專題03 平面向量-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題03平面向量命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)高考對(duì)平面向量的考查，一般為平面向量基本定理、坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如平行、垂直、距離、夾角等問題的計(jì)算，難度一般不高。平面向量的線性運(yùn)算2022·新高考Ⅰ卷，3平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算2023·新高考Ⅰ卷，32024·新高考Ⅰ卷，3平面向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算2022·新高考Ⅱ卷，4平面向量數(shù)量積的綜合運(yùn)算2023·新高考Ⅱ卷，132024·新高考Ⅱ卷，3命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到了平面向量的垂直運(yùn)算，Ⅱ卷還結(jié)合了數(shù)量積的綜合運(yùn)算?？傮w上來說，平面向量知識(shí)點(diǎn)的考查難度依舊是較易的，掌握基本的知識(shí)點(diǎn)和擁有基本的運(yùn)算能力即可。平面向量考查應(yīng)關(guān)注：平面向量基本定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積、向量平行與垂直、向量模等知識(shí)點(diǎn)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，強(qiáng)化運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸能力。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角、向量的模。試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以即，故，故選：D.2．（2024新高考Ⅱ卷·3）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，從?故選：B.一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·3）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2．（2023新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．3．（2022新高考Ⅱ卷·4）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C二、填空題1．（2023新高考Ⅱ卷·13）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】法一：因?yàn)?，即，則，整理得，又因?yàn)?，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.一、向量的線性運(yùn)算和向量共線定理（1）向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，二、平面向量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．2、平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB4、三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在，使得．5、中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．DDACB三、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有向量向量點(diǎn)．（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．（5）平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)，，則，②已知，，則，，，．，（5）、、三點(diǎn)共線，這是直線的向量式方程．四、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）【平面向量常用結(jié)論】（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．（2）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且（3）在上的投影是一個(gè)數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0．（4）數(shù)量積的運(yùn)算要注意時(shí)，，但時(shí)不能得到或，因?yàn)闀r(shí)，也有．（5）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題．一、單選題1．（2024·廣東深圳·三模）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點(diǎn)共線 B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線 D．、、三點(diǎn)共線【答案】C【分析】根據(jù)向量共線則判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋?，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，，則，故、、三點(diǎn)共線，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋?，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：C2．（2024·廣西·三模）已知向量，那么向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋圆淮怪?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D3．（2024·浙江·三模）已知向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【分析】根據(jù)與垂直，可得，即可求出，再根據(jù)模的坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】，因?yàn)榕c垂直，所以，解得，所以.故選：B.4．（2024·重慶·三模）已知向量，若，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】利用已知條件和向量的垂直關(guān)系求出未知量即可求得，進(jìn)而得.【詳解】因?yàn)?，所以，，故，所?故選：C.5．（2024·北京·三模）若，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)向量的夾角公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所以，又，所以向量與的夾角為.故選：B.6．（2024·甘肅蘭州·三模）已知向量，設(shè)與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用夾角公式計(jì)算出余弦值后，再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可算出正弦值.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)闉榕c的夾角，所以.故選：D7．（2024·河北衡水·三模）已知是單位向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計(jì)算向量的模，再計(jì)算與的數(shù)量積，進(jìn)而可得夾角的余弦值，可得答案.【詳解】，故．，設(shè)與的夾角為，則，又，故，故選：A．8．（2024·浙江金華·三模）已知，，，則（

）A． B．16 C． D．9【答案】B【分析】由已知可得，可求得，進(jìn)而計(jì)算可求.【詳解】由，兩邊平方可得，所以，所以.故選：B.9．（2024·陜西榆林·三模）在中，在邊上，且是邊上任意一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．3 D．-3【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到結(jié)果.【詳解】三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又，所以，即.故選：C.10．（2024·江蘇蘇州·三模）已知，且在方向上的投影向量為單位向量，則（

