專題05勾股定理逆定理綜合應(yīng)用

專題05勾股定理逆定理綜合應(yīng)用專題說(shuō)明專題說(shuō)明勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較。解題思路解題思路考點(diǎn)1勾股數(shù)的應(yīng)用①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)②記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）考點(diǎn)2判斷三角形的形狀如果三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則△ABC為銳角三角形）。（定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）；【典例分析】【考點(diǎn)1勾股數(shù)的應(yīng)用】【典例1】下列各數(shù)組中，是勾股數(shù)的是（）A．6，8，10 B．2，2，2 C．1，1， D．0.4，0.3，0.5【答案】A【解答】解：A、62+82＝102，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，是勾股數(shù)，符合題意；B、22+22≠22，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意；C、1，1，不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；D、0.4，0.3，0.5都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：A．【變式11】下列4組數(shù)據(jù)中，是勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，7，8【答案】C【解答】解：A．12+22≠32，因此不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；B．22+32≠42，因此不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；C．32+42＝52，因此是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；D．62+72≠82，因此不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【變式12】下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22【答案】D【解答】解：A．∵92+122＝152，∴是勾股數(shù)，不符合題意；B．∵52+122＝132，∴是勾股數(shù)，不符合題意；C．∵82+152＝172，∴是勾股數(shù)，不符合題意；D．∵122+182≠222，∴不是勾股數(shù)，符合題意；故選：D．【典例2】勾股定理是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的定理之一，熟練的掌握勾股數(shù)，對(duì)迅速判斷、解答題目有很大幫助，觀察下列幾組勾股數(shù)：abc13＝1+24＝2×1×25＝2×2+125＝2+312＝2×2×313＝4×3+137＝3+424＝2×3×425＝6×4+149＝4+540＝2×4×541＝8×5+1…………na＝b＝）c＝（1）你能找出它們的規(guī)律嗎？（填在上面的橫線上）（2）你能發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的關(guān)系嗎？（3）你能用以上結(jié)論解決下題嗎？20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，故答案為：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1；（2）a2+b2＝c2，理由是：∵a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，∴a2+b2＝（2n+1）2+[2n（n+1）]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1∴a2+b2＝c2；（3）當(dāng)2n+1＝2019時(shí)，n＝1009，∴當(dāng)n＝1009時(shí)，a2＝20192，b2＝[2n（n+1）]2＝20202×10092，c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2020×1009+1]2，∵a2+b2＝c2；∴20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2＝0．【變式21】以3，4，5為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組，記為（3，4，5），類似地，還可得到下列勾股數(shù)組：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．（1）根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律，寫(xiě)出第六組勾股數(shù)；（2）用含n（n≥2且n為整數(shù)）的數(shù)學(xué)等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律，并證明．【解答】解：（1）上述四組勾股數(shù)組的規(guī)律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262，即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，所以第六組勾股數(shù)為14，48，50．（2）勾股數(shù)為n2﹣1，2n，n2+1，證明如下：（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2．【變式22】已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡(jiǎn)整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2．求整式B．聯(lián)想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當(dāng)n＞1時(shí)，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長(zhǎng)，如圖，填寫(xiě)下表中B的值；直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ15817勾股數(shù)組Ⅱ351237【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，當(dāng)2n＝8時(shí)，n＝4，∴n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；當(dāng)n2﹣1＝35時(shí)，n＝±6（負(fù)值舍去），∴2n＝2×6＝12，n2+1＝37．直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ15817勾股數(shù)組Ⅱ351237故答案為：15，17；12，37．【考點(diǎn)2判斷三角形的形狀】【典例3】在四邊形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，AD＝4，CD＝4且AC⊥BC于點(diǎn)C．試求：（1）AC的長(zhǎng)；（2）∠BCD的度數(shù)．（3）四邊形ABCD的面積．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴AC的長(zhǎng)為4；（2）∵AC＝4，AD＝4，CD＝4，∴AC2+AD2＝42+42＝32，CD2＝（4）2＝32，∴AC2+AD2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∵AC＝AD＝4，∴∠ACD＝∠D＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°，∴∠BCD的度數(shù)為135°；（3）由題意得：四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ACD的面積＝AC?CB+AD?AC＝×4×3+×4×4＝6+8＝14，∴四邊形ABCD的面積為14．【變式31】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）求證：CD⊥AD；（2）求四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：連接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角，∴CD⊥AD；（2）解：S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AB?BC+AD?CD＝×20×15+×24×7＝234．【變式32】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝24，BC＝15，CD＝20，AD＝7，∠C＝90°．（1）連接BD，求BD的長(zhǎng)；（2）求四邊形ABCD的面積．【解答】解：（1）連接BD，在Rt△BCD中，BC＝15，CD＝20，∠C＝90°，∴BD2＝BC2+CD2＝152+202＝625，∴BD＝25；（2）在△ABD中，AB＝24，AD＝7，∴AB2＝576，AD2＝49，∴AB2+AD2＝576+49＝625．