特訓(xùn)04第8-9章壓軸題（題型歸納）

特訓(xùn)04第89章壓軸題（題型歸納）一、解答題1．找規(guī)律：觀察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100…（1）按規(guī)律填空）13+23+33+43+…+103＝；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的規(guī)律計(jì)算：113+123+133+143+…+503（要求：寫出計(jì)算過程）（3）思維拓展：計(jì)算：23+43+63+…+983+1003（要求：寫出計(jì)算過程）【答案】（1）；；（2）1622600；（3）【分析】（1）觀察等式右邊都是平方數(shù)，且底數(shù)正好是等式左邊各底數(shù)的和，依此規(guī)律類推可分別解決以上兩個問題；（2）由于上面的等式都是從底數(shù)是1開始的，所以可以把該式子前面的部分從1開始補(bǔ)上，再把補(bǔ)上的部分減掉即可；（3）該式中的底數(shù)并不是題干中所給出的從1開始的連續(xù)整數(shù)，因此不能直接用上述規(guī)律解題，但該式中的底數(shù)卻都是從1開始的連續(xù)整數(shù)的2倍，因此提出2后，各項(xiàng)都含有，逆用乘法分配律即可解決問題．【解析】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）（13+23+33+43+…+103）＝＝1622600；（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）＝23×＝．【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)式規(guī)律題，考查了學(xué)生對數(shù)的觀察和分析的能力，首先學(xué)生應(yīng)對平方數(shù)有一定的認(rèn)識和感知力，這樣才能邁出解決問題的第一步，其次學(xué)生要學(xué)會對不同的數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，通過它們的和差積商中的一種或多種組合找到它們的聯(lián)系，才能得出這道題的規(guī)律，建議在學(xué)習(xí)過程中多積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)散思維，提高解決該類問題的效率．2．閱讀下列材料：小明為了計(jì)算的值，采用以下方法：設(shè)①則②②①得，．請仿照小明的方法解決以下問題：（1）______；（2）求______；（3）求的和；（請寫出計(jì)算過程）（4）求的和（其中且）．（請寫出計(jì)算過程）【答案】（1）221?2；（2）2；（3）；（4）+【分析】（1）根據(jù)閱讀材料可得：設(shè)s＝①，則2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①即可得結(jié)果；（2）設(shè)s＝①，s＝②，②?①即可得結(jié)果；（3）設(shè)s＝①，2s＝②，②?①即可得結(jié)果；（4）設(shè)s＝①，as＝②，②?①得ass=a，同理：求得，進(jìn)而即可求解．【解析】解：根據(jù)閱讀材料可知：（1）設(shè)s＝①，2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①得，2s?s＝s＝221?2；故答案為：221?2；（2）設(shè)s＝①，s＝②，②?①得，s?s＝s＝1，∴s＝2，故答案為：2；（3）設(shè)s＝①2s＝②②?①得，2s?s＝3s＝+2∴s＝；（4）設(shè)s＝①，as＝②，②①得：ass=a，設(shè)m=a③，am=④，④③得：amm=a，∴m=，∴ass=+，∴s=+．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型?實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料進(jìn)行計(jì)算．3．觀察下面三行單項(xiàng)式：x，，，，，，；①，，，，，，；②，，，，，，；③根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解答下列問題：（1）第①行的第8個單項(xiàng)式為_______；（2）第②行的第9個單項(xiàng)式為_______；第③行的第10個單項(xiàng)式為_______；（3）取每行的第9個單項(xiàng)式，令這三個單項(xiàng)式的和為當(dāng)時，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）觀察第①行的前四個單項(xiàng)式，歸納類推出一般規(guī)律即可得；（2）分別觀察第②行和第③行的前四個單項(xiàng)式，歸納類推出一般規(guī)律即可得；（3）先計(jì)算整式的加減進(jìn)行化簡，再將x的值代入即可得．【解析】（1）第①行的第1個單項(xiàng)式為，第①行的第2個單項(xiàng)式為，第①行的第3個單項(xiàng)式為，第①行的第4個單項(xiàng)式為，歸納類推得：第①行的第n個單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，則第①行的第8個單項(xiàng)式為，故答案為：；（2）第②行的第1個單項(xiàng)式為，第②行的第2個單項(xiàng)式為，第②行的第3個單項(xiàng)式為，第②行的第4個單項(xiàng)式為，歸納類推得：第②行的第n個單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，則第②行的第9個單項(xiàng)式為，第③行的第1個單項(xiàng)式為，第③行的第2個單項(xiàng)式為，第③行的第3個單項(xiàng)式為，第③行的第4個單項(xiàng)式為，歸納類推得：第③行的第n個單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，則第③行的第10個單項(xiàng)式為，故答案為：，；（3）由題意得：，當(dāng)時，，，，則，，．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律型問題、整式的化簡求值，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．4．閱讀下列材料：一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，記為．如，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為（即．如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即）．(1)計(jì)算以下各對數(shù)的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)寫出（1）、、之間滿足的關(guān)系式______．(3)由（2）的結(jié)果，請你能歸納出一個一般性的結(jié)論：_____（且，，）．(4)設(shè)，，請根據(jù)冪的運(yùn)算法則以及對數(shù)的定義說明上述結(jié)論的正確性．【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)證明見解析【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；（2）認(rèn)真觀察，即可找到規(guī)律：，；（3）由特殊到一般，得出結(jié)論：．（4）設(shè)，，根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則：和給出的材料證明結(jié)論．【解析】（1）∵，，∴，故答案為：2，4，6；（2）∵，，，，∴，故答案為：；（3）由（2）的結(jié)果可得，故答案為：．（4）設(shè)，，則，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是開放性的題目，難度較大．借考查同底數(shù)冪的乘法，對數(shù)，實(shí)際考查學(xué)生對指數(shù)的理解、掌握的程度；解題的關(guān)鍵是要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運(yùn)算法則，還要會類比、歸納，推測出對數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)．5．閱讀材料：的末尾數(shù)字是3，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，......，觀察規(guī)律，，∵的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是3，同理可知，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7．解答下列問題：(1)的末尾數(shù)字是，的末尾數(shù)字是；(2)求的末尾數(shù)字；(3)求證：能被5整除．【答案】(1)3，6；(2)4；(3)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的結(jié)論可知的末尾數(shù)字；根據(jù)閱讀材料中提供的方法，可得的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，于是得解；（2）先將化成，再利用的末尾數(shù)字是6，從而得出結(jié)論；（3）分別證明的末尾數(shù)字為6和的末尾數(shù)字9，則命題即可得證．【解析】（1）解：，的末尾數(shù)字為3；的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是4，…的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是6；故答案為：3，6；（2）解：，∵的末尾數(shù)字是6，∴的末尾數(shù)字是4；（3）證明：∵的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是2，…的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字為6；同理可得：的末尾數(shù)字7，的末尾數(shù)字9，的末尾數(shù)字3，的末尾數(shù)字1；的末尾數(shù)字9，∴的末尾數(shù)字是5，∴能被5整除．【點(diǎn)睛】此題是一道閱讀理解題，主要考查了冪的運(yùn)算、數(shù)的整除，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方法則是解答此題的關(guān)鍵．6．（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝（n為大于3的正整數(shù)），并證明你的結(jié)論；（3）運(yùn)用（2）的結(jié)論計(jì)算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．【答案】（1）x4?1；（2）xn＋1?1，理由見詳解；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算即可求解；（2）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫，再利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則證明即可；（3）利用得出的規(guī)律計(jì)算得到結(jié)果；（4）兩個數(shù)一組分別提取公因數(shù)，再把底數(shù)化為9，利用得出的規(guī)律計(jì)算，即可求解．【解析】解：（1）解：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4?1，故答案是：x4?1；

