采樣系統(tǒng)理論課件

采樣系統(tǒng)理論

有關(guān)概念A(yù)/DD/A數(shù)字控制器被控對(duì)象測(cè)量元件

e*(t)數(shù)字計(jì)算機(jī)r(t)e(t)

u*(t)uh(t)

c(t)_計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)典型原理圖

2.離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一處或多處為離散信號(hào)的系統(tǒng)稱離散系統(tǒng)。典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)即為離散系統(tǒng)的一種。其原理圖如下：

A/D：模數(shù)轉(zhuǎn)換器，將連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字信號(hào)。包括采樣與量化兩過(guò)程。1.離散信號(hào)：僅定義在離散時(shí)間上的信號(hào)稱離散信號(hào)，離散信號(hào)以脈沖或數(shù)碼的形式呈現(xiàn)。

D/A：數(shù)模轉(zhuǎn)換器，將離散的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬信號(hào)。包括解碼與復(fù)現(xiàn)兩過(guò)程。8.1離散系統(tǒng)的基本概念8.28.38.48.58.6(a)連續(xù)信號(hào)t(b)離散信號(hào)t(c)離散量化信號(hào)t離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)1.校正裝置效果比連續(xù)式校正裝置好，且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活。

2.采樣信號(hào)，特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞能有效地抑制噪聲，從而提高系統(tǒng)抗干擾能力。

3.可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng)，提高設(shè)備利用率。

4.可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜控制規(guī)律，且可以在運(yùn)行中實(shí)時(shí)改變響應(yīng)參數(shù)。e*(t)=e(t)δr(t),其中為理想單位脈沖序列。則：8.2信號(hào)的采樣與保持對(duì)上式取拉氏變換,得例8.1

e(t)=eat,試寫(xiě)出e*(t)表達(dá)式。

物理意義：可看成是單位理想脈沖串

T

(t)

被輸入信號(hào)e(t)進(jìn)行調(diào)制的過(guò)程，如右圖所示。

在圖中，

T(t)為載波信號(hào)；e(t)為調(diào)制信號(hào)；

e*(t)為理想輸出脈沖序列。8.2.1采樣過(guò)程與采樣定理e(t)te*(t)te(t)e*(t)S采樣過(guò)程

數(shù)學(xué)描述：把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器，又叫采樣開(kāi)關(guān)。采樣過(guò)程可用下圖表示。8.18.38.48.58.68.2.2---設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)必須嚴(yán)格遵守的一條準(zhǔn)則。

1.問(wèn)題的提出連續(xù)信號(hào)e(t)經(jīng)過(guò)采樣后，只能給出采樣點(diǎn)上的數(shù)值，不能知道各采樣時(shí)刻之間的數(shù)值。從時(shí)域上看，采樣過(guò)程損失了e(t)所含的信息。采樣定理(a)連續(xù)信號(hào)t(b)離散信號(hào)t

2.定性分析如果連續(xù)信號(hào)e(t)變化緩慢（最大角頻率

max較低〕，而采樣角頻率

s比較高（即采樣周期T=2

/

s較小〕，則e*(t)基本上能反映e(t)的變化規(guī)律。

3.采樣定理（香農(nóng)定理）

如果采樣器的輸入信號(hào)最高角頻率為ωmax，則只有當(dāng)采樣頻率ωs≥2ωmax,才可能從采樣信號(hào)中無(wú)失真地恢復(fù)出連續(xù)信號(hào)。怎樣才能使采樣信號(hào)e*(t)大體上反映e(t)的變化規(guī)律呢？8.2.2信號(hào)復(fù)現(xiàn)及零階保持器信號(hào)復(fù)現(xiàn)將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換復(fù)原成連續(xù)信號(hào)的過(guò)程稱信號(hào)復(fù)現(xiàn)。該裝置稱為保持器或復(fù)現(xiàn)濾波器。eh(t)e*(t)e*(t)t

