非線性動力學(xué)

非線性動力學(xué)簡介混沌概論牛頓力學(xué)成功的典范——天體軌道的預(yù)言拉普拉斯在1814年斷言：如果有一位智慧之神在某一個時刻能獲知自然界一切物體的位置及相互作用力，那么她就可以預(yù)測宇宙的未來狀況。混沌概論法國數(shù)學(xué)家龐加萊：將萬有引力推廣到（限制性）三體問題，無法求得精確解…極為復(fù)雜的混沌運(yùn)動（土星的一顆衛(wèi)星：翻筋斗的土衛(wèi)七）在確定性的、可逆的牛頓方程中出現(xiàn)了內(nèi)在隨機(jī)性！混沌概論美國麻省理工學(xué)院教授奉獻(xiàn)畢生去研究長期天氣預(yù)報。1961年的某一天，在辦公室把一數(shù)據(jù)輸入計算機(jī)，企圖重復(fù)驗證上一次的計算結(jié)果。。混沌概論洛倫茨發(fā)表《決定論非周期流》：討論了天氣預(yù)報的困難及大氣湍流現(xiàn)象，給出了耗散系統(tǒng)中第一個確論論方程導(dǎo)出混沌解的實例。一個形象的比喻：巴西的一只蝴蝶扇動幾下翅膀，可能會改變一個月后美國得克薩斯州的氣候。對初始條件的敏感性！混沌概論美國物理學(xué)家Shaw：水龍頭實驗一只水龍頭在將閉未閉之際，水滴積累重力超過了表面張力，水滴就會下落。每次形成一滴水而落下的時間是個常數(shù)，即滴水是一個周期性狀態(tài)。將漏水口放大一點(diǎn)點(diǎn)，周期縮短。增大到某個臨界值，出現(xiàn)倍周期；繼續(xù)增大，出現(xiàn)四周期。再增大，可出現(xiàn)不恒定的周期，即混沌混沌概論混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界中，與我們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)：風(fēng)中的旗幟、湍流、氣象變化、股票市場波動、種群演化、激光器中隨機(jī)單膜脈沖尖峰、地殼運(yùn)動與地震、腦電波、疾病傳播等等?；煦绺耪摶煦鐚W(xué)作為非線性科學(xué)的主要分支，已經(jīng)滲透到了各個學(xué)科。物理學(xué)家Ford：相對論消除了關(guān)于絕對空間與時間的幻想，量子力學(xué)消除了關(guān)于可控測量過程的牛頓式的夢，而混沌則消除了拉普拉斯關(guān)于絕對論式可預(yù)測性的幻想?；煦绺耪摶煦缣卣鳎海?）對初態(tài)的敏感依賴性

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混沌概論混沌特征：（2）確定論系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)性：有序與無序的統(tǒng)一物理中兩套描述體系確定論概率論牛頓力學(xué)（一一對應(yīng)）熱力學(xué)（多一對應(yīng)）混沌系統(tǒng)：軌道服從確定論方程；系統(tǒng)上的物理觀測值因其各態(tài)歷經(jīng)，可用統(tǒng)計方法得出。混沌概論混沌特征：（3）局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定相鄰軌道指數(shù)分離，導(dǎo)致局部發(fā)散。另一方面，系統(tǒng)在演化過程中能量耗散，運(yùn)動軌跡將向吸引子收縮（拉伸折疊變換）。（4）奇怪吸引子穩(wěn)定不動點(diǎn)或極限環(huán)稱為吸引子，混沌吸引子是特殊結(jié)構(gòu)的點(diǎn)集混沌概論混沌特征：（5）分形結(jié)構(gòu)與無限自相似拉伸變換使諸軌線在相空間中密集遍歷，折疊變換使吸引子具有層次結(jié)構(gòu)。確定論系統(tǒng)軌道方向?qū)?shù)唯一，相鄰軌道不會相交。因此吸引子的層次結(jié)構(gòu)為分形：混沌軌道遍歷系統(tǒng)每一個角落，但軌道間存在空洞。對其放大，具有自相似性。混沌概論混沌特征：（6）連續(xù)功率譜

功率譜是分析時間序列與信號的常用方法之一，描述的是傅立葉變換后的振幅分布。與周期吸引子和噪聲的區(qū)別。（7）系統(tǒng)的混沌運(yùn)動來自于非線性方程中的非線性項：邏輯斯諦映射埃農(nóng)映射

混沌概論

混沌概論

混沌概論1.求解不動點(diǎn)

2.不動點(diǎn)的穩(wěn)定性

不穩(wěn)定穩(wěn)定

Why?混沌概論

進(jìn)入周期2區(qū)域混沌概論1.周期2

混沌概論2.周期2的穩(wěn)定性條件

混沌概論以此類推，混沌概論一個連續(xù)的例子：洛倫茨方程數(shù)值求解龍哥庫塔方法流行病傳播流行病傳播SIS模型：易感態(tài)-感染態(tài)-易感態(tài)SIR模型：易感態(tài)-感染態(tài)-恢復(fù)態(tài)流行病傳播

其隨時間演化方程：如何