（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4?1，∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）=xn＋1?1，理由如下：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）=xn＋1+xn+xn﹣1+……+x（xn+xn﹣1+……+x+1）=xn＋1?1，故答案是：xn＋1?1；（3）（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）=﹣32100×4÷8÷380==；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3=2×32018+2×32016+2×32014+……+2×32+3=2×（32018+32016+32014+……+32）+3=2×（91009+91008+91007+……+9+11）+3=2×+3=2×=，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，歸納出公式（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）=xn＋1?1，是解題的關(guān)鍵．7．已知：

（1）當(dāng)時，______．（2）試求：的值．（3）判斷的值的個位數(shù)是______．【答案】（1）80；（2）63；（3）7．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則即可得；（2）先根據(jù)已知等式歸納類推出一般規(guī)律，再將代入求值即可得；（3）先根據(jù)一般規(guī)律可求出結(jié)果，再根據(jù)有理數(shù)的乘方即可得．【解析】（1），故答案為：80；（2）歸納類推得：，其中，且為整數(shù)，則，，；（3），，∵，，，，，，且，∴的個位數(shù)與的個位數(shù)相同，即為8，∴的個位數(shù)為7，即的值的個位數(shù)為7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方、整式乘法的規(guī)律性問題等知識點(diǎn)，根據(jù)已知等式，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．8．好學(xué)的小東同學(xué)，在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時發(fā)現(xiàn)：的結(jié)果是一個多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：，常數(shù)項(xiàng)為：，那么一次項(xiàng)是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)他發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就是：，即一次項(xiàng)為．請你認(rèn)真領(lǐng)會小東同學(xué)解決問題的思路，方法，仔細(xì)分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對多項(xiàng)式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為______．（2）若計(jì)算所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，求的值；（3）若，則______．【答案】（1）11；（2）；（3）2021．【分析】根據(jù)題意可得出結(jié)論多項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘所得結(jié)果的一次項(xiàng)系數(shù)是每個多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)分別乘以其他多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)后相加所得．（1）中每個多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)分別是1、3、5，常數(shù)項(xiàng)分別是2、1、3，再根據(jù)結(jié)論即可求出所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)．（2）中每個多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)分別是1、3、2，常數(shù)項(xiàng)分別是1、a、1，再根據(jù)所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為0，結(jié)合結(jié)論即可列關(guān)于a的一元一次方程，從而求出a．（3）中每個多項(xiàng)式一次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)也為1，為所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)．所以根據(jù)結(jié)論為2121個相加，即可得出結(jié)果．【解析】（1）根據(jù)題意可知的一次項(xiàng)系數(shù)為：．故答案為11．（2）根據(jù)題意可知的一次項(xiàng)系數(shù)為：∵該多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0，∴解得．（3）根據(jù)題意可知即為所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)．∴故答案為2021【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及對多項(xiàng)式中一次項(xiàng)系數(shù)的理解，根據(jù)題意找出多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式所得結(jié)果的一次項(xiàng)系數(shù)與多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中每個多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)關(guān)系規(guī)律是解題關(guān)鍵．9．你能求（x一1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值嗎?遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，從簡單的情形人手，分別計(jì)算下列各式的值．（1）（x－1）（x+1）=_____________；（2）（x—1）（x2+x+1）=_____________；（3）（x－1）（x3+x2+x+1）=____________；…由此我們可以得到：（4）（x一1）（x99+x98+x97+…+x+1）=___________，請你利用上面的結(jié)論，完成下列的計(jì)算：（5）299+298+297+…+2+1；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【分析】（1）直接運(yùn)用平方差公式計(jì)算即可（2）（3）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可（4）根據(jù)（1）（2）（3）總結(jié)規(guī)律，運(yùn)算規(guī)律即可解答（5）將299+298+297+…+2+1寫成（21）(299+298+297+…+2+1)，再利用規(guī)律解答即可【解析】解：（1）（x－1）（x+1）=（2）（x—1）（x2+x+1）=（3）（x－1）（x3+x2+x+1）=(4)（x一1）（x99+x98+x97+…+x+1）=(5)299+298+297+…+2+1=（21）(299+298+297+…+2+1)=【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算能力以及分析、總結(jié)和歸納能力，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則并總結(jié)出代數(shù)式的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．10．