第6講確定二次的函數(shù)的表達(dá)式九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）

第6講確定二次的函數(shù)的表達(dá)式目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.能用待定系數(shù)法列方程組求二次函數(shù)的解析式；2.經(jīng)歷探索由已知條件特點(diǎn)，靈活選擇二次函數(shù)三種形式的過(guò)程，正確求出二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)三種形式是可以互相轉(zhuǎn)化的．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)1.二次函數(shù)解析式常見(jiàn)有以下幾種形式：(1)一般式：(a，b，c為常數(shù)，a≠0)；(2)頂點(diǎn)式：(a，h，k為常數(shù)，a≠0)；(3)交點(diǎn)式：(，為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0)．2.確定二次函數(shù)解析式常用待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟如下第一步，設(shè)：先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根據(jù)題中所給條件，代入二次函數(shù)的解析式中，得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程(組)；第三步，解：解此方程或方程組，求待定系數(shù)；第四步，還原：將求出的待定系數(shù)還原到解析式中．特別說(shuō)明：在設(shè)函數(shù)的解析式時(shí)，一定要根據(jù)題中所給條件選擇合適的形式：①當(dāng)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為；②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大值、最小值時(shí)．可設(shè)函數(shù)的解析式為；③當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為．【知識(shí)拓展1】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,3)，(?3,0)，(2,?5)，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)。(1)試確定此二次函數(shù)的解析式；(2)求出拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)判斷點(diǎn)P(?2,3)是否在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上?如果在，請(qǐng)求出△PAB的面積；如果不在，試說(shuō)明理由。【解析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,3)，(?3,0)，(2,?5)，所以，解得：∴二次函數(shù)的解析式為：y=?x2?2x+3，(2)C(?1,4)，(3)S△PAB=12×4×3=6.【知識(shí)拓展2】已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象頂點(diǎn)為(?2,3)，且過(guò)(?1,5)，則拋物線的表達(dá)式為_(kāi)_____.【答案】y=2x2+8x+11【解析】設(shè)函數(shù)的解析式是：y=a(x+2)2+3，把(?1,5)，代入解析式得到a=2，因而解析式是：y=2(x+2)2+3即y=2x2+8x+11.【知識(shí)拓展3】拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)(3，0)，(1，0)兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為(0，4)，則該拋物線的表達(dá)式為．【答案】【解析】采用待定系數(shù)法，將三點(diǎn)分別代入y＝ax2＋bx＋c中得：，解得所以此拋物線的表達(dá)式為.【知識(shí)拓展4】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…101234…y…830103…（1）求該二次函數(shù)表達(dá)式；（2）求y的最值；【解析】（1）解法一：由于二次函數(shù)表達(dá)式為：y=ax2+bx+c，根據(jù)其表中信息，選取三點(diǎn)坐標(biāo)代入構(gòu)成方程組為：，解得：a=1，b=4，c=3.所以該二次函數(shù)表達(dá)式為：y=x24x+3.解法二：觀察圖表數(shù)據(jù)，可知當(dāng)x=2時(shí)，y取最小值為1，故x=2為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且（2，1）為該拋物線的頂點(diǎn)，因此可根據(jù)頂點(diǎn)式設(shè)拋物線為y=a(x2)21，然后將任意一個(gè)非頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）代入表達(dá)式中求得a=1，求得二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=(x2)21（2）y=x24x+3=(x2)21,故當(dāng)x=2時(shí)，y最小值為1.能力拓展能力拓展類(lèi)型一、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)求二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】y=x2+2x+3【分析】運(yùn)用待定系數(shù)法求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．解：∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0），C（0，3），設(shè)y=a（x+1）（x3），把（0，3）代入得3=3a，∴a=1，∴該二次函數(shù)的解析式是y=x2+2x+3．【點(diǎn)撥】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是將點(diǎn)坐標(biāo)正確代入計(jì)算．【變式1】已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，B(﹣1，0)，求拋物線的解析式．【答案】y＝﹣x2+2x+3【分析】直接利用交點(diǎn)式寫(xiě)出拋物線解析式．解：拋物線的解析式為y＝﹣(x﹣3)(x+1)，即y＝﹣x2+2x+3．【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．【變式2】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三點(diǎn)．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）寫(xiě)出拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y=2x2﹣x﹣3；（2）拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）．【分析】（1）將三點(diǎn)代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程組，解方程組即可得到a，b，c的值，從而得到拋物線的解析式．（2）把解析式化成頂點(diǎn)式，根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：（1）把(1,0)，(0,3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c，得，解得．所以，這個(gè)拋物線的表達(dá)式為y=2x2﹣x﹣3．（2）y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣)2﹣，所以，拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）【點(diǎn)撥】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)，（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)在拋物線上，求的值．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）將，代入，用待定系數(shù)法求解即可；（2）將點(diǎn)代入拋物線表達(dá)式即可求出的值．解：（1）把，代入，得：，解得：，拋物線的解析式為：．（2）把代入，得：，解得：，．的值為或．【點(diǎn)撥】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式以及二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握待定系數(shù)法求解是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二、待定系數(shù)法解題2．一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，1）和B（3，1），最小值為﹣3．（1）求函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）求函數(shù)的解析式．【答案】（1）（1，﹣3）；（2）y＝x2﹣2x﹣2．【分析】（1）利用點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)相同求得頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用最小值為﹣3求得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣h）2+k，把A點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a的值，從而求得函數(shù)解析式．