2025屆浙江省金華市東陽中學高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

2025屆浙江省金華市東陽中學高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為（）A.1 B.2C. D.2．已知數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.3．已知兩個向量，，且，則的值為（）A.1 B.2C.4 D.84．如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F(xiàn)分別為SA，BC的中點，點G在EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.5．若，，，則a，b，c與1的大小關系是（）A. B.C. D.6．在空間直角坐標系中，，，平面的一個法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）A. B.C. D.7．不等式表示的平面區(qū)域是一個（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形8．“”是“圓與軸相切”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．如圖是一個程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.510．如圖是拋物線形拱橋，當水面在n時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.11．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，點E是棱PC的中點，作，交PB于F.下面結論正確的個數(shù)為()①∥平面EDB；②平面EFD；③直線DE與PA所成角為60°；④點B到平面PAC的距離為.A.1 B.2C.3 D.412．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為M，設，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則___________14．點為雙曲線上一點，為焦點，如果則雙曲線的離心率為___________.15．拋物線的焦點坐標為_____.16．已知三個數(shù)2，，6成等比數(shù)列，則實數(shù)______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.18．（12分）如圖，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點，且（1）求證：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值19．（12分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值20．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式與前項和；（2）求的值.21．（12分）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦葵等植物．為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數(shù)量．現(xiàn)研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度的關系，收集到7組溫度和產(chǎn)卵數(shù)的觀測數(shù)據(jù)于表Ⅰ中．根據(jù)繪制的散點圖決定從回歸模型①與回歸模型②中選擇一個來進行擬合表Ⅰ溫度x/℃20222527293135產(chǎn)卵數(shù)y/個711212465114325（1）請借助表Ⅱ中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型①的方程：表Ⅱ（注：表中）18956725.271627810611.06304041.86825.09（2）類似的，可以得到回歸模型②的方程為，試求兩種模型下溫度為時的殘差；（3）若求得回歸模型①的相關指數(shù)，回歸模型②的相關指數(shù)，請結合（2）說明哪個模型的擬合效果更好參考數(shù)據(jù)：.附：回歸方程中，相關指數(shù).22．（10分）如圖所示，在四棱錐中，BC//平面PAD，，E是PD的中點（1）求證：CE//平面PAB；（2）若M是線段CE上一動點，則線段AD上是否存在點，使MN//平面PAB？說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結合圓外一點到圓上點的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點到圓上點的最小距離為.故選：C.2、A【解析】根據(jù)數(shù)列的周期性即可求解.【詳解】由得,顯然該數(shù)列中的數(shù)從開始循環(huán),數(shù)列的周期是，所以.故選：A.3、C【解析】由，可知，使，利用向量的數(shù)乘運算及向量相等即可得解.【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【點睛】思路點睛：在解決有關平行的問題時，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知，引入?yún)?shù)，使，轉化為方程組求解；本題也可以利用坐標成比例求解，即由，得，求出m，n.4、B【解析】利用空間向量基本定理結合已知條件求解【詳解】因為，所以，因為E，F(xiàn)分別為SA，BC的中點，所以,故選：B5、C【解析】根據(jù)條件構造函數(shù)，并求其導數(shù)，判斷該函數(shù)的單調性，據(jù)此作出該函數(shù)的大致圖象，由圖象可判斷a，b，c與1的大小關系.【詳解】令，則當時，，當時，即函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增,而，由可知，故作出函數(shù)大致圖象如圖：由圖象易知，，故選：C.6、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計算作答.