)F1－4,0、F2(4,0)為定點，動點A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段【答案】B【解析】若點M與F1，F(xiàn)2可以構(gòu)成一個三角形，則∵|F1F2|=8∴點M在線段F1故選：D．2(★★)在棱長為1的正方體ABCD－A'B'C'D'中，若點P是棱上一點，則滿足|PA|+|PC'|=2的點P的個數(shù)為()A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】∵正方體的棱長為1,∴AC'=∵|PA|+|PC'|=2∴點P是以2c=3為焦距，以a=1為長半軸，以1∵P在正方體的棱上∴P應(yīng)是橢圓與正方體的棱的交點結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，滿足條件的點應(yīng)該在棱B'C',C'D',CC',AA',AB,AD上各有一點滿足條件故選：B．【題型二】橢圓方程【典題1】已知方程4x2+ky2=1的曲線是焦點在y【解析】橢圓方程4x2+k由于橢圓的焦點在y軸上，則1k>故答案為：0<k<4.【點撥】曲線方程C:當(dāng)m>0,n>0且m≠n時，C為橢圓(若m=n當(dāng)m>n>0時，C為焦點在x軸上的橢圓且a當(dāng)n>m>0時，C為焦點在y軸上的橢圓且a簡而言之：看分母大小.【典題2】經(jīng)過兩點A(0,2)、B(12,3)【解析】由題意，設(shè)橢圓的方程為x2m則4n=11∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2【點撥】過兩個點的橢圓設(shè)為x2m+y2【典題3】已知F(2,0)是橢圓E：x2a2+y2b【解析】方法一已知F(2,0)是橢圓E：x2a2可得a2?(這里求a,b可“猜”，由2a2+1b所以所求橢圓方程為：x2方法二依題意可知，橢圓的兩個焦點分別為F1?由橢圓的定義，可知2a=EF又c=2所以所求橢圓方程為：x2【點撥】方法二利用橢圓的定義求解，計算量較小.鞏固練習(xí)1(★)已知方程x24?k+y2k?1=1表示焦點在x【答案】(1，52)【解析】∵方程x24?k+∴4?k>0k?1>04?k>k?1∴k的取值范圍是(1，52)．故答案為：(1，522(★)已知B、C是兩個定點，|BC|=6，且△ABC的周長等于16，則頂點A【答案】x225+【解析】∵|BC|=6，且△ABC的周長等于16，∴AB+AC=10>BC，故頂點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，除去與x軸的交點，∴2a=10，c=3，∴b=4，故頂點A的軌跡方程為x225+故答案為：x225+3(★)焦點在x軸上，焦距等于4，且經(jīng)過點P(3,?26)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是【答案】x2【解析】由橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的方程為x∵焦距等于4，且橢圓經(jīng)過點P(3,?26∴c=a2?b因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故答案為：x【題型三】橢圓的圖像及其性質(zhì)【典題1】(多選題)如圖，橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點和左焦點，且橢圓Ⅱ的右頂點為橢圓Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長半軸長分別為a1和a2，半焦距分別為c1和c2A．a(chǎn)1+C．a(chǎn)1c2>【解析】由題圖知，對于A，a1對于B，由圖可知a1－對于C，∵c對于D，由圖知，c∴e1=c1a1對于E，e1=c故選：ABD．【點撥】由于e=ca=1?【典題2】如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(－25,0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|=|OF|，且【解析】由題意可得c=25，設(shè)右焦點為由|OP|=|OF|=|OF'|，易得PF⊥PF'(P在三角形?PFF'外接圓上)由勾股定理，得|PF'|=FF'由橢圓定義，得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12，從而a=6，于是b所以橢圓的方程為x2【點撥】注意焦點三角形△PFF'的運用，常用到橢圓定義|PF【典題