專題14全等三角形（5大考點(diǎn)）（原卷版）

第四部分三角形專題14全等三角形（5大考點(diǎn)）核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)一全等三角形的判定核心考點(diǎn)二全等三角形的性質(zhì)核心考點(diǎn)三全等三角形中的倍長(zhǎng)中線模型核心考點(diǎn)四全等三角形中的旋轉(zhuǎn)模型核心考點(diǎn)五全等三角形綜合問題新題速遞核心考點(diǎn)一全等三角形的判定例1（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18例2（2022·山西·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長(zhǎng)線上，且，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若，，則線段AN的長(zhǎng)為_________例3（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．知識(shí)點(diǎn)、全等三角形的判定一、全等三角形判定1——“邊邊邊”定理1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.二、全等三角形判定2——“邊角邊”定理2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：1.這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.三、全等三角形判定3——“角邊角”定理3：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.四、全等三角形判定4——“角角邊”定理4：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.要點(diǎn)三、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.3.三角形證全等思路五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理5：在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“HL”）.要點(diǎn)詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.【變式1】（2022·四川綿陽·東辰國(guó)際學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，AE平分∠BAC，且于點(diǎn)E，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．【變式2】（2022·重慶長(zhǎng)壽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝3DB，點(diǎn)E是邊OA上一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A'恰好落在邊OC上，則OE的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式3】（2022·河南鄭州·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知中，，以斜邊為邊向外作正方形，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接．已知，則________．【變式4】（2021·四川眉山·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CE＝2DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF，下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②G為BC的中點(diǎn)；③CF∥AG；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______．【變式5】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖①，在中，，是的中點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到，使得，連接．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖②，探索當(dāng)與滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，，并說明理由．核心考點(diǎn)二全等三角形的性質(zhì)例1（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將以點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③例2（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)為_____時(shí)，與全等．例3（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）在四邊形中，是邊上的一點(diǎn)．若，則點(diǎn)叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．(1)正方形_______“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形中，邊上的點(diǎn)是四邊形的“等形點(diǎn)”．已知，，，連接，求的長(zhǎng)；(3)在四邊形中，EH//FG．若邊上的點(diǎn)是四邊形的“等形點(diǎn)”，求的值．知識(shí)點(diǎn)、全等三角形的性質(zhì)①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.全等變換：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等?！咀兪?】（2022·重慶·校聯(lián)考一模）如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使B與C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，設(shè)△ABC的面積為S，△CEF的面積為S1，△ADF的面積為S2，則的值為（）A． B． C． D．【變式2】（2021·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【變式3】（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，AB=5，AC=4，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB、AC于D和E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于二分之一DE為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，GH⊥AC于H，GH=2，則△ABG的面積為________．【變式4】（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三條對(duì)應(yīng)邊BC、CE、EF在同一條直線上，連接BH，分別交AC、DC、DE于點(diǎn)P、Q、K，其中S△PQC＝1，則圖中三個(gè)陰影部分的面積和為___________．【變式5】（2022·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)A，，依次在同一直線上．(1)求證：；(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．核心考點(diǎn)三全等三角形中的倍長(zhǎng)中線模型例1（2021·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）．A．2 B． C． D．3例2（2021·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為______．例3（2021·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D．我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是________．（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；②若，請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系．延長(zhǎng)三角形的中線，使得延長(zhǎng)后的線段是原中線的兩倍，這樣做的目的是構(gòu)造一對(duì)對(duì)頂角，相等的全等三角形能夠把已知的邊或角轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形當(dāng)中進(jìn)行求解相關(guān)的邊或角相等。也就是說倍長(zhǎng)中線的模型是當(dāng)題目當(dāng)中出現(xiàn)中線或中點(diǎn)時(shí)，可嘗試?yán)帽堕L(zhǎng)中線法來構(gòu)造全等三角形，證明線段間的數(shù)量關(guān)系。該類型經(jīng)常會(huì)與中位線定理一起進(jìn)行綜合使用，所以在做遇到中線的題型時(shí)，我們考慮的方向主要有被長(zhǎng)中線定理以及三角形的中位線定理，看在實(shí)際的運(yùn)用當(dāng)中符合哪種類型再做選擇?！咀兪?】（2022·浙江·九年級(jí)自主招生）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B． C．5 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【變式2】（2021秋·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，AD為中線，，，，則AC長(zhǎng)（