【詳解】設平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為.故選：A7、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個梯形.故選：D.8、A【解析】根據(jù)充分不必要條件的定義和圓心到軸的距離求出可得答案.【詳解】時，圓的圓心坐標為，半徑為2，此時圓與軸相切；當圓與軸相切時，因為圓的半徑為2，所以圓心到軸的距離為，所以，“”是“圓與軸相切”的充分不必要條件故選：A9、B【解析】程序框圖中的循環(huán)結構，一般需重復計算，根據(jù)判斷框中的條件，確定何時終止循環(huán)，輸出結果.【詳解】初始值：，當時，，進入循環(huán)；當時，，進入循環(huán)；當時，，終止循環(huán)，輸出的值為3.故選：B10、D【解析】由題建立平面直角坐標系，設拋物線方程為，結合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系：設拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.11、D【解析】①由題意連接交于，連接，則是中位線，證出，由線面平行的判定定理知∥平面；②由底面，得，再由證出平面，即得，再由是正方形證出平面，則有，再由條件證出平面；③根據(jù)邊長證明△DEO是等邊三角形即可；④根據(jù)等體積法即可求.【詳解】①如圖所示，連接交于點，連接底面是正方形，點是的中點在中，是中位線，而平面且平面，∥平面；故①正確；②如圖所示，底面，且平面，，，是等腰直角三角形，又是斜邊的中線，(*)，由底面，得，底面是正方形，，又，平面，又平面，(**)，由(*)和(**)知平面，而平面，又，且，平面；故②正確；③如圖所示，連接AC交BD與O，連接OE，由OE是三角形PAC中位線知OE∥PA，故∠DEO為異面直線PA和DE所成角或其補角，由②可知DE＝，OD＝，OE＝，∴△DEO是等邊三角形，∴∠DEO＝60°，故③正確；④如圖所示，設B到平面PAC的距離為d，由題可知PA＝AC＝PC＝，故，由.故④正確.故正確的有：①②③④，正確的個數(shù)為4.故選：D.12、B【解析】根據(jù)向量加法和減法法則即可用、、表示出.【詳解】故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出函數(shù)的導函數(shù)，再求出，即可得出答案.【詳解】解：由，得，則，所以，所以，所以.故答案為：.14、【解析】利用雙曲線的定義、離心率的計算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據(jù)雙曲線的定義可得：，.故答案為：15、【解析】根據(jù)拋物線方程求得p，則根據(jù)拋物線性質可求得拋物線的焦點坐標．解：拋物線方程中p=2，∴拋物線焦點坐標為（-1，0）故填寫考點：拋物線的簡單性質點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．屬基礎題16、【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因為三個數(shù)2，，6成等比數(shù)列，所以，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）將條件化為基本量并解出，進而求得答案；（2）通過裂項法即可求出答案.【小問1詳解】由，.得：解得：故.【小問2詳解】當時，.所以時，.18、（1）證明見解析（2）【解析】建立空間直角坐標系，計算出相關點的坐標，進而計算出相關向量的坐標；（1）計算向量的數(shù)量積，，根據(jù)數(shù)量積結果為零，證明線線垂直，進而證明線面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：因為平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因為，則以A為坐標原點，分別以AB、AD、AP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，則，，所以，，又，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC；【小問2詳解】解：由（1）可知平面PAC，可作為平面PAC的法向量，設平面PCD的法向量，因為，所以，即，不妨設，得，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）利用直線的方向向量，平面的法向量，計算線面角的正弦值.【詳解】（1）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則.，，所以,由于，所以平面.（2），，設平面的法向量為，則，令，則，所以.設直線與平面所成角為，則.20、（1），；（2）.【解析】(1)設出等差數(shù)列的公差，借助前項和公式列式計算作答.(2)由(1)的結論借助裂項相消去求解作答.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數(shù)列的通項公式為，前項和.【小問2詳解】由(1)知，，所以.21、（1）（或）（2）模型①：1.54；模型②：65.54（3）模型①【解析】（1）利用兩邊取自然對數(shù)，利用表中的數(shù)據(jù)即可求解；（2）分別計算模型①、②在時殘差；（3）根據(jù)相關指數(shù)的大小判斷摸型①、②的殘差平方和，再得出那個模型的擬合效果更好.【小問1詳解】由，得，令，得，由表Ⅱ數(shù)據(jù)可得，，，所以，所以回歸方程為（或）.【小問2詳解】由題意可知，模型①在時殘差為，模型②在時殘差為.【小問3詳解】因為，即模型①的相關指數(shù)大于模型②的相關指數(shù)，由相關指數(shù)公式知，模型①的殘差平方和小于模型②的殘差平方和，因此模型①得到的數(shù)據(jù)更接近真實數(shù)據(jù)，所以模型①的擬合效果更好.22、（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）為中點，連接，由中位線、線面平行的性質可得四邊形為平行四邊形，再