觀察下列各式：……(1)按以上等式的規(guī)律填空：（_____________）；(2)根據(jù)規(guī)律可得____________（其中為正整數(shù)）；(3)利用上面的結(jié)論，完成下面兩題的計(jì)算：①②【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)所給出的具有規(guī)律的式子，即可求解；（2）觀察所給式子的特點(diǎn)，等號右邊x的指數(shù)比等號左邊x的最高指數(shù)大1，然后寫出即可；（3）①根據(jù)所給式子的規(guī)律，把x換為3即可求解；根據(jù)上述規(guī)律計(jì)算其和，即可得解．②用添項(xiàng)法，實(shí)在補(bǔ)充為題干給定形式，即乘以即可解答．【解析】（1）；故答案為：（2）；故答案為：（3）①②【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的推廣，要讀懂題目信息并總結(jié)出規(guī)律，具有規(guī)律性是特殊式子的因式分解，解題的關(guān)鍵是找出所給范例展示的規(guī)律．11．李狗蛋同學(xué)在學(xué)習(xí)整式乘法公式這一節(jié)時，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用乘法公式在進(jìn)行一些計(jì)算時特別簡便，這激發(fā)了李狗蛋同學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，他想再探究一些有關(guān)整式乘法的公式，便主動查找資料進(jìn)行學(xué)習(xí)，以下是他找來的資料題，請你一同跟李狗蛋同學(xué)探究一下：（1）探究：____；___；_____；（2）猜想：______（為正整數(shù)，且）；（3）利用上述猜想的結(jié)論計(jì)算：的值．【答案】（1），，；（2）；（3）341【分析】（1）根據(jù)平方差公式及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）的答案歸納總結(jié)即可；（3）利用（2）的規(guī)律變形為（2）的形式計(jì)算即可．【解析】解：（1），，，故答案為：，，；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知：，故答案為：；（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的變化規(guī)律，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．12．觀察并驗(yàn)證下列等式：(1)續(xù)寫等式__________．(2)根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論__________．(3)利用（2）中的結(jié)論計(jì)算：①

②【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)已知算式，可得從1開始，幾個連續(xù)自然數(shù)的立方和等于這些自然數(shù)的和的平方，據(jù)此解答即可；（2）根據(jù)已知算式，可得從1開始，幾個連續(xù)自然數(shù)的立方和等于這些自然數(shù)的和的平方，據(jù)此解答即可；（3）①根據(jù)（2）中結(jié)論進(jìn)行求解即可；②根據(jù)（2）中結(jié)論求解即可．(1)解：由題意得：，故答案為：；(2)解：∵∴可以推出故答案為：(3)解：①；②∵，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律題，整式的混合計(jì)算，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．已知．(1)根據(jù)以上式子計(jì)算：①；②（n為正整數(shù)）；③．(2)通過以上計(jì)算，請你進(jìn)行下面的探索：①_______；②_______；③________．【答案】(1)①；②；③；(2)①；②；③．【分析】（1）①直接利用題中的結(jié)論代入數(shù)值計(jì)算；②缺少(項(xiàng)，從而可以湊配易得，同理即可解答；③中，按降亙進(jìn)行排列，然后套用規(guī)律進(jìn)行解答；（2）仿照所給等式的規(guī)律即可直接寫出答案．【解析】（1）①；②；③；（2）①；②；③．故答案為∶①；②；③．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，正確理解平方差公式及展開形式是解決本題關(guān)鍵．14．閱讀并思考：計(jì)算時，山桂娜同學(xué)發(fā)現(xiàn)了一個簡單的口算方法，具體步驟如下：第一步：47接近整十?dāng)?shù)50，；第二步：取50的一半25，；第三步：第四步：把第二、三步綜合起來，．(1)依此方法計(jì)算49：第一步：49接近整十?dāng)?shù)50，；第二步：取50的一半25，；第三步：第四步：把第二、三步綜合起來，．(2)請你根據(jù)山桂娜同學(xué)的方法，填寫出一個正確的計(jì)算公式．．(3)利用乘法運(yùn)算說明第（2）小題中這個公式的正確性．(4)寫出利用這個公式計(jì)算的過程．(5)計(jì)算也有一個簡單的口算方法，具體步驟如下：第一步：；第二步：；第三步：前面兩步的結(jié)果綜合起來，的結(jié)果是4221．寫出上述過程所依據(jù)的計(jì)算公式_______________________．(6)利用乘法運(yùn)算說明第（5）小題中這個公式的正確性．【答案】(1)25，1，1(2)25，，(3)見詳解(4)見詳解(5)(6)見詳解【分析】（1）根據(jù)山桂娜同學(xué)的簡便運(yùn)算步驟解答即可；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律書寫公式即可；（3）利用整式乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可說明（2）中公式的正確性；（4）利用（2）中得到的公式求解即可；（5）分析的簡單運(yùn)算，書寫計(jì)算公式即可；（6）利用整式乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可說明（5）中公式的正確性．【解析】（1）解：根據(jù)題意，計(jì)算49：第一步：49接近整十?dāng)?shù)50，；第二步：取50的一半25，；第三步：第四步：把第二、三步綜合起來，．故答案為：25，1，1；（2）根據(jù)山桂娜同學(xué)的方法，填寫出正確的計(jì)算公式如下：．故答案為：25，，；（3）∵，，∴公式正確；（4）；（5）計(jì)算的口算方法，具體步驟如下：第一步：；第二步：；第三步：前面兩步的結(jié)果綜合起來，的結(jié)果是4221．結(jié)合上述計(jì)算過程，可書寫計(jì)算公式為．故答案為：；（6）∵，又∵，∴公式是正確的．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律探索、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、整式混合運(yùn)算等知識，理解題意，正確書寫簡便運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．15．閱讀材料：把形如的二次三項(xiàng)式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆寫，即．例如：、、是的三種不同形式的配方即“余項(xiàng)”分別是常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)．請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，，求的值；(3)當(dāng)，何值時，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？【答案】(1)第一種：；第二種：；第三種：(2)(3)16【分析】（1）根據(jù)材料中的三種不同形式的配方，“余項(xiàng)”分別是常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)，可解答；（2）將配方，根據(jù)平方的非負(fù)性可得和的值，可解答；（3）首先把已知等式變?yōu)椋缓罄猛耆椒焦椒纸庖蚴?，變?yōu)閮蓚€非負(fù)數(shù)和一個正數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．（1）解：第一種：；第二種：；第三種：；（2），，，，，，，；（3），，，，，解得．當(dāng)，時，代數(shù)式的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，首先利用完全平方公式使等式變?yōu)閮蓚€非負(fù)數(shù)和一個正數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題．16．先閱讀后解題：若，求m和n的值．解：等式可變形為：即，因?yàn)?，，所以，即，．像這樣將代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，使代數(shù)式中出現(xiàn)完全平方式的方法叫做“配方法”．請利用配方法，解決下列問題：(1)已知的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足，則的周長是______；(2)求代數(shù)式的最小值是多少？并求出此時a，b滿足的數(shù)量關(guān)系；(3)請比較多項(xiàng)式與的大小，并說明理由．【答案】(1)9(2)3，(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)配方法，可得a，b的值，在根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得c的值，根據(jù)三角形的周長，可得答案；（2）根據(jù)配方法，可得非負(fù)數(shù)的和，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)多項(xiàng)式的減法計(jì)算，然后根據(jù)配方法化簡多項(xiàng)式的差，可得結(jié)論．(1)已知的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，的周長是故答案為：(2)當(dāng)時，的最小值為3(3)【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用配方法得出非負(fù)數(shù)的和是解題關(guān)鍵．