第24講相似三角形壓軸題（六大壓軸母題型）（原卷版）-2023年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（北師大版）

第24講相似三角形壓軸題（六大壓軸母題型）一、折疊問題；二、坐標(biāo)問題；三、動(dòng)點(diǎn)問題；四、旋轉(zhuǎn)問題；五、與特殊四邊形有關(guān)的幾何問題；六、綜合判斷題1．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．2．綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

操作判斷(1)操作一：如圖1，將正方形紙片沿對(duì)角線折疊，然后將紙片展開；操作二：依次將邊，折到對(duì)角線AC上，折痕分別為，，使點(diǎn)，分別落在對(duì)角線上的點(diǎn)，處，將紙片展開，連接，．根據(jù)以上操作，易得出結(jié)論：四邊形的形狀是______．遷移探究(2)如圖2，將正方形紙片換成矩形紙片，按照（1）中的方式操作，繼續(xù)探究．①小明認(rèn)為此時(shí)四邊形的形狀仍然符合（1）中的結(jié)論，你認(rèn)為小明的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由；②小亮認(rèn)為可以通過改變矩形與的比值，讓四邊形成為菱形，你認(rèn)為小亮說法正確嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．拓展應(yīng)用(3)在（2）的條件下，若，當(dāng)，分別是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積．3．已知：正方形邊長(zhǎng)為2．點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，以直線為對(duì)稱軸翻折得（如圖）．連接，取中點(diǎn)，連接．

(1)當(dāng)翻折后，若點(diǎn)剛好落在對(duì)角線上，求此時(shí)的長(zhǎng)度．(2)當(dāng)點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度．(3)如果將“點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)”改為“點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，那么當(dāng)?shù)妊切螘r(shí)，求此時(shí)的長(zhǎng)度．4．實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)A'處，得到折痕，然后把紙片展平．第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)處，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，得到折痕，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，再把紙片展平．

問題解決：(1)如圖1，填空：四邊形的形狀是；(2)如圖2，線段與是否相等？若相等，請(qǐng)給出證明；若不等，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，若，求的值．二、坐標(biāo)問題5．已知點(diǎn)，點(diǎn)，且a，b滿足關(guān)系式．(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)C在x軸上，當(dāng)三角形的面積為15時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)D是直線第一象限上的點(diǎn)，連接，當(dāng)三角形的面積為12時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(4)如圖3，平移直線得到直線，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，P是直線第四象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，連接，．當(dāng)三角形的面積為36且時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)交y軸于點(diǎn)B，一次函數(shù)與一次函數(shù)交于點(diǎn)A，將線段沿著方向平移得到線段，連接，點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線軸．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)證明：四邊形是矩形．(3)以點(diǎn)O為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)A，B，C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，直線、直線分別與直線l相交于點(diǎn)P，Q．記旋轉(zhuǎn)角為α．①如圖2，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在直線l上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．②在四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____（請(qǐng)直接寫出答案）．7．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，矩形的邊，分別在軸正半軸和軸正半軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)用含有的代數(shù)式表示的面積；(2)若，用含的代數(shù)式表示點(diǎn)的縱坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，是上一點(diǎn)，連接，過作于，連接，的面積為44，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．三、動(dòng)點(diǎn)問題8．如圖，在中，，，，D是的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P不與A、B重合時(shí)，過點(diǎn)P作的垂線交或于點(diǎn)Q，連接．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)__________；(2)求的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；(3)連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求t的值．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊，分別在軸、軸的正半軸上，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．將線段的中點(diǎn)繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，點(diǎn)隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接，．

(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是；(2)請(qǐng)用含的代數(shù)式表示出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)的過程中，能否成為直角三角形？若能，求的值．若不能，請(qǐng)說明理由．10．如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．連接交于點(diǎn)E．過點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，求證：．(2)當(dāng)時(shí)，求的面積．(3)在P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一位置，使得以點(diǎn)E，F(xiàn)，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．已知：如圖1，在四邊形中，，連接．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D在線段的垂直平分線上？(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)E（如圖2），若四邊形是平行四邊形，求t的值；(3)設(shè)的面積為，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；(4)是否存在某一時(shí)刻t，使得與的夾角為？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．四、旋轉(zhuǎn)問題12．如圖1，在中，是邊上不與重合的一個(gè)定點(diǎn)．于點(diǎn)，交于點(diǎn)．是由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若是的中點(diǎn)，如圖2．求證：．13．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，求的值．14．【問題情境】如圖1，在中，，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，連接．如圖2，將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖2，當(dāng)時(shí)，_________．【方法遷移】如圖3，矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．四邊形為矩形，連接．如圖4，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)角為α，連接．請(qǐng)?zhí)骄烤匦涡D(zhuǎn)過程中，與的數(shù)量關(guān)系；【拓展延伸】如圖5，若將上題中的矩形改為“平行四邊形”且，矩形改為“平行四邊形”，其他條件不變，如圖6，在平行四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出_________．

15．（1）如圖1，正方形和正方形（其中），連接交于點(diǎn)H，請(qǐng)直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系；（2）如圖2，矩形和矩形，，將矩形繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接交于點(diǎn)H，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出理由；若不成立，請(qǐng)寫出線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）矩形和矩形，，將矩形繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．五、與特殊四邊形結(jié)合的幾何問題16．如圖，在正方形中，，M是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)N．

(1)如圖①，求證：①；②；(2)如圖②，連接，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，求和的長(zhǎng)；(3)如圖③，過點(diǎn)N作于H，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的面積．17．如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．

(1)求證：；(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，連接．當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)不與，重合），判斷的形狀，并說明理由．(3)在（2）的條件下，已知，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．18．問題提出(1)如圖①，在中，點(diǎn)在邊上，且，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，則__________；問題探究(2)如圖②，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，若，，求的最大值；問題解決(3)如圖③，在正方形中，點(diǎn)、、、分別在邊、、、上，且，與交于點(diǎn)，且，若，，的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

六、綜合判斷題19．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點(diǎn)，，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作垂足為，連接，有下列四個(gè)結(jié)論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③20．如圖在正方形中，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)且，分別交，于H，G點(diǎn)．下列結(jié)論中：①；②；③；④若，則．正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)21．如圖，在矩形中，，．把沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的處，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，使得恰好經(jīng)過的中點(diǎn)．設(shè)交于點(diǎn)，連接．有如下結(jié)論：①；②的長(zhǎng)度是；③；④．上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)22．如圖，在中，，三角形角平分線、交為O點(diǎn)．現(xiàn)有如下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

)

①A點(diǎn)在所在直線的上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)不變；②A點(diǎn)在所