由（1）知，BD2＝625，∴AB2+AD2＝BD2，∴∠BAD＝90°．∴S四邊形ABCD＝S△BDC+S△ABD＝×15×20+×7×24＝234．【典例4】綠都農(nóng)場(chǎng)有一塊菜地如圖所示，現(xiàn)測(cè)得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求這塊菜地的面積．【解答】解：連接AC，∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，∴AC＝＝＝5（m），∴SRt△ADC＝＝3×4＝6（m2），在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，∵AC2+AB2＝52+122＝169，BC2＝132＝169，∴AC2+AB2＝BC2，∴△CAB為直角三角形，∴∠CAB＝90°，∴SRt△CAB＝＝×5×12＝30（m2），∴菜地的面積＝S△CAB﹣S△ADC＝24（m2），∴這塊菜地的面積為24m2．【變式41】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四邊形ABCD的面積．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，在△ACD中，∵AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36．【變式42】如圖，四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．（1）連接AC，求AC的長(zhǎng)．（2）求四邊形ABCD的面積．【解答】解：（1）連接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴；（2），在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴，∴四邊形ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36，答：四邊形ABCD的面積為36．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．若3、4、a為勾股數(shù)，則a的值為（）A． B．5 C．6 D．【答案】B【解答】解：∵3、4、a為勾股數(shù)，∴當(dāng)a最大時(shí)，此時(shí)a＝＝5，是勾股數(shù)，符合題意；當(dāng)4時(shí)最大時(shí)，a＝＝，不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：B．2.（2021春?長(zhǎng)沙縣期末）如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．（1）求四邊形ABCD的邊AB與BC的長(zhǎng)；（2）用勾股定理逆定理的知識(shí)證明：∠ABC＝90°．【答案】（1），，（2）∠ABC＝90°【解答】解：（1），，（2）如圖，連接AC，在Rt△ACG中，AG＝5，CG＝1，∴AC＝，由（1）可得AB2+BC2＝＝26＝AC2，∴△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，∴∠ABC＝90°．3.如圖，D為△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，已知AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，求BC的長(zhǎng)．【解答】解：∵AD2+BD2＝82+62＝64+36＝100，AB2＝102＝100，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，由勾股定理得：CD＝＝＝15，∵BD＝6，∴BC＝BD+CD＝6+15＝21．4.（2021春?海珠區(qū)期末）在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15．（1）求證：△ABD是直角三角形；（2）求DC的長(zhǎng)．【答案】（1）∠ADB＝90°（2）DC＝＝9【解答】（1）證明：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，∴AB2＝AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB＝90°；（2）解：∵∠ADB＝90°，∴△ADC是直角三角形，在Rt△ADC中，DC＝＝9．5.（2021秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四邊形的面積．【答案】234【解答】解：∵AB＝24，BC＝7，∠B＝90°，由勾股定理得AC2＝242+72＝625．又∵CD＝15，AD＝20，∴CD2十AD2＝152+202＝625，∴AC2＝CD2+AD2，∴∠D＝90°，∴四邊形ABCD的面積＝×24×7+×15×20＝234．6．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B，C，D是網(wǎng)格線的交點(diǎn)．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）四邊形ABCD的面積為．【解答】（1）證明：連接AC，由題意得：AD2＝12+22＝5，CD2＝22+42＝20，AC2＝52＝25，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°；（2）解：如圖：由題意得：四邊形ABCD的面積＝△ADC的面積+△ABC的面積＝AC?DF+AC?BE＝×5×2+×5×1＝5+＝，故答案為：．7．如圖，一塊鐵皮（圖中陰影部分），測(cè)得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求陰影部分的面積．【解答】解：如圖，連接AC．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10．∵CD＝24，AD＝26，AC＝10，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S陰影＝S△ACD﹣S△ABC＝×10×24﹣×6×8＝120﹣24＝96．故陰影部分的面積是96．8．如圖，連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．（1）求證：△ACD是直角三角形；（2）求四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，∴AC＝，∵CD＝2，AD＝2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形；（2）解：∵AB＝，BC＝1，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．9．勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期的《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這三個(gè)正整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股數(shù)．把勾股數(shù)同時(shí)乘以相同的正整數(shù)倍得到的也是勾股數(shù)，我們把這種勾股數(shù)稱為“派生勾股數(shù)”．因?yàn)?＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股數(shù)”，如果一組勾股數(shù)斜邊比一條直角邊大3，我們把這種勾股數(shù)稱為“新新勾股數(shù)”．（1）請(qǐng)判斷9，12，16和10，24，26是否為“派生勾股數(shù)”；（2）請(qǐng)求出斜邊小于200的所有“新新勾股數(shù)”．【解答】解：（1）∵9＝3×3，12＝4×3，16÷3≠5，∴9，12，16不是“派生勾股數(shù)”；∵10＝5×2，24＝12×2，26＝13×2，∴10，24，26是“派生勾股數(shù)”；（2）勾股數(shù)3，4，5，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得9，12，15，15﹣12＝3，9，12，15是“新新勾股數(shù)”；勾股數(shù)5，12，13，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得15，36，39，39﹣36＝3，15，36，39是“新新勾股數(shù)”；勾股數(shù)7，24，25，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得21，72，75，75﹣72＝3，21，72，75是“新新勾股數(shù)”；勾股數(shù)9，40，41，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得27，120，123，123﹣120＝3，27，120，123是“新新勾股數(shù)”；勾股數(shù)11，60，61，把勾股數(shù)同時(shí)乘以3可得33，180，183，183﹣180＝3，33，180，183是“新新勾股數(shù)”．綜上所述，斜邊小于200的所有“新新勾股數(shù)”有9，12，15；15，36，39；21，72，75；27，120，123；33，180，183．10．課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，于是王老師提出以下問(wèn)題讓學(xué)生解決．（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù)：11、60、61；（2）若第一個(gè)數(shù)用字母a（a為奇數(shù)，且a≥3）表示，那么