17．方法探究：已知二次多項(xiàng)式，我們把代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x＋3）．設(shè)另一個因式為（x＋k），多項(xiàng)式可以表示成，則有，因?yàn)閷?yīng)項(xiàng)的系數(shù)是對應(yīng)相等的，即，解得，因此多項(xiàng)式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：(1)對于二次多項(xiàng)式，我們把x＝代入該式，會發(fā)現(xiàn)成立；(2)對于三次多項(xiàng)式，我們把x＝1代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（），設(shè)另一個因式為（），多項(xiàng)式可以表示成，試求出題目中a，b的值；(3)對于多項(xiàng)式，用“試根法”分解因式．【答案】(1)±2(2)a=0，b=3；(3)【分析】（1）將x=±2代入即可；（2）由題意得x3x23x+3=x3（1a）x2（ab）xb，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可；（3）多項(xiàng)式有因式（x2），設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），則x3+4x23x18=x3+（a2）x2（2ab）x2b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可．【解析】（1）解：當(dāng)x=±2時，x24=0，故答案為：±2；（2）解：由題意可知x3x23x+3=（x1）（x2+ax+b），∴x3x23x+3=x3（1a）x2（ab）xb，∴1a=1，b=3，∴a=0，b=3；（3）解：當(dāng)x=2時，x3+4x23x18=8+16618=0，∴多項(xiàng)式有因式（x2），設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），∴x3+4x23x18=（x2）（x2+ax+b），∴x3+4x23x18=x3+（a2）x2（2ab）x2b，∴a2=4，2b=18，∴a=6，b=9，∴x3+4x23x18=（x2）（x2+6x+9）=（x2）（x+3）2．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義，理解“試根法”的本質(zhì)，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的正確展開是解題的關(guān)鍵．18．教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果一個多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：分解因式求代數(shù)式的最小值，．當(dāng)時，有最小值，最小值是，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：__________．（2）當(dāng)x為何值時，多項(xiàng)式有最大值？并求出這個最大值．（3）若，求出a，b的值．【答案】（1）（x+1）（x5）；（2）x=1，最大值為5；（3）a=2，b=1【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以將題目中的式子因式分解；（2）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子變形，然后即可得到當(dāng)x為何值時，所求式子取得最大值，并求出這個最大值；（3）將題目中的式子化為完全平方式的形式，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到a、b的值．【解析】解：（1）x24x5=（x2）29=（x2+3）（x23）=（x+1）（x5），故答案為：（x+1）（x5）；（2）∵2x24x+3=2（x+1）2+5，∴當(dāng)x=1時，多項(xiàng)式2x4x+3有最大值，這個最大值是5；（3）∵，∴，∴，∴，∴a2b=0，b1=0，∴a=2，b=1．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解的方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答．19．已知a+b=1，ab=1，設(shè)S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn（1）計(jì)算S2和S4（2）已知a3+b3=(a+b)(a2ab+b2),求S3并猜想Sn2，Sn1，Sn三者之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）；（3）若M=(S1+S2+S3+S99)（S2+S3+S100），N=（S1+S2+S3+S100）（S2+S3+S99）判斷M，N的大小，并說明理由．【答案】（1）S2＝3，S4＝7，（2）S3=4，Sn2+Sn1=Sn，理由見詳解；（3）M＞N，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)完全平方公式以及變形公式，即可求解；（2）根據(jù)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)，即可求出S3=4，由an2+bn2+an1+bn1結(jié)合a+b=1，ab=1，可得Sn2+Sn1=Sn；（3）設(shè)A=S1+S2+S3++S99，B=S2+S3++S100，利用作差法，即可判斷M，N的大小．【解析】解：（1）S2＝a2＋b2＝（a＋b）2?2ab＝12?2×（?1）＝3，S4＝a4＋b4＝（a2＋b2）2?2a2b2＝（a2＋b2）2?2（ab）2=32?2×（?1）2＝7，（2）S3=a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=1×（3+1）=4，猜想：Sn2+Sn1=Sn，理由如下：∵a+b=1，ab=1，∴an2+bn2+an1+bn1=an2(1+a)+bn2(1+b)=an2(ab+a)+bn2(ab+b)=an1(1b)+bn1(1a)=an+bn，∴Sn2+Sn1=Sn；（3）∵S1=a+b，S100=a100+b100＞0，設(shè)A=S1+S2+S3++S99，B=S2+S3++S100∴MN=AB(A+S100)(BS100)=ABAB+(AB)S100+S100×S100=(S1S100)S100+S100×S100=S1S100=S100＞0，∴M＞N．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵，規(guī)律是Sn?2＋Sn?1＝Sn．20．閱讀材料：若，求，的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知，則________，________；（2）已知的三邊長、、都是正整數(shù)，且滿足，求的周長．【答案】（1）4，4；（2）的周長為9．【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出x和y的值；（2）利用完全平方公式配方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出a和b的值，從而得出c的取值范圍，根據(jù)c為整數(shù)即可得出c的值，從而求得三角形的周長．【解析】解：（1）由得，，∴，，∴，故答案為：4，4；（2）由得：，，∴a1=0，b4=0，∴a=1，b=4，∴3＜c＜5，∵△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，∴c=4，∴的周長為9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用及偶次方的非負(fù)性，同時考查了三角形的三邊關(guān)系，本題難度中等．21．我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：．②拆項(xiàng)法：將一個多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項(xiàng)法．例如：③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)；4．觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．觀察得出：兩個因式分別為與例如：分析：解：原式（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）②（拆項(xiàng)法）③________．（2）已知：、、為的三條邊，，求的周長．【答案】（1）①，②，③；（2）7【分析】（1）①將原式化為，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②將原式化為，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；（2）先利用完全平方公式對等式的左邊變形，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．【解析】解：（1）①；②；③；故答案為：；（2）∵，∴，∴，∴，，，∴．∴的周長為7．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問題中的應(yīng)用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關(guān)鍵．22．我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，如圖1的“楊輝三角”就是其中的一例．如圖2，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)楊輝三角給出了（為正整數(shù)）的展開式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著展開式中各項(xiàng)的系數(shù)等等．（1）填出展開式中共有________項(xiàng)，第三項(xiàng)是________．（2）直接寫出的展開式．（3）推斷多項(xiàng)式（為正整數(shù)）的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和．