2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章集合與常用邏輯用語1.11.1.3第1課時交集和并集學(xué)案新人教B版必修第一冊

PAGE1.1.3集合的基本運算第1課時交集和并集學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解兩個集合交集與并集的含義，會求兩個簡潔集合的交集和并集．(重點、難點)2．能運用維恩圖、數(shù)軸表達集合的關(guān)系及運算，體會圖示對理解抽象概念的作用．(難點)1．通過理解集合交集、并集的概念，提升數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助維恩圖培育直觀想象的素養(yǎng).某班有學(xué)生20人，他們的學(xué)號分別是1,2,3，…，20，有a，b兩本新書，已知學(xué)號是偶數(shù)的讀過新書a，學(xué)號是3的倍數(shù)的讀過新書b.問題(1)同時讀了a，b兩本書的有哪些同學(xué)？(2)問至少讀過一本書的有哪些同學(xué)？學(xué)問點一交集1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，則A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}C[由題意知，A＝{x|x≥1}，則A∩B＝{1,2}．]學(xué)問點二并集集合A∪B的元素個數(shù)是否等于集合A與集合B的元素個數(shù)和？[提示]不肯定．A∪B的元素個數(shù)小于或等于集合A與集合B的元素個數(shù)和．對概念中的“全部”的理解，不能認(rèn)為A∪B是由A的全部元素和B的全部元素組成的集合，即簡潔拼湊，還要留意滿意集合中元素的互異性，相同的元素(即A與B的公共元素)只能算作并集中的一個元素．例如，A＝{1,2,4}，B＝{1,4,5,7}，A∪B＝{1,2,4,5,7}，而不能寫成A∪B＝{1,2,4,1,4,5,7}．2.(1)已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M},則M∪N＝()A．{0} B．{0,3}C．{1,3,9} D．{0,1,3,9}(2)已知A＝(0，＋∞)，B＝(－∞，1)，則A∪B＝________.(1)D(2)R[(1)易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．(2)∵A＝(0，＋∞)，B＝(－∞，1)，∴A∪B＝(－∞，＋∞]．]學(xué)問點三并集與交集的運算性質(zhì)并集的運算性質(zhì)交集的運算性質(zhì)A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪?＝?∪A＝AA∩?＝?∩A＝?假如A?B，則A∪B＝B，反之也成立假如A?B，則A∩B＝A，反之也成立3.思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)A∪B＝A∪C，則B＝C． ()(2)若A∩B＝?，則A，B均為空集． ()(3)A，B中分別有3個元素，則A∪B中必有6個元素． ()(4)若x∈A∩B，則x∈A∪B． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√類型1交集的概念及其應(yīng)用【例1】(對接教材P15例1)(1)設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為()A．5B．4C．3D．2(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如圖，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故選A．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故選D．]求兩個集合的交集有什么方法？[提示](1)定義法：對于元素個數(shù)有限的集合，逐個挑出兩個集合的公共元素即可．(2)數(shù)形結(jié)合法：對于元素個數(shù)無限的集合，一般借助數(shù)軸求交集，兩個集合的交集等于兩個集合在數(shù)軸上的相應(yīng)圖形所覆蓋的公共范圍，要留意端點值的取舍．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由題意知A∩B＝{0,2}．]2．設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是()A．－1<a≤2 B．a(chǎn)>2C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)>－1D[因為A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在數(shù)軸上表示出兩個集合，如圖所示，易知a>－1．]類型2并集的概念及其應(yīng)用【例2】(1)設(shè)集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)(對接教材P17例3)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[(1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2，0,2}，故選D．(2)在數(shù)軸上表示集合M，N，如圖所示，則M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]求集合并集的方法(1)兩集合用列舉法給出：①依定義，干脆視察求并集；②借助維恩圖寫并集．(2)兩集合用描述法給出：①干脆視察，寫出并集；②借助數(shù)軸，求出并集．(3)一個集合用描述法，另一個用列舉法：①干脆視察，找出并集；②借助圖形，視察寫出并集．