解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，1），B（3，1）的縱坐標(biāo)相同，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，∵二次函數(shù)的最小值為﹣3，∴函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）；（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3），∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，把A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）2﹣3，解得：a＝1，∴函數(shù)的解析式為y＝（x﹣1）2﹣3，即y＝x2﹣2x﹣2．【點(diǎn)撥】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征求出頂點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），拋物線（h為常數(shù)）與y軸的交點(diǎn)為B．（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求它的解析式，并寫(xiě)出此時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，求的最大值，此時(shí)上有兩點(diǎn)，，其中，比較與的大?。敬鸢浮浚?）解析式為：y=﹣（x﹣1）2+2，對(duì)稱(chēng)軸為直線：x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，2）；（2）y1＜y2．【分析】（1）把A（1，2）代入二次函數(shù)的解析式計(jì)算，得到解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線l的對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)坐標(biāo)的特征求出yB，根據(jù)平方的非負(fù)性求出yB的最大值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較y1與y2的大小即可．解：（1）把A（1，2）代入y=﹣（x﹣h）2+2，得：﹣（1﹣h）2+2=2，解得：h=1，∴解析式為：y=﹣（x﹣1）2+2，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線：x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，2）；（2）∵拋物線l與y軸的交點(diǎn)為B，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為0，則yB=﹣h2+2，∴當(dāng)h=0時(shí)，yB有最大值為2，此時(shí)，拋物線為：y=﹣x2+2，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，當(dāng)x≥0時(shí)，y隨著x的增大而減小，∴x1＞x2≥0時(shí)，y1＜y2．【點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)的最值的確定、待定系數(shù)法的應(yīng)用，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式、熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知直線x＝1是拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸．（1）若拋物線頂點(diǎn)在x軸上，且過(guò)（0，1），求拋物線的解析式；（2）若拋物線不過(guò)第一象限，求的取值范圍；（3）若拋物線過(guò)點(diǎn)（1，1），當(dāng)﹣1≤x≤0時(shí)，拋物線上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為4，求a的值．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）≥1；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意得出b＝2a，c＝1，把b＝2a，c＝﹣1代入a+b+c＝0，即可求得a＝1，b＝﹣2；（2）根據(jù)題意拋物線開(kāi)口向下，交于y軸的負(fù)半軸，即可得出a＜0，c＜0，c﹣a≤0，即可求得≥1；（3）拋物線上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為4，即該點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），即可求解．解：（1）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1．∴，∴b＝﹣2a，∵拋物線頂點(diǎn)在x軸上，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴a+b+c＝0，∵拋物線過(guò)（0，1），∴c＝1，解得：a＝1，b＝﹣2，∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x+1；（2）∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，∵拋物線不過(guò)第一象限，∴a＜0，c≤0，c﹣a≤0，∴；（3）∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，拋物線過(guò)點(diǎn)（1，1），∴該點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，則函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）2+1，∵當(dāng)﹣1≤x≤0時(shí)，拋物線上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為4，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到x軸的距離最大，∴拋物線過(guò)（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），∴4＝a（﹣1﹣1）2+1或﹣4＝a（﹣1﹣1）2+1，解得：a＝，或a＝．故a的值為或．【點(diǎn)撥】本題考查的待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)，代表的意義及函數(shù)特征等。．【變式3】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．求拋物線的函數(shù)解析式；拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，試問(wèn)在該拋物線上是否存在點(diǎn)．使與全全等﹖若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）將A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可得拋物線的解析式；（2）在x軸上方的P不存在，點(diǎn)P只可能在x軸的下方，按照題意，分別求解即可．解：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得：，故拋物線的解析式為；（2）∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴，則在軸上方的不存在，點(diǎn)只可能在軸的下方，如圖，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，要使與全等則點(diǎn)于點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，，∴點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，點(diǎn)也滿足與全等，即點(diǎn)，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到函數(shù)表達(dá)式的求解、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性、三角形全等，利用數(shù)形結(jié)合思想解答問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值4，且過(guò)(1，2)點(diǎn)，此拋物線的表達(dá)式為.【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y有最大值4，所以此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4），即可采用頂點(diǎn)式來(lái)求此拋物線的表達(dá)式，設(shè)此拋物線的表達(dá)式為，因?yàn)樗^(guò)(1，2)點(diǎn)，所以，解得a=2，則所求拋物線的表達(dá)式，即.2.有一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減??；且當(dāng)x=1時(shí)，y=3，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），請(qǐng)用頂點(diǎn)式求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.【解析】由題意根據(jù)拋物線的增減性可知其對(duì)稱(chēng)軸為x=1，而當(dāng)x=1時(shí)，y=3，故可知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）,設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+1)2+3，又∵拋物線過(guò)點(diǎn)（2,0），將其代入表達(dá)式中得：0=9a+3，即a=.∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=(x+1)2+3=x2x+.3.有一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小；且當(dāng)x=1時(shí)，y=3，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），請(qǐng)用交點(diǎn)式求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.