（4）利用上面的規(guī)律計(jì)算：．【答案】（1）5；；（2）；（3）；（4）【分析】（1）展開的項(xiàng)數(shù)等于字母a的不同指數(shù)的個數(shù)即4，3，2，1，0，根據(jù)楊輝三角形的規(guī)律確定各項(xiàng)的系數(shù)即可；（2）先計(jì)算的展開式，后將a,b的值特殊化計(jì)算即可；（3）猜想指數(shù)為0，為1，為2，為3的系數(shù)之和，透過枚舉法猜想其中的規(guī)律；（4）逆向使用公式求解即可．【解析】（1）由楊輝三角的系數(shù)規(guī)律可得，，展開式共有5項(xiàng)，第三項(xiàng)是．（2），當(dāng)，時，原式，．（3）第一行各項(xiàng)系數(shù)和為，即的各項(xiàng)系數(shù)和為，第二行各項(xiàng)系數(shù)和為，即的各項(xiàng)系數(shù)和為，第三行各項(xiàng)系數(shù)和為，即的各項(xiàng)系數(shù)和為，第三行各項(xiàng)系數(shù)和為，即的各項(xiàng)系數(shù)和為，…由此可得的各項(xiàng)系數(shù)和為，．（4）由楊輝三角可知，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了楊輝三角形，二項(xiàng)式的展開，熟練掌握楊輝三角形的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用公式，活用一般與特殊的思想是解題的關(guān)鍵．23．乘法公式的探究及應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，劉老師準(zhǔn)備了若干個如圖的三種紙片，種紙片邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片長為、寬為的長方形并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖的大正方形．（1）觀察圖，請寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系____；（2）若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片張，號卡片張，號卡片_____張．（3）根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：，，求的值：②已知．求的值．【答案】（1）；（2）3；（3）①11；②1【分析】（1）方法1：圖2是邊長為（a+b）的正方形，利用正方形的面積公式可得出S正方形＝（a+b）2；方法2：圖2也可看成1個邊長為a的正方形、1個邊長為b的正方形以及2個長為b寬為a的長方形的組合體，根據(jù)正方形及長方形的面積公式可得出S正方形＝a2+2ab+b2；由圖2中的圖形面積不變，可得出（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）把括號打開，根據(jù)各項(xiàng)的系數(shù)就可判斷卡片的張數(shù)；（3）①由a+b＝6可得出（a+b）2＝36，將其和a2+b2＝14代入（a+b）2＝a2+2ab+b2中即可求出ab的值；②設(shè)x﹣2019＝a，則x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1，再根據(jù)完全平方公式求解即可．【解析】解：（1）方法：圖是邊長為的正方形，；方法：圖可看成個邊長為的正方形、個邊長為的正方形以及個長為寬為的長方形的組合體，．．故答案為：；（2）∵，A卡片的面積為a2，B卡片的面積為b2，C卡片的面積為ab，根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)可得，要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片張，號卡片張，號卡片張．故答案為：．（3）①，，即，又，．②設(shè)，則，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景、正方形的面積以及長方形的面積，解題的關(guān)鍵是：利用長方形、正方形的面積公式，找出結(jié)論；根據(jù)面積不變，找出（a+b）2＝a2+2ab+b2．24．做一做計(jì)算：探究歸納，如圖甲、圖乙是兩個長和寬都相等的長方形，其中長為，寬為．(1)根據(jù)圖甲、圖乙的特征用不同的方法計(jì)算長方形的面積，得到關(guān)于字母x的系數(shù)是1的兩個一次式相乘的計(jì)算規(guī)律，用數(shù)學(xué)式表達(dá)式為．嘗試運(yùn)用，利用因式分解與整式乘法的關(guān)系，我們可以利用上述表達(dá)式得到一些二次三項(xiàng)式的因式分解．(2)若，則．(3)若可以分解成關(guān)于x的兩個一次式乘積的形式，則整數(shù)p的值一定是．(4)若可以分解成關(guān)于x的兩個一次式乘積的形式，則整數(shù)q的值一定是．A．4

B．0

C．有限個

D．有無數(shù)個【答案】(1)(2)(3)0或(4)D【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，即可求解；（2）把展開，即可求解；（3）由，進(jìn)而即可求解；（4）根據(jù)“和為的兩個整數(shù)有無數(shù)組”，進(jìn)而即可求解．【解析】（1）∵，，∴，故答案為：；（2）∵，∴，故答案為：；（3）∵可以分解成關(guān)于的兩個一次式乘積的形式，∴，∴或，故答案為：或（4）∵和為的兩個整數(shù)有無數(shù)組，∴整數(shù)的值有無數(shù)個，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，因式分解，通過題目得到結(jié)論：是解題的關(guān)鍵．25．探索、研究：儀器箱按如圖方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層、…），受堆放條件限制，堆放時應(yīng)符合下列條件：每層堆放儀器箱的個數(shù)an與層數(shù)n之間滿足關(guān)系式an＝n2?32n＋247，1?n＜16，n為整數(shù)．(1)例如，當(dāng)n＝2時，a2＝22?32×2＋247＝187，則a5＝，a6＝；(2)第n層比第（n＋1）層多堆放多少個儀器箱；（用含n的代數(shù)式表示）(3)假設(shè)堆放時上層儀器箱的總重量會對下一層儀器箱產(chǎn)生同樣大小的壓力，壓力單位是牛頓，設(shè)每個儀器箱重54牛頓，每個儀器箱能承受的最大壓力為160牛頓，并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的．①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力；②再確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層，為什么？【答案】(1)112，91；(2)（31－2n）個(3)①46.75N；②5層，理由見解析【分析】（1）把n＝5，n＝6分別代入n2?32n＋247中進(jìn)行計(jì)算；（2）分別表示出n＋1和n時的代數(shù)式，然后進(jìn)行減法計(jì)算；（3）①根據(jù)公式分別求得第二層和第一層的個數(shù)，再根據(jù)第二層的總重量除以第一層的個數(shù)進(jìn)行計(jì)算；②根據(jù)①中的方法進(jìn)行估算，求得最多可以堆放的層數(shù)．（1）解：當(dāng)n＝5時，a5＝52?32×5＋247＝112，當(dāng)n＝6時，a6＝62?32×6＋247＝91；（2）解：由題意可得，答：第n層比第（n＋1）層多堆放（31－2n）個儀器箱．（3）解：①由題意得，＝＝46.75（牛）答：第1層中每個儀器箱承受的平均壓力是46.75牛．②該儀器箱最多可以堆放5層，理由如下．當(dāng)n＝1時，a1＝216，當(dāng)n＝2時，a2＝187，當(dāng)n＝3時，a3＝160，當(dāng)n＝4時，a4＝135，當(dāng)n＝5時，a5＝112，當(dāng)n＝6時，a6＝91，當(dāng)n＝5時，第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為：＝148.5＜160（牛）當(dāng)n＝6時，第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為：＝171.25＞160（牛）所以，該儀器箱最多可以堆放5層．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形變化規(guī)律探究問題，要能夠根據(jù)所給的公式進(jìn)行分析計(jì)算，同時體現(xiàn)了“估算”思想，體現(xiàn)了“優(yōu)選”思想，對這類問題能從“中點(diǎn)”處、“黃金分割點(diǎn)”處思考是解答此題的重要思想．26．(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)的系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)，于是就可以分解為．請同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應(yīng)用】請你仔細(xì)體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對于形如的關(guān)于，的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式，請你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：①

分解因式__________；②

若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．【答案】(1)(2)