零階保持器eh(t)t

零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為e(nT+△t)=e(nT)；其脈沖響應(yīng)為gh(t)=1(t)-1(t-T)，傳遞函數(shù)為

零階保持器零階保持器是最簡(jiǎn)單也是工程中使用最廣泛的保持器。零階保持器的輸入輸出特性可用下圖描述。8.2.18.3Z變換與Z反變換8.3.1

Z變換

1.Z變換的定義

令z=eTs,則=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…

2.Z變換方法

(1)級(jí)數(shù)求和法將Z變換的定義式展開(kāi)：

E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(nT)z-n+…(2)部分分式法對(duì)于常用函數(shù)Z變換的級(jí)數(shù)形式，都可以寫(xiě)出其閉合形式。

①先求出已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t)的拉氏變換E(s)；②將E(s)展開(kāi)成部分分式之和的形式；③求拉氏反變換，再求Z變換E(z)。即為Z變換的定義式。稱E(z)為e*(t)的Z變換,記作Z[e*(t)]=E(z),或Z[e(t)]=E(z)8.18.48.58.68.28.3.2性質(zhì)對(duì)比(2)中結(jié)果，有(4)單位斜坡信號(hào)

e(t)=t，則3.

典型信號(hào)的Z變換

兩邊同乘(-Tz)，得單位斜坡信號(hào)的z變換兩端對(duì)z求導(dǎo)數(shù)，得

（3）單位理想脈沖序列

e(t)=δT(t)（1）單位脈沖函數(shù)

e(t)=δ(t)（2）單位階躍函數(shù)

e(t)=1(t)(5)指數(shù)函數(shù)

e(t)=e-at(a為實(shí)常數(shù)〕，則

這是一個(gè)公比為(e-aT

z-1)的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)|e-aT

z-1

|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂,則可寫(xiě)成閉合形式所以利用(*)、(**)式，有(6)正弦信號(hào)

e(t)=sint

,因?yàn)檫M(jìn)行部分分式展開(kāi)，有再取拉氏反變換參照(2)和(5),得4.

Z變換的性質(zhì)

（1）

線性定理若E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a為常數(shù)，則

Z[e1(t)+e2(t)]=E1(z)+E2(z)，Z[ae(t)]=aE(z)

例8.2

已知e(t)=1(t-T),求Z變換E(z)。

(3)

復(fù)數(shù)位移定理

已知e

(t)的z變換為E(z)，則有根據(jù)復(fù)數(shù)位移定理，有

例8.3

已知e(t)=t

e-at,求Z變換E(z)。

Z[e(t)

]=E(z

e

±at)（2）

實(shí)數(shù)位移定理若

E(z)=Z[e(t)]，則

Z[e(t-kT)]=z-kE(z),Z[e(t+kT)]=解：解：已知單位斜坡信號(hào)的z變換為8.3.28.3.1(4)z域微分定理

若e

(t)的z變換為E(z)，則若e

(t)的z變換為E(z)，則

z[an

e(t)]=E(z/a),a為常數(shù)

例8.4

試求ncost的Z變換。(5)z域尺度定理解：由變換表(6)初值定理

若e

(t)的z變換為E(z)，函數(shù)序列e(nT)為有限值(n=0,1,2,…)，且極限存在，則設(shè)x(nT)和y(nT)為兩個(gè)采樣函數(shù)，其離散卷積定義為x(nT)

y(nT)=，則卷積定理為：Z[x(nT)

y(nT)]=X(z)Y(z)若e(t)的z變換為E(z)，并有極限存在，則(7)終值定理（8）卷積定理8.3.2Z反變換

從Z域函數(shù)E(z)求時(shí)域函數(shù)e*(t)，叫做Z反變換。記作Z-1[E(z)]=e*(t)。

例8.5

已知z變換函數(shù)，試求其z反變換。

解：首先將E(z)/z展開(kāi)成部分分式所以

e(nT)=(-1+2n)

10

e*(t)=e(0)