【解析】根據(jù)二次函數(shù)的增減性可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，而拋物線過(guò)點(diǎn)（2,0），根據(jù)其圖象對(duì)稱(chēng)性，可知拋物線過(guò)點(diǎn)（4,0），故可根據(jù)交點(diǎn)式設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x2)(x+4).又∵拋物線過(guò)（1,3），∴3=a(12)(1+4).解得：a=.∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=(x2)(x+4)=x2x+.4.拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)(0，0)，(12，0)，(6，3)三點(diǎn)，則此拋物線的表達(dá)式是.【答案】.【解析】采用一般式代入計(jì)算即可求出。5.已知函數(shù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，且過(guò)點(diǎn)(1，6)，求此拋物線的解析式?！敬鸢浮俊窘馕觥坎捎庙旤c(diǎn)式，代入計(jì)算即可。6.如圖1，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，4)，拋物線與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E(0，3)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)F(0，－3)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)G，使得EG＋FG最小，如果存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘馕觥浚?）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－1)2＋4，把點(diǎn)E(0，3)代入得：a(0－1)2＋4＝3，解得，a＝－1，∴y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3；（2）存在．點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線x＝1對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E′(2，3)，設(shè)過(guò)E′F的直線表達(dá)式為y＝mx＋n，把E′、F兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得，所以直線E′F的表達(dá)式為y＝3x－3，把x＝1代入得，y＝0，因此點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，0)；題組B能力提升練1.由表格中的信息可知，若設(shè)y＝ax2＋bx＋c,則下列y與x之間的函數(shù)表達(dá)式正確的（）x－101ax21ax2＋bx＋c46A.y＝x2－x＋4B.y＝x2－x＋6C.y＝x2＋x＋4D.y＝x2＋x＋6【答案】C【解析】當(dāng)x=－1時(shí)，(－1)2a=1,解得a=1；當(dāng)x=0時(shí)，c=4；當(dāng)x=1時(shí)，a+b+c=6,把a(bǔ)=1，c=4代入解得b=1；∴所求表達(dá)式為y＝x2＋x＋4.2.拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（1，0），（3，0），其形狀與拋物線y=2x2相同，則y=ax2+bx+c的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)______________.【答案】y=2x2+4x+6【解析】根據(jù)題意a=2，所以設(shè)所求拋物線表達(dá)式為y=2（xx1）（xx2），∴所求表達(dá)式為y=2（x+1）（x3），化為一般式為：y=2x2+4x+6．3.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（1，2），該圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，則AC長(zhǎng)為_(kāi)______.【答案】3【解析】∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（1，2），∴1?b+c＝0，1+b+c＝?2，解得b＝?1，c＝?2，∴拋物線的表達(dá)式為y=x2x2，對(duì)稱(chēng)軸為x=由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得C（2，0），∴AC=2（1）=3．4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,1)，如圖，直線y=eq\f(1,4)x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=–1.求拋物線的解析式；在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮恳?jiàn)解析【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)（4，1）代入，得：，∴；（2）聯(lián)立，解得：，，∴A（1，），B（4，1）.如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y=–1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，易得A′的坐標(biāo)為（1，），連接A′B，交l于點(diǎn)P，則P是所求的點(diǎn)。設(shè)A′B的解析式為：，其經(jīng)過(guò)A′（1，）和B（4，1）點(diǎn)，∴，解得：，∴，當(dāng)y=–1時(shí)，，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）。5.已知二次函數(shù)＝的圖象經(jīng)過(guò)A（0，3），B（－4，）兩點(diǎn)．（1）求，的值；（2）二次函數(shù)＝的圖象與軸是否存在公共點(diǎn)？若有求公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）∵二次函數(shù)＝的圖象經(jīng)過(guò)A（0，3），B（－4，）兩點(diǎn)，∴解得＝，＝3．（2）由（1）知，＝，＝3．∴該二次函數(shù)為＝．在＝中，當(dāng)＝0時(shí)，0＝，解得＝－2，＝8．∴二次函數(shù)＝的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，分別為（－2，0），（8，0）．6.如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，6)的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于B(2，0)，C兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y1，若新拋物線y1的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；【解析】（1）將A（0，6），B（2，0）代入y=x2+bx+c，得，解得，所以y=x22x6，所以y=(x2)28，所以D（2，8）．（2）根據(jù)題意可得：y1=(x2+1)28+m，∴P（1，8+m）.∵在拋物線中易得．∴直線為，當(dāng)時(shí)，，∴，解得．題組C培優(yōu)拔尖練1.拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B（5,0）.（1）求這個(gè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）記拋物線的頂點(diǎn)為C,設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，求使S=3S時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B（5,0），所以，解得，所以這個(gè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為.(2)將配方得：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），即C（3，2），則S==；所以S=，又因?yàn)镾=，所以，即=6或=6（舍去，因?yàn)榇撕瘮?shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），又因?yàn)殚_(kāi)口向下，所以函數(shù)的最小值是2，故舍去），，解得x=,故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，6）或（，6）.2.如圖所示，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），N（1，6）（1）求二次函數(shù)y=x2+bx+c的表達(dá)式；（2）把Rt△ABC放在坐標(biāo)系內(nèi)，其中∠CAB=90°點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）,（4，0）BC=5,將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，求△ABC平移的距離.【解析】（1）將M（1，2），N（1，6）代入y=x2+bx+c中得故b=4，c=1.所以此二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x24x+1.(2)在Rt△ABC中，因?yàn)锽C=5，AC=3，所以AC=4,當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí),求此時(shí)C的坐標(biāo)，也就是當(dāng)縱坐標(biāo)等于4,時(shí)，求其在軸正半軸上的橫坐標(biāo)，4=x24x+1,解得：x=所以△ABC平移的距離為：2+1=1+。3.如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為M（2，4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A（6，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求△ABC的面積。【解析】（1）設(shè)此函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x+h）2+k，