(3)②43或【分析】（1）首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個因數(shù)的積，即，寫出結(jié)果即可．（2）①把二次項(xiàng)系數(shù)2寫成，常數(shù)項(xiàng)寫成，滿足，寫出分解結(jié)果即可．②把項(xiàng)系數(shù)6寫成，把項(xiàng)系數(shù)2寫成，滿足，寫出分解結(jié)果即可．（3）①把項(xiàng)系數(shù)3寫成，把項(xiàng)系數(shù)2寫成，常數(shù)項(xiàng)4寫成滿足條件，寫出分解結(jié)果即可．②把項(xiàng)系數(shù)1寫成，把項(xiàng)系數(shù)18寫成，常數(shù)項(xiàng)24寫成或滿足條件，寫出分解結(jié)果，計(jì)算即可．【解析】（1）首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個因數(shù)的積，即，所以．故答案為：．（2）①把二次項(xiàng)系數(shù)2寫成，，滿足，所以．故答案為：．②把項(xiàng)系數(shù)6寫成，把項(xiàng)系數(shù)2寫成，滿足，所以．故答案為：．（3）①把項(xiàng)系數(shù)3寫成，把項(xiàng)系數(shù)2寫成，常數(shù)項(xiàng)4寫成滿足條件，所以．故答案為：．②把項(xiàng)系數(shù)1寫成，把項(xiàng)系數(shù)18寫成，常數(shù)項(xiàng)24寫成或滿足條件，所以m=或m=，故m的值為43或78．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的十字相乘法，讀懂閱讀材料，理解其中的內(nèi)涵是解題的關(guān)鍵．27．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項(xiàng)式的分解因式____________________．(2)探究二：類似地，我們可以借助一個棱長為的大正方體進(jìn)行以下探索：在大正方體一角截去一個棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結(jié)果不需要化簡）(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個多項(xiàng)式因式分解）為______________．(5)問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知ab=6，ab=2，求的值．(6)類比以上探究，嘗試因式分解：=．【答案】(1)(2)(3)，(4)(5)252(6)【分析】（1）圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，圖2中陰影部分的面積等于長為、寬為的長方形的面積，由此即可得；（2）直接利用大正方體的體積減去小正方體的體積即可得出答案；（3）根據(jù)長方體的體積公式即可得；（4）根據(jù)（2）和（3）的結(jié)論可得，再將等號右邊利用提取公因式分解因式即可得出答案；（5）先利用完全平方公式求出，再根據(jù)（4）的結(jié)論即可得；（6）將改寫成，再根據(jù)（4）的結(jié)論進(jìn)行因式分解即可得．（1）解：圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，拼圖前后圖形的面積不變，，可得一個多項(xiàng)式的分解因式為，故答案為：．（2）解：由題意，得到的幾何體的體積為，故答案為：．（3）解：，長方體②的體積為，，長方體③的體積為，故答案為：，．（4）解：由（2）和（3）得：，則可以得到的恒等式（將一個多項(xiàng)式因式分解）為，故答案為：．（5）解：，，．（6）解：由（4）可知，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與圖形面積、利用完全平方公式變形求值、利用提公因式法分解因式等知識點(diǎn)，熟練掌握利用不同的方法表示同一個幾何體的體積得到代數(shù)恒等式是解題關(guān)鍵．28．把圖1的長方形看成一個基本圖形，用若干相同的基本圖形進(jìn)行拼圖（重合處無縫隙）．(1)如圖2，將四個基本圖形進(jìn)行拼圖，得到正方形和正方形，用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積（用含a，b的代數(shù)式表示），并寫出一個等式；(2)如圖3，將四個基本圖形進(jìn)行拼圖，得到四邊形，求陰影部分的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）；(3)如圖4，將圖3的上面兩個基本圖形作為整體圖形向左運(yùn)動x個單位，再向上運(yùn)動2b個單位后得到一個長方形圖形，若，把圖中陰影部分分割成兩部分，這兩部分的面積分別記為，，若，求證：m與x無關(guān)．【答案】(1)①S陰影＝(a＋b)2?4ab；②S陰影=(a?b)2?；（a＋b）2?4ab＝（a?b）2(2)S陰影＝a2?2ab＋b2(3)見解析【分析】（1）陰影部分的面積有兩種計(jì)算方法，①S陰影＝S大正方形?4S基本圖形；②直接根據(jù)正方形EFGH的邊長求正方形EFGH的面積；（2）先證明四邊形ABCD是正方形，然后用S陰影＝S正方形?4S基本圖形；（3）把S1，S2分別用含a、b、x的式子表示出來，然后計(jì)算m＝S1?S2，即可證明m與x無關(guān)．【解析】（1）解：①∵在圖2中，四邊形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面積為S正方形＝（a＋b）2．∵四個基本圖形的面積為4ab，∴S陰影＝(a＋b)2?4ab；②∵四邊形EFGH是正方形，∴EH＝EF＝a?b，∴S陰影＝EH2＝(a?b)2；∴（a＋b）2?4ab＝（a?b）2．（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四邊形EFGH是正方形，∴S陰影＝MN2?4ab＝(a＋b)2?4ab，即S陰影＝(a＋b)2?4ab＝a2?2ab＋b2．（3）證明：根據(jù)圖形可知，AF＝a＋x?2b，m＝S1?S2＝2b?2b＋bx?（a?2b＋x）b?3b?b＝4b2＋bx?（ab?2b2＋bx）?3b2＝4b2＋bx?ab＋2b2?bx?3b2＝3b2?ab∴S與x無關(guān)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用有關(guān)代數(shù)式表示圖形的面積．合理利用代數(shù)式把圖形的面積表示出來是解題的關(guān)鍵．29．若x滿足(9x)(x4)=4，求(9x)2(x4)2的值．解：設(shè)9x=a，x4=b，則(9x)(x4)=ab=4，ab=(9x)(x4)=5∴(9x)2(x4)2=a2+b2=(a+b)22ab=52－24=17請仿照上面的方法求解下面問題：(1)若x滿足，求的值；(2)若x滿足，求的值；(3)已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE=1，CF=3，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊長作正方形MFRN和正方形GFDH，求陰影部分的面積．【答案】(1)130(2)16(3)28【分析】（1）設(shè)x10=a，x20=b，由條件得ab=15，ab=10，根據(jù)a2+b2=（ab）2+2ab求出結(jié)果即可；（2）設(shè)x2021=a，x2022=b，可得a2+b2=33，ab=1，根據(jù)2（x2021）（x2022）=2ab，求出ab即可；（3）設(shè)正方形ABCD的邊長為x，AE=1，CF=3可得FM=DE=x1，DF=x3，進(jìn)而得出陰影部分的面積=FM2DF2=（x1）2（x3）2，由（2）的方法求出結(jié)果即可．【解析】（1）解：設(shè)x10=a，x20=b，則（x10）（x20）=ab=15，ab=（x10）（x20）=10，∴（x10）2+（x20）2=a2+b2=（ab）2+2ab=102+2×15=130（2）設(shè)x2021=a，x2022=b，則（x2021）2+（x2022）2=a2+b2=33，ab=（x2021）（x2022）=1，∴2（x2021）（x2022）=2ab=（ab）2（a2+b2）=1233=32∴ab=16，即：（x2021）（x2022）=16．（3）∵正方形ABCD的邊長為x，AE=1，CF=3，∴FM=DE=x1，DF=x3，∴（x1）（x3）=48，∴（x1）（x3）=2，∴陰影部分的面積=FM2DF2=（x1）2（x3）2，設(shè)x1=a，x3=b，則（x1）（x3）=ab=48，ab=（x1）（x3）=2，∴（a+b）2=（ab）2+4ab=4+192=196∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b=14，∴（x1）2（x3）2=a2b2=（a+b）（ab）=14×2=28即陰影部分的面積是28．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的關(guān)鍵．30．?dāng)?shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它包含兩個方面，第一種是“以數(shù)解形”，第二種是“以形助數(shù)”，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”．請你使用數(shù)形結(jié)合這種思想解決下面問題：圖1是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分為四塊完成相同的小長方形，然后按照圖2的形狀拼成一個正方形．(1)觀察圖2，用兩種方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到一個等式，請使用代數(shù)式，，ab寫出這個等式_____________．(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若m、n為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．(3)如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)(2)4(3)【分析】（1）根據(jù)圖2中，各個部分面積與大正方形面積之間的關(guān)系可得答案；（2）由（1）的結(jié)論，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）設(shè)兩個正方形的邊長為，，得出，，根據(jù)完全平方公式計(jì)算出的值即可．（1）解：如圖2，大正方形的邊長為，因此面積為，小正方形的邊長為，因此面積為，每個長方形的長為，寬為，因此面積為，由面積之間的關(guān)系可得：，故答案為：（答案不唯一）；（2）解：由（1）得，，，；即的值是4；（3）解：設(shè)正方形的邊長為，正方形的邊長為，則，，，兩正方形的面積和，，，，，，陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及圖形中面積之間的關(guān)系．