eq\o([跟進訓(xùn)練])3．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，則A∪B＝________.{0,1,2,3,4,5}[A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]4．若集合A＝(－∞，－1)，B＝(－2,2)，則A∪B＝________.(－∞，2)[畫出數(shù)軸如圖所示，故A∪B＝(－∞，2)．]類型3集合交、并運算的性質(zhì)及綜合應(yīng)用1．設(shè)A，B是兩個集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，則集合A與B具有什么關(guān)系？[提示]A∩B＝A?A∪B＝B?A?B．2．若A∩B＝A∪B，則集合A，B間存在怎樣的關(guān)系？[提示]若A∩B＝A∪B，則集合A＝B．【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．[思路點撥]eq\x(A∪B＝A)eq\o(→,\s\up10(等價轉(zhuǎn)化))eq\x(B?A)eq\o(→,\s\up10(分B＝?和B≠?))eq\x(建立k的不等關(guān)系)eq\o(→,\s\up10(求交集))eq\x(得k的范圍)[解](1)當(dāng)B＝?，即k＋1>2k－1時，k<2，滿意A∪B＝A．(2)當(dāng)B≠?時，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).綜合(1)(2)可知k≤eq\f(5,2).1．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∩B＝A”，試求k的取值范圍．[解]由A∩B＝A可知A?B．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，))所以k∈?.所以k的取值范圍為?.2．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．[解]由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4，,2k－1＝5，))解得k＝3.所以k的值為3.1．集合運算常用的性質(zhì)(1)A∪B＝B?A?B．(2)A∩B＝A?A?B．(3)A∩B＝A∪B?A＝B．2．利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關(guān)注點(1)方法：利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時，經(jīng)常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等問題，解答時常借助于交集、并集的定義及已知集合間的關(guān)系去轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解．(2)關(guān)注點：當(dāng)集合A?B時，若集合A不確定，運算時要考慮A＝?的狀況，否則易漏解．1．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝()A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}A[集合B＝{x|－1≤x≤1}，則A∩B＝{－1,0,1}．]2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}D[由維恩圖，可知陰影部分所表示的集合是M∪P，因為M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故選D．]3．(多選題)已知集合A＝{x|x＝4n－1，n∈N}，B＝{y|y＝2n－1，n∈N}，C＝{－1,0,1,3,5,7,9}，則集合A∩B∩C中的元素為()A．－1 B．3C．5 D．7ABD[A＝{x|x＝4n－1，n∈N}＝{－1,3,7,11，…}，B＝{y|y＝2n－1，n∈N}＝{－1,1,3,5,7，…}，所以A∩B∩C中的元素為－1,3,7.故選ABD．]4．已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3B[法一(利用并集的性質(zhì)及子集的含義求解)∵A∪B＝A，∴B?A．又A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝eq\r(m).由m＝eq\r(m)得m＝0或m＝1．但m＝1不滿意集合中元素的互異性，故舍去，故m＝0或m＝3.法二(利用解除法求解)∵B＝{1，m}，∴m≠1，故可解除選項C、D．又當(dāng)m＝3時，A＝{1,3，eq\r(3)}，B＝{1,3}，∴A∪B＝{1,3，eq\r(3)}＝A，故m＝3符合題意，故可解除選項A．]5．已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∪B＝R，則a的取值范圍為________．{a|－3≤a＜－1}[由題意A∪B＝R，在數(shù)軸上表示出A，B，如圖所示，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜－1，,a＋8≥5，))解得－3≤a＜－1．]回顧本節(jié)學(xué)問，自我完成以下問題：1．對交集概念你是怎樣理解的？[提示](1)A∩B仍是一個集合，A∩B中的隨意元素都是A與B的公共元素，同時A與B的公共元素都屬于A∩B．(2)“且”字的意義：A∩B中的元素既屬于A，又屬于B．(3)兩個集合A與B沒有公共元素不能說兩個集合沒有交集，而是A∩B＝?.2．對并集概念你是怎樣理解的？[提示](1)A∪B仍是一個集合，A∪B由全部屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成．(2)“或”字的意義：并集中