∵函數(shù)圖象頂點(diǎn)為M（2，4），

∴y=a（x+2）24，

又∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0），

∴0=a（6+2）24

解得a=，

∴此函數(shù)的表達(dá)式為y=（x+2）24，即y=x2+x3；

（2）∵點(diǎn)C是函數(shù)y=x2+x3的圖象與y軸的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），

根據(jù)點(diǎn)A（6，0）和對(duì)稱(chēng)軸為x=2，由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），

則S△ABC=|AB|?|OC|=×8×3=12；4.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸相交于A（－1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，－3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．①求線段PM的最大值；②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x＋1）（x－3），把點(diǎn)C（0，－3）代入，得：－3＝a（0＋1）（0－3），解得a＝1∴二次函數(shù)解析式為y＝（x＋1）（x－3）＝x2－2x－3．（2）①設(shè)BC所在直線的表達(dá)式為y＝kx＋b，將B（3，0），C（0，－3）代入，得EQ\B\lc\{(\a\al(0＝3k＋b,－3＝b))，解得EQ\B\lc\{(\a\al(k＝1,b＝－3))∴直線BC的表達(dá)式為y＝x－3，再設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m2－2m－3），由于PH⊥x軸于點(diǎn)H，∴M的坐標(biāo)為（m，m－3）∴PM＝（m－3）－（m2－2m－3）＝－m2＋3m∵－1＜0，∴PM有最大值，當(dāng)m＝EQ\F(3,2)時(shí)，PM最大＝EQ\F(0－3\S(2),4×(－1))＝EQ\F(9,4)②設(shè)P點(diǎn)