31．我們學(xué)過單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，那么多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式該怎么計(jì)算呢？我們也可以用豎式進(jìn)行類似演算，即先把被除式、除式按某個字母的指數(shù)從大到小依次排列項(xiàng)的順序，并把所缺的次數(shù)項(xiàng)用零補(bǔ)齊，再類似數(shù)的豎式除法求出商式和余式，其中余式為0或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù).例：計(jì)算，可依照的計(jì)算方法用豎式進(jìn)行計(jì)算.因此.(1)的商是______，余式是______.(2)利用上述方法解決：若多項(xiàng)式能被整除，求值.(3)已知一個長為，寬為的長方形A，若將它的長增加6，寬增加a就得到一個新長方形B，此時長方形B的周長是A周長的2倍（如圖）.另有長方形C的一邊長為，若長方形B的面積比C的面積大76，求長方形C的另一邊長.【答案】(1)，．(2)(3)【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的法則計(jì)算．（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的法則計(jì)算．（2）通過面積關(guān)系求長方形的邊長．【解析】（1）解：用豎式計(jì)算如下，的商是，余式是．∴答案為：，．（2）多項(xiàng)式能被整除，則∴a+4（2）=0，b（2）=0．∴a=6，b=2．∴ab=（6）2=36．（3）長方形A的周長為：2（x+2+x2）=4x．長方形B的周長為：2（x2+a+x+2+6）=4x+2a+12．∵長方形B的周長是A周長的2倍．∴4x+2a+12=8x．∴a=2x6．∴長方形B的面積為：（x+2+6）（x2+2x6）=（x+8）（3x8）=3x2+16x64．∴長方形C的面積為：3x2+16x140．∴長方形C的另一邊長為：（3x2+16x140）÷（x+10）=3x14．∴長方形C的另一邊長為：3x14．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，抓住整除的定義找到系數(shù)的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．32．?dāng)?shù)學(xué)中的許多規(guī)律不僅可以通過數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，也可以通過圖形的面積發(fā)現(xiàn)．(1)填表：【數(shù)的角度】aba＋ba－ba2－b2213133－215(2)【形的角度】如圖①，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個邊長為b（b＜a）的小正方形，怎樣計(jì)算圖中陰影部分的面積？小明和小紅分別用不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積．小明的方法：若陰影部分看成大正方形與小正方形的面積差，則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為；小紅的方法：若沿圖①中的虛線將陰影部分剪開拼成新的長方形（圖②），則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為．(3)【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】猜想：a＋b、a－b、a2－b2這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系是．(4)【運(yùn)用規(guī)律】運(yùn)用上述規(guī)律計(jì)算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．【答案】(1)5，(2)(3)(4)1275【分析】(1)a=3，b=2時，;時，ab=．(2)小空1

大正方形面積為a2，小正方形的面積為b2，作差即可．小空2

把長方形的長和寬分別用含有a、b的代數(shù)式表示出來，再按照長方形面積公式計(jì)算即可．(3)根據(jù)第(2)小題發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出等量關(guān)系即可．(4)每兩個數(shù)為一組按照根據(jù)第（3）小題寫出的規(guī)律進(jìn)行變形，問題即可解決．【解析】（1）aba＋ba－ba2－b2213133－2155（2）小明的方法:大正方形面積為a2，小正方形的面積為b2，，∴陰影部分的面積為a2b2；小紅的方法：長方形的長為a+b，寬為ab，∴陰影部分的面積為(a+b)(ab)．故答案為：（3）a＋b、a－b、a2－b2這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系是．（4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1=(502－492)＋(482－472)＋(462－452)…＋(22－1)=(50+49)×(5049)+(48+47)×（4847）+(46+45)×(4645)…+(2+1)×(21)=50+49+48+47+46+45+…+2+1==1275【點(diǎn)睛】本題是一道綜合性題目，通過代數(shù)計(jì)算填表和面積法兩種方式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：平方差公式．然后再運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律．33．完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題例如：若，，求的值解：∵∴即∵∴根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題(1)若，，則_______________(2)填空①若，則_________________②若，則________________(3)如圖，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，以、為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積【答案】(1)12(2)①10；②；17(3)【分析】（1）利用完全平方公式，再將代入，即可求解；（2）①注意整體法的運(yùn)用，將轉(zhuǎn)化為：，即可求解；②注意整體法的運(yùn)用，將轉(zhuǎn)化為：，即可得到，，即可求解；（3）表示兩個正方形的面積、，得到，結(jié)合，推出，再去計(jì)算陰影部分面積．（1）∵，∴，∴，又∵，∴＝64－40＝24，∴；故答案為：12；（2）①∵，∴；故答案為：10；②∵，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：17；（3）∵AB＝6，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵BC＝CF，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的靈活運(yùn)用，其中既要注意整體法的運(yùn)用，又要注意數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng)．34．如圖1的兩個長方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個圖形．(1)在圖2中的陰影部分的面積S1可表示為；（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S2可表示為；（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是；A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2(3)請利用所得等式解決下面的問題：①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，則2m﹣n＝；②計(jì)算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接寫出該值的個位數(shù)字是多少．【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；(2)B(3)①3，②264，6【分析】（1）根據(jù)長方形和正方形的面積公式即可求解即可；（2）根據(jù)兩個陰影部分的面積相等由（1）的結(jié)果即可解答.（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一個（2﹣1），這樣可以和（2+1）湊成平方差公式，以此逐步解答即可．【解析】（1）解：圖2中長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），圖3中陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2．故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故選B．（3）解：①因?yàn)?m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因?yàn)?m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3．故答案為：3；②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝……＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其個位數(shù)字2，4，8，6，重復(fù)出現(xiàn)，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”經(jīng)過16次循環(huán)，因此264的個位數(shù)字為6．