(t)+e(T)

(t-T)+e(2T)

(t-2T)+…

=0+10

(t-T)+30

(t-2T)+70

(t-3T)+…

1.部分分式展開(kāi)法

部分分式展開(kāi)法是將E(z)展成若干分式和的形式，對(duì)每部分分式查Z變換表找出相應(yīng)的e*(t)。因Z變換表中Z變換函數(shù)分子普遍有因子Z，所以應(yīng)將E(z)/z展開(kāi)成部分分式。性質(zhì)8.3.1

例8.6

已知z變換函數(shù)試求其z反變換。

解：因?yàn)樗詄*(t)=e(0)

(t)+e(T)

(t-T)+e(2T)

(t-2T)+…=0+(1-e-aT)

(t-T)+(1-e-2aT)

(t-2T)+(1-e-3aT)

(t-3T)+…2.冪級(jí)數(shù)法（綜合除法)查表得e(t)=1(t)-e-at

則e(nT)=1-e-anT由Z變換的定義而則c0,c1,c2,…就是脈沖序列e*(t)各采樣點(diǎn)的值e(nT),所以3.反演積分法(留數(shù)法)8.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8.4.1線性常系數(shù)差分方程及其解法

工程中常用迭代法和Z變換法來(lái)求解差分方程：1.迭代法

根據(jù)給定差分方程和輸出序列的初值，則可以利用遞推關(guān)系，一步一步算出輸出序列。2.Z變換法

用Z變換法解差分方程的實(shí)質(zhì)，是對(duì)差分方程兩端取Z變換，并利用Z變換的位移性質(zhì)，得到以z為變量的代數(shù)方程，然后對(duì)代數(shù)方程的解C(z)取Z反變換即求得輸出序列。式中：k—第k個(gè)采樣周期；n—系統(tǒng)的階次。

一般n階線性定常離散系統(tǒng)的輸出和輸入之間的關(guān)系，可用n階常系數(shù)差分方程描述。8.18.38.58.68.28.4.2脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)的定義和意義

零初始條件下，系統(tǒng)輸出C(t)的z變換C(z)與輸入r(t)的z變換R(z)之比，稱為脈沖傳遞函數(shù)，即G(z)=C(z)/R(z)。若輸入r(t)=δ(t),則C(z)=G(z)R(z)=G(z),g*(t)=Z-1[G(z)]。即連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)采樣后的Z變換即為脈沖傳遞函數(shù)。開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1.串聯(lián)環(huán)節(jié)2.有零階保持器的情況3.連續(xù)信號(hào)進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)--閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1.S域的虛軸映射成Z域的圓周；左半S平面映射在圓周內(nèi)，右半S平面映射在圓周外。

2.幾種特殊的線映射：8.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差一、S域到Z域的映射二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1.時(shí)域中：特征方程的根滿足│ai│<1(了解即可〕2.

Z域中：特征方程1+HG(Z)=0的模│Zi│<1(牢固掌握)三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)1.雙線性變換與勞氏判據(jù)⑴雙線性變換⑵勞氏判據(jù)：格式見(jiàn)4092.朱利判據(jù)：了解即可。8.18.38.48.68.28.5.2例8.5.1穩(wěn)定性判據(jù)

設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，采樣周期T=1s。設(shè)K=10,試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。例8.7解：⑴

由圖得

由此得系統(tǒng)特征方程為

z2+2.31z+3=0求解得一對(duì)共軛復(fù)根

1=-1.156＋j1.29

2=-1.156-j1.29分布在單位圓外，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

C(s)R(s)

—8.5.18.5.2求得系統(tǒng)特征方程為

z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K)=0⑵由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)得到系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)為:

Kc=2.4列勞氏表計(jì)算

w22.736-0.104K0.632K

w11.264-0.528K0

w00.632K

為使系統(tǒng)穩(wěn)定，須有進(jìn)行w變換得

(2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=01.終值定理法

8.5.2穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算

2.誤差系