）A．4 B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別將與平方，然后作差可得，再由條件可得，即可求得，從而得到，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，所以，即，所以①，因?yàn)?，所以，即，所以②，①②可得，即又在方向上的投影向量為單位向量，則，即，解得，則，代入②中可得，解得.故選：B11．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】在中，取為基底，則，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，,所以，所以.故選：B.12．（2023·黑龍江佳木斯·三模）已知非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得的關(guān)系，再根據(jù)投影向量的公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄渴?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以與的夾角是.故選：A.13．（2024·四川眉山·三模）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出、、，即可求出、、，再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.【詳解】由題意得，則有，解得，又由，則有，解得，同理可得，所以，，，所以.故選：A二、多選題14．（2024·安徽·三模）已知向量，則（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】ACD【分析】由向量的線性運(yùn)算、平行以及垂直的坐標(biāo)表示可判斷ABC，由投影向量的定義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于BC，由于，，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，在上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.15．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點(diǎn)D，E滿足，，與CD交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，向量共享定理的推論，得出為中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，得出答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)闉榈冗吶切危?，為中點(diǎn)，所以，所以，即，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，由（1）得，所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)，則，所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以為中點(diǎn)，所以，故D正確，故選：ABD.16．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說法正確的有（

）A．一定可以作為一個(gè)基底B．一定有最小值C．一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得D．的夾角的取值范圍是【答案】BC【分析】對(duì)A：借助基底的定義與向量共線定理計(jì)算即可得；對(duì)B：借助模長定義計(jì)算即可得；對(duì)C：借助模長與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；對(duì)D：找出反例即可得.【詳解】對(duì)A：若，即，即，此時(shí)不能作基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故有最小值，故B正確；對(duì)C：若，則有即，即，即，解得，即當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)D：由A知，若，則，即只能同向不能反向，故的夾角不可能為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.17．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個(gè)相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點(diǎn)P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．B．C．若P為EF的中點(diǎn)，則在上的投影向量為D．的最大值為【答案】AD【分析】對(duì)于A：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解；對(duì)于C：根據(jù)結(jié)合投影向量的定義分析判斷；對(duì)于BD：建系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知：，若P為EF的中點(diǎn)，所以在上的投影向量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)BD：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)，可知，則，可得，則，可知當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的最大值為，故D正確；故選：AD.18．（2024·吉林·二模）已知平面向量，，，，，，且，則（

）A．與的夾角為B．的最大值為5C．的最小值為2D．若，則的取值范圍【答案】ACD【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式求解選項(xiàng)，設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出向量，，建立直角坐標(biāo)系，將轉(zhuǎn)化為即可求其最大值；根據(jù)圖形可知點(diǎn)的軌跡，利用幾何性質(zhì)即可求出的最小值；設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題求解.【詳解】對(duì)于A，由于，，，則，則，由于向量夾角范圍為大于等于小于等于，故與的夾角為，則A正確；對(duì)于B，設(shè)，，，則，，不妨設(shè)，,由于，即，故△為等腰三角形，則，故，因?yàn)?，所以，則點(diǎn)C在以為弦，且使得的兩個(gè)優(yōu)弧上，如圖示：故C點(diǎn)所在優(yōu)弧所在的圓的直徑為，則其半徑為，設(shè)該圓的方程為，將坐標(biāo)代入，得，解得或，則兩優(yōu)弧所在圓的圓心為，，且兩個(gè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)的中點(diǎn)為M，則，而到弦AB的距離為，故的最大值為，則的最大值為6，即的最大值為6，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，即為，結(jié)合C點(diǎn)軌跡可知當(dāng)C在圓上的那條優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)取到最小值，由于，故的最小值為，即的最小值為2，則C正確；對(duì)于D，結(jié)合以上分析可知，當(dāng)C在圓上的那條優(yōu)弧上時(shí)，圓的方程為，設(shè)，其中，則由可得，解得，即，所以，當(dāng)C在圓上的那條優(yōu)弧上時(shí)，圓的方程為，設(shè)，其中，則由可得，解得，即，所以，綜上所述，的取值范圍，則正確；故選：.【點(diǎn)睛】平面向量中的復(fù)雜問題，可以坐標(biāo)化為純代數(shù)運(yùn)算來求解.三、填空題19．（2024·四川·三模）若向量與向量是共線向量，則實(shí)數(shù)=．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，即得答案.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，解得．故答案為：20．（2024·上海·三模）已知向量、滿足，，，則．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】由，，，得，所以.故答案為：21．（2024·遼寧沈陽·三模）已知向量滿足，，則.