答：其結(jié)果的個位數(shù)字為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用和數(shù)字類規(guī)律，靈活應(yīng)用平方差公式成為解答本題的關(guān)鍵．35．學(xué)習(xí)了平方差、完全平方公式后，小聰同學(xué)對學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)公式非常感興趣，他通過上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學(xué)公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用立方和公式可以解決很多數(shù)學(xué)問題，請你也來試試?yán)昧⒎胶凸浇鉀Q以下問題：(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子①化簡：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝；②計(jì)算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝；(2)【公式運(yùn)用】已知：＋x＝5，求的值：(3)【公式應(yīng)用】如圖，將兩塊棱長分別為a、b的實(shí)心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成一個高為的實(shí)心長方體，問這個長方體有無可能是正方體，若可能，a與b應(yīng)滿足什么關(guān)系？若不可能，說明理由．【答案】(1)a3b3，100(2)4(3)不可能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)立方差公式計(jì)算；（2）根據(jù)完全平方公式計(jì)算；（3）根據(jù)體積找到a，b關(guān)系．【解析】（1）解：①原式=a3+(b)3=a3b3．②原式=（99+1）（99299×1+12）÷（99299+1）=100．故答案為：a3b3，100．（2）∵，∴原式=51=4．（3）假設(shè)長方體可能為正方體，由題意：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴7a210ab+7b2=0不成立，∴該長方體不可能是邊長為的正方體．【點(diǎn)睛】本題考查立方差和立方和公式的應(yīng)用，構(gòu)造使用公式的條件是求解本題的關(guān)鍵．36．【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法．比如：在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問題．【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：__________；由圖3可得等式：__________；(2)利用圖3得到的結(jié)論，解決問題：若，，則__________；(3)如圖4，若用其中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張邊長分別為、的長方形紙片拼出一個面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接），則______；(4)如圖4，若有3張邊長為的正方形紙片，4張邊長分別為的長方形紙片，5張邊長為的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為______．【方法拓展】(5)已知正數(shù)，，和，，，滿足．試通過構(gòu)造邊長為的正方形，利用圖形面積來說明．【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)150(3)8(4)a+2b；(5)見解析【分析】（1）大長方形的面積=長×寬，也等于3個小正方形和3個小長方形面積的和，兩種方法求得的大長方形的面積相等，即“等積法”得到等式．（2）用（1）的結(jié)論變形后代入求值．（3）觀察（2a+b）（a+2b）長方形找到x、y、z對應(yīng)的值，代入求值．（4）通過分析，找到可以拼成正方形的可能的情況，然后找到正方形的邊長最大，（5）通過構(gòu)造邊長為k的正方形，用3個長方形的面積表示al+bm+cn，用面積直觀地說明al+bm+cn<k2．（1）解：由圖2知，大長方形的面積=（2a+b）（a+b），大長方形的面積=3個小正方形的面積+3個小長方形的面積=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab，∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；由圖3知，大正方形的面積=（a+b+c）2，大正方形的面積=3個正方形的面積+2個小長方形的面積+2個小長方形的面積+2個小長方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；故答案為：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）由圖3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）22（ab+ac+bc），當(dāng)，時，a2+b2+c2=1522×35=150；故答案為：150（3）解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2，∴長方形可以看成2張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形，5張邊長分別為a、b的長方形紙片拼成的大長方形，∴x=1，y=2，z=5，∴x+y+z=8；故答案為：8（4）解：3張邊長為a的正方形紙片的面積為3a2，4張邊長分別為ab的長方形紙片的面積為4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積為5b2，∵想從中取出若干張紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），∴選取的紙片的面積和必須構(gòu)成完全平方式，∴可以選取1張邊長為a的正方形紙片、2張邊長分別為ab的長方形紙片、1張邊長為b的正方形紙片，此時圍成的正方形面積為a2+2ab+b2=（a+b）2，∴此時正方形的邊長=a+b；選取1張邊長為a的正方形紙片、4張邊長分別為ab的長方形紙片、4張邊長為b的正方形紙片，此時圍成的正方形面積為a2+4ab+4b2=（a+2b）2，∴此時正方形的邊長=a+2b，∵a+b＜a+2b，∴拼成的正方形的邊長最長為a+2b；故答案為：a+2b；（5）解：如圖，如圖，構(gòu)造了一個邊長為k的正方形，AC=CE=EG=AG=k，在正方形的4個邊上分別截取AB=a，CD=b，EF=HG=c，∵a+m=b+n=c+l=k，∴BC=m，DE=n，F(xiàn)G=l，AH=l，∴3個長方形的面積和為al+bm+cn，大正方形的面積為k2，∴．【點(diǎn)睛】本題用“等積法”解決多項(xiàng)式乘積的代數(shù)問題，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，用代數(shù)角度解決圖形問題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問題．37．如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．(1)圖2中的陰影部分的面積為：____________（用a、b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是____________；(3)利用（2）中的結(jié)論，若，，求的值____________；(4)實(shí)際上通過計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，請你寫出這個等式____________．(5)如圖4，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當(dāng)時，的面積記為，當(dāng)時，的面積記為，…，以此類推，當(dāng)時，的面積記為，計(jì)算的值．【答案】(1)(2)(3)16(4)(5)【分析】（1）圖2中陰影部分的面積可以用兩種方法得到，先表示陰影部分的邊長，再表示面積，二是圖2大正方形面積減去圖1的面積，即可得出答案（2）由（1）可以得出三個代數(shù)式之間的關(guān)系；（3）利用（2）中關(guān)系，整體代入求值即可；（4）從整體求面積與各個部分的面積和兩個方面即可得出等式；（5）△BEG的面積總等于以BC為邊長的正方形面積的一半，即，再利用平方差公式化簡求值即可．（1）（2）（3），時，，故答案為：16（4）（5）如圖，連接，在正方形和正方形中∴∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；……當(dāng)時，；∴．【點(diǎn)睛】考查正方形的性質(zhì)，完全平方公式的意義和應(yīng)用，利用圖形中的面積得出相應(yīng)的等式是得出正確答案的前提．38．一個四位正整數(shù)J，將千位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換，百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字交換，得到，我們稱這個數(shù)P為原數(shù)的“披荊數(shù)”，并規(guī)定；將千位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字交換，百位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換，得到，我們稱這個數(shù)Z為原數(shù)的“斬棘數(shù)”，規(guī)定，且（分母為0時舍去）．如：2147的“披荊數(shù)”為，，2147的“斬棘數(shù)”為，．(1)2937的“披荊數(shù)”是______，3587的“斬棘數(shù)”是______；(2)證明任意一個四位數(shù)的“披荊數(shù)”與“斬棘數(shù)”的差能被9整除；(3)設(shè)四位正整數(shù)（，且x，y均為正整數(shù)），交換其十位和個位的數(shù)字得到N，若為完全平方數(shù)且M能被3整除，則稱M為“乘風(fēng)破浪數(shù)”，請求出所有“乘風(fēng)破浪