）A．2.5 B．2 C．1 D．1.5【變式3】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，BE=AC．若∠C=70°，∠DAC=50°，則∠EBD的度數(shù)為__________________．【變式4】（2022·湖北荊州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，．若，，則的長(zhǎng)為________．【變式5】（2023秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一個(gè)問題：已知，如圖1，中，若，，點(diǎn)D為邊中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．經(jīng)過小組合作交流，找到了解決方法：“倍長(zhǎng)中線法”．(1)請(qǐng)按照上面的思維框圖，完成證明．【探究應(yīng)用】(2)已知：如圖2，中，是邊上的中線，E在邊上，連接交于F，且．求證：；【拓展延伸】(3)如圖3，若，，，是邊上的中線，E是上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，且，求的長(zhǎng)．核心考點(diǎn)四全等三角形中的旋轉(zhuǎn)模型例1（四川遂寧·中考真題）已知如圖，在正方形ABCD中，AD=4，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的一點(diǎn)，且∠EAF=45°，EC=1，將△ADE繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后與△ABG重合，連接EF，過點(diǎn)B作BM∥AG，交AF于點(diǎn)M，則以下結(jié)論：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MEF=中正確的是A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④例2（2021·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，、都是等腰直角三角形，，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，則______．例3（2021·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題．如圖，已知中，AB=AC=m，BC=n，，點(diǎn)P為平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a，得線段PD，E、F分別是CB、CD的中點(diǎn)，設(shè)直線AP與直線EF相交所成的較小角為β，探究的值和的度數(shù)與m、n、α的關(guān)系，請(qǐng)你參與學(xué)習(xí)小組的探究過程，并完成以下任務(wù)：（1）填空：【問題發(fā)現(xiàn)】小明研究了時(shí)，如圖1，求出了___________，___________；小紅研究了時(shí)，如圖2，求出了___________，___________；【類比探究】他們又共同研究了α=120°時(shí)，如圖3，也求出了；【歸納總結(jié)】最后他們終于共同探究得出規(guī)律：__________(用含m、n的式子表示)；___________(用含α的式子表示)．（2）求出時(shí)的值和的度數(shù)．模型不共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型【模型特征】此模型是通過將三角形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°后，再進(jìn)行平移而得到，注意運(yùn)用線段的和差找出相等線段.共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型(手拉手模型)【模型特征】此模型可看成是將兩個(gè)三角形（或正方形等圖形）繞著某一個(gè)公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度所構(gòu)成的.在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)三角形無重疊或有重疊，運(yùn)用角的和差得到等角.【變式1】（2022·山東日照·?？级＃┤鐖D，O是正內(nèi)一點(diǎn)，，，．將線段以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)O與的距離為4 B．C．S四邊形AOBO′ D．【變式2】（2021·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，使得點(diǎn)恰好落在上，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．5 C． D．【變式3】（2022·湖北黃岡·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，3），把線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段PQ，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是__________．【變式4】（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在直線CB上，將MD繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MN，連接AN，則AN+MN的最小值為_____．【變式5】（·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）如圖1，在等腰Rt中，，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，連接，點(diǎn)M、P、N分別為、、的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，求面積的最大值．核心考點(diǎn)五全等三角形的綜合問題例1（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AC上，，，則AF的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．例2（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．例3（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形是正方形，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若，連接，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（除外），使寫出的每個(gè)三角形都與全等，隨著素質(zhì)教育不斷深入，新課程標(biāo)準(zhǔn)的全面實(shí)施，關(guān)于三角形全等問題的中考題，已不在是課本上的封閉的單一的證明題型一統(tǒng)天下了，出現(xiàn)了許多新題型，這類題更能考查同學(xué)們的靈活運(yùn)用知識(shí)的能力和創(chuàng)新精神及實(shí)踐能力；全等三角形的綜合問題主要靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法，熟練掌握全等三角形的輔助線添加方法：倍長(zhǎng)中線模型、旋轉(zhuǎn)模型、垂線模型等，再結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用，尤其是近幾年?？嫉念惐忍骄款}型，要循序漸進(jìn)、由簡(jiǎn)入難，不斷深入探究才能解決問題.【變式1】（2023·重慶·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別為邊、上的點(diǎn)，點(diǎn)分別為邊、上的點(diǎn)，線段與的夾角為則（）A． B． C． D．【變式2】（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方形紙片中，點(diǎn)為正方形邊上的一點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，折痕為，連接、，交于點(diǎn)下列結(jié)論：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式3】（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)校考三模）在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，四邊形的面積為40．則______．【變式4】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中,點(diǎn)G為邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)H為邊上的動(dòng)點(diǎn),且滿足,連接,分別交正方形的對(duì)角線于F，E兩點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的有___________．（填序號(hào)即可）．①

②

③

④【變式5】（2023·山東泰安·校考模擬預(yù)測(cè)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)A在直線上，且，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應(yīng)用：(1)如圖2，中，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，過A作于點(diǎn)D，過B作于點(diǎn)E．求證：．(2)如圖3，在中，D是上一點(diǎn)，，求點(diǎn)C到邊的距離．(3)如圖4，在中，E為邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的一點(diǎn)．若，求的值．【新題速遞】1．（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在中，用尺規(guī)作圖，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N．作直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．則下列結(jié)論不一定正確的是（）A． B． C． D．2．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線上有三個(gè)正方形，，，若，的邊長(zhǎng)分別為和，則正方形的面積為（

）A． B． C． D．無法確定3．（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，平分交AC于D，是的垂直平分線，若，則等于（）A． B． C． D．4．（2022·四川綿陽·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是的中線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，則的取值不可能是（

）A． B． C． D．5．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，若，，則線段的長(zhǎng)度為（

）A．2 B． C． D．6．（2022·新疆烏魯木齊·?？既＃┤鐖D，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，，，當(dāng)最小時(shí)，的面積是（）A．2 B．1 C．6 D．77．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線，在射線上任取一點(diǎn)D，連接．若，則的長(zhǎng)為（）A．10 B．11 C．12 D．68．（2022·廣東揭陽·校考二模）如圖，已知點(diǎn)，，是軸上位于點(diǎn)上方的一點(diǎn)，平分，平分，直線交于點(diǎn)．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．9．（2023·湖南衡陽·?？家荒＃┤鐖D所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板上（其中），于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，若，則_______度．10．（2022·山東菏澤·菏澤一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，直線l過直角頂點(diǎn)A，分別過點(diǎn)B、C向直線l作垂線，垂足分別為E、F，，，則______．11．（2020·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABE中，AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C，∠E＝30°，且AB＝CE，則∠BAE的度數(shù)為_____．12．（2022·貴州銅仁·模