數(shù)學(xué)例題與探究：任意角和弧度制

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1一條弦的長度等于半徑r,求:（1)這條弦所對(duì)的劣弧長；（2)這條弦和劣弧所組成的弓形的面積.思路分析：解決此類問題，要首先根據(jù)題意畫出相關(guān)的圖形,然后對(duì)涉及的量的大小進(jìn)行確定.由已知可知圓心角的大小為π3,然后用公式求解即可.解：(1）如圖1-1—1,因?yàn)榘霃綖閞的⊙O中，弦AB=r，則△OAB為等邊三角形，所以∠AOB=。則弦AB所對(duì)的劣弧長為r。圖1-1-1(2）∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2,S扇形OAB=｜α｜r2=××r2=π6r2，∴S弓形=S扇形OAB—S△AOB=r2-r2=(—）r2.綠色通道:圖形的分解與組合是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法之一,本例要把弓形看成是扇形與三角形的差，即可運(yùn)用已有知識(shí)解決要求解的問題.此類數(shù)形結(jié)合的題目，要盡可能地從圖中各種圖形的組合關(guān)系中找到解決問題的突破口.變式訓(xùn)練地球赤道的半徑是6370km,所以赤道上的l′弧長是_________(精確到0。01km）。思路解析：由于在弧長公式中圓心角的單位是弧度，所以首先將l′化為弧度，還要注意地球赤道的半徑就是地球的半徑。l′=×弧度，弧長l=r｜α｜=6370××≈1。85km。答案:1。85km例2(2005全國高考卷Ⅲ，1)已知α為第三象限角，則所在的象限是(）A.第一或第二象限B。第二或第三象限C.第一或第三象限D(zhuǎn)。第二或第四象限思路解析：根據(jù)α的取值范圍，確定的取值范圍。因?yàn)榈谌笙藿桥c-π之間的角并不等價(jià).由α在第三象限，α應(yīng)在區(qū)間（2kπ+π,2kπ+)(k∈Z)內(nèi),即2kπ+π＜α＜2kπ+kπ+π2＜α2＜kπ+3π4，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),α2在第二象限;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),α2在第四象限.答案：D綠色通道：（1）由α的象限確定2α的象限時(shí)，應(yīng)注意2α可能不再是象限角，對(duì)此特殊情況應(yīng)特別指出.如α=45°,2α=90°就不再是象限角.(2）在本例的基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步推導(dǎo)出各個(gè)象限角的半角范圍.可以借助圖1—1—2來記憶。圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分別指第一、二、三、四象限角的半角范圍。如：當(dāng)α為第一象限角時(shí)，為第一、第三象限角的前半?yún)^(qū)域;當(dāng)α為第二象限角時(shí),為第一、三象限角的后半?yún)^(qū)域.依此類推.圖1-1-2黑色陷阱:應(yīng)避免以下錯(cuò)誤:由α是第二象限角，僅想到90°＜α＜180°，由45°＜＜90°得出α2為第一象限角，而將中第三象限角丟掉。變式訓(xùn)練1已知單位圓上一點(diǎn)A(1，0）按逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng),1秒鐘時(shí)間轉(zhuǎn)過θ（0＜θ≤π)角，經(jīng)過2秒鐘到達(dá)第三象限，經(jīng)過14秒鐘轉(zhuǎn)到與最初位置重合，求θ角的弧度數(shù)。思路分析：這是一個(gè)涉及終邊相同的角和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，首先要根據(jù)題意畫出坐標(biāo)系,然后按照題中描述表示出角的范圍，再進(jìn)行計(jì)算。解：由0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π，又因?yàn)?θ在第三象限，所以π＜2θ≤.由14θ=2kπ（k∈Z），可得2θ=(k∈Z).所以π＜＜,即＜k＜。所以k=4或5，則θ=或.變式訓(xùn)練2若銳角α的終邊與它的10倍角的終邊相同，求α.思路分析：與角α終邊相同的角均可以表示為2kπ+α（k∈Z）的形式，注意題目中說的α是銳角.根據(jù)題意列出方程解出α，這一方法也體現(xiàn)了在三角函數(shù)中“方程思想”的應(yīng)用.解：由題意,有10α=2kπ+α(k∈Z)，∴α=（k∈Z).又∵α為銳角，所以k可以取1，2兩個(gè)值,即α=40°或α=80°.例3已知扇形的周長為20cm，當(dāng)扇形的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？思路分析:根據(jù)題中的已知條件，列出扇形的半徑、圓心角及周長的關(guān)系表達(dá)式，然后把扇形的面積表示成半徑的函數(shù)，利用求函數(shù)最值的方法求解。解：設(shè)扇形的圓心角為θ,半徑為r，扇形的弧長l=rθ?！?r+rθ=20，θ=.∴S扇形=r2θ=r2。=r(10—r)=-r2+10r。當(dāng)r==5時(shí),S扇形最大=25，此時(shí)θ=2.答:當(dāng)扇形半徑為5，圓心角為2時(shí),扇形面積最大.綠色通道：幾何圖形求最值的途徑有兩條:一是利用幾何意義，從圖形中直接找出（本例不好找）;二是利用函數(shù)求解,即設(shè)出未知量，建立函數(shù)關(guān)系式，然后用函數(shù)的方法解決.變式訓(xùn)練一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長,那么扇形的圓心角是____________弧度，扇形的面積是____________。思路解析:設(shè)扇形的圓心角是θ弧度，則扇形的弧長是rθ，扇形的周長是2r+rθ.由題意，可知2r+rθ=rπ，∴θ=π-2（弧度).扇形的面積為S=θ·r2=r2（π-2）。答案：π—2r2（π-2）問題探究問題1在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水比賽中，常常聽到“轉(zhuǎn)體三周”“轉(zhuǎn)體兩周半”的說法，像這種動(dòng)作名稱表示的角是多大？導(dǎo)思：解答此類問題時(shí)，要考慮到問題的多種情況,不要上來就盲目地解答，首先對(duì)問題有個(gè)大體的了解，然后再調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，可能起到事半功倍的效果。此題不要忽視了轉(zhuǎn)體的順、逆方向會(huì)影響到角的正、負(fù)號(hào)。利用角的定義及正角、負(fù)角的概念，這個(gè)問題迎刃而解.探究：如果是逆時(shí)針轉(zhuǎn)體，則分別是360°×3=1080°和360°×2.5=900°；若是順時(shí)針轉(zhuǎn)體,則分別為-1080°和-900°。問題2在弧度制下，角α與角β的終邊一般具有什么關(guān)系，我們可否分別探究出它們應(yīng)該滿足的條件呢？導(dǎo)思：在弧度制下，角α與角β的終邊一般具有以下6種關(guān)系:(1)關(guān)于x軸對(duì)稱;（2)關(guān)于y軸對(duì)稱；（3)關(guān)于y=—x對(duì)稱；（4）關(guān)于y=x對(duì)稱；(5)在同一條直線上；（6）互相垂直.結(jié)合圖形，我們可以探究出它們應(yīng)滿足的條件.探究:（1)若α與β終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,則α+β=2kπ(k∈Z)；（2）若α與β終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則α+β=(2k+1)π(k∈Z)；(3)若α