2025屆高考數(shù)學(xué)二輪考前復(fù)習(xí)第一篇解透必考小題穩(wěn)拿分必須突破的17個(gè)熱點(diǎn)專題專題14直線與圓拋物線學(xué)案文含解析

PAGE專題14直線與圓、拋物線1.推斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系:d<r?相交;d=r?相切;d>r?相離.(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線l與圓C的方程,消去y(或x),得一元二次方程,計(jì)算判別式Δ=b2-4ac,Δ>0?相交;Δ=0?相切;Δ<0?相離.2.計(jì)算直線被圓截得弦長(zhǎng)的常用方法(1)幾何法:運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離),弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算.(2)代數(shù)法:弦長(zhǎng)公式AB=QUOTE=3.拋物線的焦點(diǎn)弦通過(guò)拋物線y2=2pxQUOTE的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于AQUOTE,BQUOTE,則:(1)y1y2=-p2,x1x2=QUOTE;(2)若直線AB的傾斜角為θ,則AB=QUOTE=x1+x2+p.1.對(duì)稱問(wèn)題一般是將線與線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱,點(diǎn)與線的對(duì)稱.2.拋物線的定義中指明白拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)性,故二者可相互轉(zhuǎn)化.3.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式,必要時(shí)要進(jìn)行分類探討,標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2=mx或x2=myQUOTE.1.點(diǎn)到直線的距離應(yīng)當(dāng)將直線的方程化為一般式Ax+By+C=0.【案例】T1首先應(yīng)當(dāng)將直線y=k(x-2)化為kx-y-2k=0,然后用點(diǎn)到直線的距離求解.2.求過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線時(shí),簡(jiǎn)單忽視斜率不存在的狀況.【案例】T4首先探討斜率不存在的狀況,若所求切線的斜率不存在,則切線方程為x=0,符合題意;當(dāng)斜率存在的時(shí)候,設(shè)所求切線的方程為y=kx-1,用點(diǎn)到直線的距離公式求解.考向一【典例】(2024·全國(guó)Ⅰ卷)已知圓x2+y2-6x=0,過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為 ()A.1 B.2 C.3 D.4考向二【典例】(2024·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點(diǎn),若OD⊥OE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.(1,0) D.(2,0)1.若直線y=k(x-2)與圓x2+y2=1相切,則k=()A.1 B.±QUOTE C.±QUOTE D.±QUOTE2.已知圓心在y軸上的圓C與直線x=3切于點(diǎn)MQUOTE.若直線3x+4y+m=0與圓C相切,則m的值為 ()A.9 B.7C.-21或9 D.-23或73.若過(guò)直線3x-4y+2=0上一點(diǎn)M向圓Γ:(x-2)2+(y+3)2=4作一條切線于切點(diǎn)T,則QUOTE的最小值為 ()A.QUOTE B.4 C.2QUOTE D.2QUOTE4.過(guò)點(diǎn)PQUOTE且和圓C:x2+y2-2x+4y+4=0相切的直線方程為 ()A.y+1=0或x=0 B.x+1=0或y=0C.y=1或x=0 D.x-1=0或y=05.若直線ax-4by-4=0(a>0,b>0)被圓x2+y2-4x+2y-4=0截得的弦長(zhǎng)為6,則QUOTE的最小值為 ()A.3+QUOTE B.3+2QUOTEC.5 D.76.直線y=kx+3與圓QUOTE+QUOTE=4相交于M,N兩點(diǎn),若QUOTE≥2QUOTE,則k的取值范圍是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE7.如圖,過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,設(shè)直線AB的傾斜角為θ,若θ∈QUOTE,則QUOTE的取值范圍為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE8.已知矩形AFKN的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為AQUOTE,FQUOTE,KQUOTE,NQUOTE,拋物線C的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線是直線KN,過(guò)點(diǎn)N作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)為P,Q,則P,Q兩點(diǎn)間的距離為 ()A.4 B.8 C.16 D.329.