3】橢圓的離心率為22，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，若橢圓上存在一點與F關(guān)于直線y=x+4【解析】由橢圓的離心率e=ca=2由b2=不妨設(shè)橢圓方程為x∴右焦點(－b,0)關(guān)于l：y=x+4的對稱點設(shè)為(x',y')則y'x'+b=?1由點(－4,4－b)在橢圓上，得16+2由橢圓的對稱性可知橢圓的焦點坐標(biāo)也可以在y軸上，(注意焦點的位置)∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x218+【點撥】點A(x1,y1?AA'的中點(x1+x2【典題4】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2【解析】如圖所示，線段AF1的垂直平分線與橢圓的一個交點為B，則|AB|=|BF∵∴|BF∴點A是橢圓短軸的一個端點，不妨設(shè)為上端點．作BC⊥x軸，垂足為點C，則△AO∴|BC|∴yB=?(對AB=3F2代入橢圓方程可得：9c24∴e=c【點撥】處理類似AB=3F【典題5】已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,【解析】在三角形?F由余弦定理可得cos∠F1B(用二倍角公式求出也cos∠OBF可設(shè)a=5t，c=3t設(shè)D(m,n)，即有∵B(0,b)∴k(這是由一定理想到的：A,B是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于A,B的一點，且kPA,kPB由kBD【點撥】①處理斜率問題常用到斜率公式k=y②本題另一思路：求出直線BF2的方程---聯(lián)立方程求出點D---求鞏固練習(xí)1(★)已知橢圓x22m2?n+yA．(12,+∞) B．(4,12) C．(4,6) D．(6,+∞)【答案】A【解析】依題意得2m2－n>n－且n－m2=4則32(n?4)>n>n－4，得到故選：A．2(★)橢圓x2+my2=1【答案】4或14【解析】由x2+my2=1是橢圓，知m>0當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，長軸長為2，短軸長為21由2=41m，得當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，長軸長為21m，短軸長為由21m=4故答案為：4或14．3(★)橢圓x29+y22=1的焦點為F1,【答案】120°【解析】∵|PF∴|PF在△Fcos∠∴∠4(★★)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2【答案】3?1【解析】因為|OM|=|OF所以∠F設(shè)MF1=m如圖所示，由題意：Rt△MF1F2∽Rt△ON可得MF1MF2=ON可得m=(3?1)a∴3∴4－2化為：ca故選：D．5(★★)設(shè)點P為橢圓：x249+y224=1上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點【答案】8【解析】因為G為△PF1F因為PF1⊥PF2所以2c2=x所以c2所以方程整理可得x2－14x+48=0，解得當(dāng)x1=6時，PF則S△P所以S△PG同理x2=8時，故答案為：8．【題型四】最值問題情況1求離心率范圍【典題1】如圖，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c【解析】∵|Q∵PQ是∠F1PF2則|P由|PF1|+|PF由a－c<2a3由0<e<1，∴橢圓離心率的范圍是(故答案為：(13【點撥】①角平分線定理：如圖，在?ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則AB②求離心率的范圍的一般思路：求出a、b、c任意兩個量比值的范圍得到關(guān)于離心率e的不等式，從而求出e的范圍，同時也要注意橢圓中0<e<1.【典題2】已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，【解析】設(shè)P(m,n)又F∵|F1∴xM∴F又OP∴2m?4c3由P在橢圓上，可得：n可得m(2c－m)=化為c2a2m2由a2c?a<a，又0<e<1，【點撥】①設(shè)P(m,n)，由|F1M|=2|MP|怎么得到點M的坐標(biāo)？解答中用向量坐標(biāo)法；還可以用相似三角形的方法，過點M作MA⊥F1F2，過點P②題中出現(xiàn)垂直AB⊥CD一般怎么處理呢？