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1§5-2留數(shù)和留數(shù)定理一、留數(shù)的定義和計算二、留數(shù)定理2設(shè)為的一個孤立奇點;內(nèi)的Laurent級數(shù):在.的某去心鄰域包含的任一條正向簡單閉曲線C.一、留數(shù)的定義和計算，30(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩定理)4定義

記作包含的任意一條簡單閉曲線

C的積分的值后所得的數(shù)以的一個孤立奇點,如果(Residue)則沿內(nèi)，除稱為5注:留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).留數(shù)定理點的一條正向簡單閉曲線,外處處解析,奇點在區(qū)域

D內(nèi)除有限個孤立函數(shù)C是D內(nèi)包圍諸奇那么6證明兩邊同時除以則...如圖，根據(jù)復(fù)合閉路定理7計算留數(shù)的一般公式由Laurent級數(shù)展開定理，定義留數(shù)的積分值是f(z)在環(huán)域內(nèi)Laurent級數(shù)的負一次冪系數(shù)c-1(1)若z0為函數(shù)f(z)的可去奇點，成Laurent級數(shù)求(2)如果為的本性奇點,展開則需將個)，則它在點z0的留數(shù)為零。(負冪項的項數(shù)為零8如果為的一級極點,那末規(guī)則1(3)如果為的極點,則有如下計算規(guī)則

若z0為f(z)的m（m=1，2，3，…）級極點,則有規(guī)則2說明

將函數(shù)的零階導(dǎo)數(shù)看作它本身，規(guī)則1o可看作規(guī)則2o

當m=1時的特殊情形.9證明

先證規(guī)則2o，由于z0為f(z)的m級極點，因此可設(shè)在0<|z-z0|<ρ內(nèi)有用乘上式的兩端得Laurent級數(shù)在其收斂環(huán)域內(nèi)逐項微分得令，規(guī)則2o成立。10規(guī)則3

如果設(shè)及在都解析，那么為的一級極點,

且有113典型例題例1求在的留數(shù).解12例2計算積分C為正向圓周:解1314例3計算積分C為正向圓周:解被積函數(shù)有四個一級極點都在圓周的內(nèi)部,所以由規(guī)則315例4計算積分C為正向圓周:解為一級極點,為二級極點,1617說明:

如為m級極點，當m較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時,可直接展開Laurent級數(shù)求來計算留數(shù).在實際計算中應(yīng)靈活運用計算規(guī)則：181

若z0為函數(shù)f(z)的可去奇點，(負冪項的項數(shù)為零個)，則它在點z0的留數(shù)為零。小結(jié)：留數(shù)的計算2

若z0為f(z)的一級極點，則有3

若z0為f(z)的m級極點，則對任意整數(shù)有4

設(shè)f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在點z0

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