2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.3.1棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE8.3簡潔幾何體的表面積與體積8.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的探討，駕馭棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積的求法．(重點(diǎn))2.會(huì)求與棱柱、棱錐、棱臺(tái)有關(guān)的組合體的表面積與體積．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1.借助棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積、體積的計(jì)算，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.通過對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的探究，提升邏輯推理的素養(yǎng).胡夫大金字塔底邊原長230米，高146.59米，經(jīng)風(fēng)化腐蝕，現(xiàn)降至136.5米，塔的底角為51°51′.假如把建立金字塔的石塊鑿成平均一立方英尺的小塊，平均每塊重2.5噸，像一輛小汽車那樣大．問題：(1)如何計(jì)算建此金字塔需用多少石塊？(2)假如在金字塔的表面涂上一層愛護(hù)液以防止風(fēng)化腐蝕，如何計(jì)算愛護(hù)液的運(yùn)用量？1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和．2．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積棱柱的體積公式V＝Sh(S為底面面積，h為高)；棱錐的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；棱臺(tái)的體積公式V＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)．其中，棱臺(tái)的上、下底面面積分別為S′、S，高為h.思索：簡潔組合體分割成幾個(gè)幾何體，其表面積不變嗎？其體積呢？[提示]表面積變大了，而體積不變．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)幾何體的表面積就是其側(cè)面面積與底面面積的和． ()(2)幾何體的側(cè)面積是指各個(gè)側(cè)面的面積之和． ()(3)等底面面積且等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相同． ()(4)在三棱錐P-ABC中，VP-ABC＝VA-PBC＝VB-PAC＝VC-PAB． ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√2．棱長為3的正方體的表面積為()A．27 B．64C．54 D．36C[依據(jù)表面積的定義，組成正方體的面共6個(gè)，且每個(gè)都是邊長為3的正方形．從而，其表面積為6×32＝54.]3．長方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3，則長方體的體積與表面積分別為()A．6,22 B．3,22C．6,11 D．3,11A[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.]4．棱長都是3的三棱錐的表面積S為________．9eq\r(3)[因?yàn)槿忮F的四個(gè)面是全等的正三角形，所以S＝4×eq\f(\r(3),4)×32＝9eq\r(3).]簡潔幾何體的表面積【例1】現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱，它的體對(duì)角線長為9和15，高是5，求該直四棱柱的側(cè)面積．[解]如圖，設(shè)底面對(duì)角線AC＝a，BD＝b，交點(diǎn)為O，對(duì)角線A1C＝15，B1D∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵該直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的側(cè)面積S＝4×8×5＝160.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成基本幾何體，再通過這些基本幾何體的表面積進(jìn)行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積，另外有時(shí)也會(huì)用到將幾何體綻開求其綻開圖的面積進(jìn)而得表面積.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時(shí)，該三棱錐的表面積是()A．eq\f(3＋\r(3),4)a2 B．eq\f(3,4)a2C．eq\f(3＋\r(3),2)a2 D．eq\f(6＋\r(3),4)a2A[∵側(cè)面都是等腰直角三角形，故側(cè)棱長等于eq\f(\r(2),2)a，∴S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.]簡潔幾何體的體積【例2】在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1-ABC，三棱錐B-A1B1C，三棱錐C-A1B1[解]設(shè)三棱臺(tái)的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S∴VA1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC-A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺(tái)＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB-A1B1C＝V臺(tái)－VA1-ABC－VC-A1B1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴三棱錐A1-ABC，B-A1B1C與C-A1B1C求幾何體體積的常用方法eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-eq\f(1,6)[利用三棱錐的體積公式干脆求解．VD1-EDF＝VF-DD1E＝eq\f(1,3)S△D1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]棱臺(tái)與棱錐之間關(guān)系的綜合問題【例3】已知正四棱臺(tái)(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側(cè)面積．

[解]如圖，E，E1分別是BC，B1C1的中點(diǎn)，O，O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺(tái)的高，則O1O連接OE，O1E1，則OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×12＝6，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3.過E1作E1H⊥OE，垂足為H，則E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，所以E1E＝3eq\r(17).所以S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).在本例中，把棱臺(tái)還原成棱錐，你能利用棱錐的有關(guān)學(xué)問求解嗎？[解]如圖，正四棱臺(tái)的側(cè)棱延長交于一點(diǎn)P.取B1C1，BC的中點(diǎn)E1，E，則EE1的延長線必過P點(diǎn)(以后可以證明)．O1，O分別是正方形A1B1C1D1與正方形ABCDCC1的延長線過P點(diǎn)，且有O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3，OE＝eq\f(1,2)AB＝6，則有eq\f(PO1,PO)＝eq\f(O1E1,OE)＝eq\f(3,6)，即eq\f(PO1,PO1＋O1O)＝eq\f(1,2).所以PO1＝O1O＝12.在Rt△PO1E1中，PEeq\o\al(2,1)＝POeq\o\al(2,1)＋O1Eeq\o\al(2,1)＝122＋32＝32×17，在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17，所以E1E＝PE－PE1＝6eq\r(17)－3eq\r(17)＝3eq\r(17).所以S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(12＋6)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).解決有關(guān)正棱臺(tái)的問題時(shí)，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到直角梯形中去解決；二是把正棱臺(tái)還原成正棱錐，利用正棱錐的有關(guān)學(xué)問來解決.方法必備1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積分別是它們側(cè)面綻開圖的面積，因此弄清側(cè)面綻開圖的形態(tài)及側(cè)面綻開圖中各線段的長，是駕馭它們的表面積有關(guān)問題的關(guān)鍵．2．計(jì)算棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，關(guān)鍵是依據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．3．在幾何體的體積計(jì)算中，留意體會(huì)“分割思想”、“補(bǔ)體思想”及“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”．1．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ACDA．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1A[三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).]2.已知高為3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1-ABCA．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(3),4)[答案]D3．若正方體的棱長為eq\r(2)，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的表面積為()A．eq\f(\r(2),3) B．2eq\r(3)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(2),6)B[所求凸多面體的表面積是兩個(gè)底面邊長為1，高為eq\f(\r(2),2)的四棱錐的側(cè)面積之和，如圖，四棱錐的側(cè)棱長l＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12＋12),2)))eq\s\up12(2))＝1，所以，以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的表面積S＝8×eq\f(1,2)×1×1×sin60°＝2eq\r(3).故選B．]4．把一個(gè)棱長為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則全部小正方體的表面積為________．18a2[原正方體的棱長為a，切成的27個(gè)小正方體的棱長為eq\f(1,3)a，每個(gè)小正方體的表面積S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27個(gè)小正方體的表面積是eq\f(2,3)a2×27＝18