已知直線l與拋物線x2=4y交于A,B兩點(diǎn),·=0(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若=+,則直線OP的斜率的取值范圍是 ()A.QUOTE∪QUOTEB.QUOTE∪QUOTEC.QUOTE∪QUOTED.QUOTE∪QUOTE專題14直線與圓、拋物線///真題再研析·提升審題力///考向一B圓x2+y2-6x=0化為(x-3)2+y2=9,設(shè)圓心為C,所以圓心C的坐標(biāo)為C(3,0),半徑為3,設(shè)P(1,2),易知點(diǎn)P在圓內(nèi)部,當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線和直線CP垂直時(shí),圓心到過(guò)點(diǎn)P的直線的距離最大,所求的弦長(zhǎng)最短,依據(jù)弦長(zhǎng)公式最小值為2QUOTE=2QUOTE=2.考向二B將x=2代入y2=2px(p>0)得y=±2QUOTE,由OD⊥OE得kOD·kOE=-1,即QUOTE·QUOTE=-1,得p=1,所以拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE.///高考演兵場(chǎng)·檢驗(yàn)考試力///1.D直線y=k(x-2)即kx-y-2k=0,由題意可得,圓x2+y2=1的圓心O(0,0)到kx-y-2k=0的距離等于半徑1,即QUOTE=1,解得k=±QUOTE.2.D圓心在y軸上的圓C與直線x=3切于點(diǎn)MQUOTE.可得圓C的半徑為3,圓心為QUOTE.因?yàn)橹本€3x+4y+m=0與圓C相切,所以由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式可得QUOTE=3,解得m=-23或7.3.D圓Γ:(x-2)2+(y+3)2=4的圓心坐標(biāo)為QUOTE,半徑為2,要求QUOTE的最小值,則圓心到直線3x-4y+2=0的距離最小,為QUOTE=4,所以QUOTE的最小值為QUOTE=2QUOTE.4.A圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為QUOTE+QUOTE=1,圓心為CQUOTE,半徑為r=1,因?yàn)镼UOTE+QUOTE>1,則點(diǎn)P在圓C外.①若所求切線的斜率不存在,則切線方程為x=0,此時(shí)圓心到直線x=0的距離為1,合乎題意;②若所求切線的斜率存在,設(shè)所求切線的方程為y=kx-1,即kx-y-1=0,圓心C到該直線的距離為d=QUOTE=1,解得k=0,此時(shí)所求切線的方程為y+1=0.綜上所述,所求切線的方程為y+1=0或x=0.5.B由題得圓的方程可以化為(x-2)2+(y+1)2=9,所以圓心為(2,-1),半徑為r=3,因?yàn)橹本€ax-4by-4=0(a>0,b>0)被圓x2+y2-4x+2y-4=0截得的弦長(zhǎng)為6,所以直線經(jīng)過(guò)圓心,所以2a+4b-4=0,即QUOTE+b=1,所以QUOTE=QUOTE=3+QUOTE+QUOTE≥3+2QUOTE=3+2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=4-2QUOTE,b=QUOTE-1時(shí),取“=”,所以QUOTE的最小值為3+2QUOTE.6.B因?yàn)镼UOTE≥2QUOTE,設(shè)圓心到直線y=kx+3的距離為d,則d=QUOTE≤1,所以d=QUOTE=QUOTE≤1,所以8kQUOTE≤0,解得-QUOTE≤k≤0.7.C設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),則C(-1,-2k),當(dāng)θ=QUOTE時(shí),k=1.直線AB的方程為y=x-1,聯(lián)立QUOTE所以x2-2x+1-4x=0,解得A(3+2QUOTE,2+2QUOTE),B(3-2QUOTE,2-2QUOTE),C(-1,-2),QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE(QUOTE-1)2=3QUOTE-4.當(dāng)θ=QUOTE時(shí),k=QUOTE,直線AB的方程為y=QUOTE(x-1),聯(lián)立QUOTE所以3(x-1)2=4x,所以3x2-10x+3=0,所以(x-3)(3x-1)=0,所以A(3,2QUOTE),BQUOTE,C(-1,-2QUOTE),QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.8.C如圖,因?yàn)榻裹c(diǎn)FQUOTE,所以拋物線C的方程為x2=8y,即y=QUOTEx2.設(shè)切線方程為y+2=kQUOTE,與拋物線方程聯(lián)立,消元得QUOTEx2-kx+4k+2=0.因?yàn)橄嗲?所以Δ=k2-4×QUOTE=0,即k2-2k-1=0,設(shè)k1,k2為兩個(gè)不同的根,所以k1+k2=2,k1k2=-1,所以兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為4k1,4k2.設(shè)點(diǎn)PQUOTE,QQUOTE,因?yàn)镻,Q都在拋物線上,所以y1=QUOTE,y2=QUOTE,則QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4QUOTE=16.9.D如圖,設(shè)AQUOTE,BQUOTE,因?yàn)?+,則PQUOTE,又·=0,即x1x2+y1y2=0,即x1x