第13講圓弧形動點軌跡與最值問題專題探究九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點及章節(jié)分類講義(浙教版)（原卷版）

第13講圓弧形動點軌跡與最值問題專題探究類型一定義法【知識點睛】定義法——若一動點到定點的距離恒等于固定長，則該點的運動軌跡為以定點為圓心，定長為半徑的圓（或圓?。┐祟悊栴}常出現(xiàn)環(huán)境——折疊求最值時常結(jié)合原理——①圓與圓外定點最值的求解方法如圖：點A為圓外定點，點P為圓周上一點，OPHOPHQ②圓上點到圓外定直線最值的求解方法如圖：直線l為圓外定直線，點P、點Q為圓周上一點，則PH即為圓O上的點到直線l的最小值;QH為最大值l【類題講練】1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，連接BD，則BD＝．2．如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點，且AM＝AD，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C．則A′C長度的最小值是．3．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．68° B．88° C．90° D．112°4．如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，OM的最大值為．5．如圖，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點F．（1）小智同學(xué)通過思考推得當(dāng)點E在AB上方時，∠AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上．∴∠AEB＝∠ACB＝°．（2）若BE＝2，求CF的長．（3）線段AE最大值為；若取BC的中點M，則線段MF的最小值為．類型二定邊對直角【知識點睛】模型原理：直徑所對的圓周角是直角故：有公共斜邊的兩個直角三角形必滿足四點共圓思路構(gòu)造：若一條定邊所對的“動角”始終為直角，則直角頂點運動軌跡是以該定邊為直徑的圓（或圓弧）故：有公共斜邊的兩個直角三角形必滿足四點共圓用此方法解題的一般步驟：①確定動點所在角=直角用此方法解題的一般步驟：①確定動點所在角=直角②確定“定直角”所對的邊為定邊③確定該動點的運動軌跡為以“定邊”為直徑的圓弧求最值時常結(jié)合原理——同類型一（略）【類題講練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，點D是邊BC上一動點，連接AD，在AD上取一點E，使∠DAC＝∠DCE，連接BE，則BE的最小值為（）A．2﹣3 B． C．﹣2 D．2．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，BC＝2，∠A＝60°，點D為弧BC上一動點，CE垂直直線OD于點E，當(dāng)點D由B點沿弧BC運動到點C時，點E經(jīng)過的路徑長為．3．如圖，已知正方形ABCD的邊長是4，點E是AB邊上一動點，連接CE，過點B作BG⊥CE于點G，點P是AB邊上另一動點，則PD+PG的最小值為．4．如圖，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動點，連接AB，BC，AC，線段AC交直線l2于點D．設(shè)直線l1，l2之間的距離為m，直線l2，l3之間的距離為n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，則m+n的最大值為．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為邊BC上一動點，F(xiàn)為AE中點，G為DE上一點，BF＝FG，則CG的最小值為．6．如圖，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），點D坐標(biāo)為（﹣6，0），連接CD，點P為邊OA上一個動點，連接CP，過點D作DE⊥CP于點E，連接AE，當(dāng)AE取最小值時，點E的縱坐標(biāo)為（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．7．如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點P從C點出發(fā)，沿CB運動到點B停止，過點B作射線AP的垂線，垂足為Q，點Q運動的路徑長為（）A． B． C． D．8．（1）【學(xué)習(xí)心得】于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的數(shù)．（3）【問題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是．類型三定邊對定角【知識點睛】模型原理：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等思路構(gòu)造：若一條定邊所對的“動角”始終為定角，則該定角頂點運動軌跡是以該定角為圓周角，該定邊為弦的圓（或圓?。┙鉀Q辦法：當(dāng)∠P是那個定角時，此類問題要求點P的運動路徑長，則∠P一定為特殊角。下以30°，45°，60°，120°為例，說明動點軌跡圓的確定方法：若∠P=30°，以AB為邊，同側(cè)構(gòu)造等邊三角形AOB，O即為圓心若∠P=45°，以AB為斜邊，同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AOB，O即為圓心若∠P=60°，以AB為底，同側(cè)構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心若∠P=120°，以AB為底，異側(cè)構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心另：若∠P=135°，以AB為斜邊，異側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AOB，O即為圓心若∠P=150°，以AB為邊，異側(cè)構(gòu)造等邊三角形AOB，O即為圓心求最值時常結(jié)合原理——同類型一（略）【類題訓(xùn)練】1．如圖，已知等邊△ABC的邊長為2，D，E分別為BC，AC上的兩個動點，且AE＝CD，連接BE，AD交于點P，則CP的最小值是．2．如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點E在AB上，＝，在矩形內(nèi)找一點P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）A．2﹣2 B． C．4 D．23．如圖，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，過點A作BC的平行線l，P為直線l上一動點，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點，則AE的最小值為（）A． B．7﹣4 C． D．14．如圖，⊙?O的直徑AB＝5，弦AC＝3，點D是劣弧BC上的動點，CE⊥DC交AD于點E，則OE的最小值是（）A． B． C．2﹣ D．﹣15．問題提出（1）如圖①，AC為⊙O的直徑，點P在弧ACB上（不與A、B重合），連接AP、BP，則∠APB∠ACB（填“＞”“＜”或“＝”）．問題探究（2）如圖②，在等邊△ABC中，M、N為邊AB和AC上的兩動點，且BM＝AN，連接BN、CM，BN與CM相交于P，求∠BPC度數(shù)．問題解決（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，M、N分別為邊AD和CD上的兩個動點，且AM：DN＝4：3，連接BM、AN，BM與AN相交于點P，連接CP，求四邊形ABCP面積的最大值．6．如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是（異于A、B）上兩點，C是上一動點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．當(dāng)點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是．7．如圖，AB為⊙O的直徑，且AO＝4，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為半圓上任意一點過P點作PE⊥OC于點E，設(shè)△OPE的內(nèi)心為M，連接OM（1）求∠OMP的度數(shù)；（2）隨著點P在半圓上位置的改變，∠CMO的大小是否改變，說明理由；（3）當(dāng)點P在半圓上從點B運動到點A時，直接寫出內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長．8．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面內(nèi)，已知⊙A的半徑為r，B為⊙A外一點，且AB＝a，P為⊙A上一動點，連接PA，PB，易得PB的最大值為，最小值為；（用含a，r的代數(shù)式表示）（2）應(yīng)用：①如圖2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E為AD邊中點，F(xiàn)為AB邊上一動點，在平面內(nèi)沿EF將△AEF翻折得到△PEF，連接PB，則