(1)若要求線段長度，想到勾股定理或直角三角形其他性質(zhì)；(2)想到直線斜率關(guān)系，得到kAB(3)想到向量的關(guān)系，得到AB?本題中處理垂直關(guān)系OP⊥F情況2幾何法求范圍【典題1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓y2B(0,－1)，則|PA|+|PB|的最大值為【解析】∵橢圓方程為y2∴焦點坐標(biāo)為B0,－1和B'根據(jù)橢圓的定義，得|PB|+|PB'|=2a=4可得|PB|=4－|PB'|因此|PA|+|PB|=|PA|+(4－|PB'|)=4+(|PA|－|PB'|)∵|PA|－|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤4+|AB'|=4+1=5．當(dāng)且僅當(dāng)點P在AB'延長線上時，等號成立．綜上所述，可得|PA|+|PB|的最大值為5．故答案為：5．【點撥】①本題主要是通過橢圓的定義得到|PB|+|PB'|=4，把“求|PA|+|PB|的最大值”轉(zhuǎn)化為“求|PA|－|PB'|的最大值”，當(dāng)P、B②三點共線時就是取到最值，這常用于“求AB+AC的最小值”與“AB?AC的最大值”，本題若求PA+PB的最小值，則是AB=5③本題用函數(shù)法求解，設(shè)P(x0,情況3函數(shù)法求范圍【典題1】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1的短軸長為2，焦距為23【解析】根據(jù)條件可得b=1,c=3，則根據(jù)橢圓定義可知|P方法一

∴當(dāng)PF1=∴1|PF方法二設(shè)PF1∴令f∵a?c≤∵2?∴1≤－t－2∴1≤4∴1|P【點撥】方法一是利用基本不等式a+b≥2ab(a>0,b>0)，【典題2】已知F1,F2分別是橢圓C：x28+【解析】∵橢圓方程x∴橢圓的焦點F由P在圓x2+∴|PF1∴|PF【點撥】①P在圓(x?a)2+②求最值時，線段可用兩點距離公式AB=x③本題也可設(shè)Px0,y0，則P【典題3】已知橢圓C：x2a2+y216=1(a>4)與圓O：x2+yA．(－10，?394) B．(－16，?394]【解析】：∵橢圓C與圓∴圓O過C的長軸的兩個端點，即a=5故C的方程為x2設(shè)P(m,n)(0<m<5)，則m225所以O(shè)P=?9∵0<m<5所以O(shè)P→?PF故選：B．【點撥】①在圓錐曲線中處理向量可用坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為變量之間的關(guān)系，求OP→?PF→②求OP→?PF→=3m?m2?n③求?925m2+3m?16鞏固練習(xí)1(★★)設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)A．(0,32] B．(12,1) 【答案】C【解析】如圖，當(dāng)點M在上頂點A時，∠F1要使在x軸上方的C上存在兩個不同的點M,N滿足∠F1只需∠F1AF∴tan∠AF?3b?3a2<4則橢圓C離心率的取值范圍是：(3故選：C．2(★★)點P為橢圓x225+y216=1上一點，M、N分別是圓x+3【答案】7,13【解析】依題意，橢圓x225+x－32所以PM+PNmax則|PM|+|PN|的取值范圍是[7,13]故答案為：[7,13]．3(★★)已知F是橢圓x22+y2=1的右焦點P是橢圓上一動點【答案】5+2【解析】∵△APF的周長為|AP|+|PF|+|AF|，而|PF|=2a－|PF'|，∴△APF的周長為|AP|+2a－|PF'|+|AF|，當(dāng)|AP|－|PF'|=|AF'|最大時，A、P、F'三點共線，如圖所示，由題意得a=2，c=1，F(xiàn)點坐標(biāo)為(1,0)，F(xiàn)'坐標(biāo)為(－1,0)則△APF的周長最大為|AF'|+|AF|+2a=(故答案為：5+224(★★★)已知橢圓C：x216+3y216=1，M為橢圓C上的一個動點，以M為圓心，2為半徑作圓【答案】[π【解析】由橢圓方程可得a2=16,b設(shè)銳角∠POM=α，在Rt△POM中，sinα=PM因為OM∈[433，4]，即故α∈[π所以∠POQ=2α∈[π故選：D．5(★★★)已知橢圓Γ:x24+y23=1的右焦點為F，過原點O的直線與橢圓Γ交于【答案】[1,【解析】取橢圓左焦點F'，連接AF，BF，AF'，BF'，易知四邊形AFBF'為平行四邊形，即有|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=2a=4，設(shè)|AF|=x∈[1,3]，則|BF|=4－x，故1|AF|令