第二章相交線與平行線單元測試（能力提升）（備作業(yè)）2021-2022學年七年級數學下冊(北師大版)

第二章相交線與平行線單元測試（能力提升）一、單選題1．下列說法中，正確的是（）A．從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這個點到這條直線的距離B．互相垂直的兩條直線不一定相交C．直線AB外一點P與直線上各點連接而成的所有線段中最短線段的長是7cm，則點P到直線AB的距離是7cmD．過一點有且只有一條直線垂直于已知直線【答案】C【分析】根據點到直線距離的定義分析，可判斷選項A和C；根據相交線的定義分析，可判斷選項B，根據垂線的定義分析，可判斷選項D，從而完成求解．【解析】從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到這條直線的距離，即選項A錯誤；在同一平面內，互相垂直的兩條直線一定相交，即選項B錯誤；直線AB外一點P與直線上各點連接而成的所有線段中最短線段的長是7cm，則點P到直線AB的距離是7cm，即選項C正確；在同一平面內，過一點有且只有一條直線垂直于已知直線，即選項D錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了點和直線的知識；解題的關鍵是熟練掌握點到直線距離、相交線、垂線的性質，從而完成求解．2．下列推理中，錯誤的是()A．因為AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CDB．因為∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γC．因為a∥b，b∥c，所以a∥cD．因為AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF【答案】A【分析】根據相關的定義或定理判斷．【解析】解：A、AB⊥EF，EF⊥CD，答案不確定，有多個答案，AB可能與CD平行，也可能垂直，在空間中也可能異面等，故A選項錯誤；B、由∠α=∠β，∠β=∠γ，根據角的等量代換可知，∠α=∠γ，故B選項正確；C、由a∥b，b∥c，根據平行線的平行的傳遞性可知a∥c，故C選項正確；D、根據線段長度的等量代換可知AB=EF，易知D選項正確；綜上所述，答案選A．【點睛】主要考查學生對平行公理及推論的運用，注意等量代換的應用．3．如果∠α和∠β互補，且∠α＜∠β，則下列表示∠α的余角的式子中：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠β﹣∠α）．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由和互補，可得，即：，，再用不同的形式表示的余角．【解析】解：和互補，，，于是有：的余角為：，故①正確，的余角為：，故②正確，的余角為：，故④正確，而，而不一定是直角，因此③不正確，因此正確的有①②④，故選：．【點睛】本題考查互為余角、互為補角的意義，熟悉利用等式的性質進行變形和整體代入的方法是解題的關鍵．4．如圖，下列推理正確的是（）A．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC B．∵∠3＝∠4，∴AB∥CDC．∵∠3＝∠5，∴AB∥DC D．∵∠3＝∠5，∴AD∥BC【答案】C【分析】利用平行線的判定方法判斷即可得到結果．【解析】∵∠3=∠5，∴AB∥DC（同位角相等，兩直線平行）．故選C．【點睛】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關鍵．5．同一平面內的四條直線a，b，c，d滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是()A．a⊥c B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c【答案】C【分析】根據同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，可證a∥c，再結合c⊥d，可證a⊥d．【解析】∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∵c⊥d，∴a⊥d．故選C．【點睛】此題主要考查了平行線及垂線的性質，關鍵是根據同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行解答．6．如圖，CE⊥BC，則下列說法正確的是()A．如果∠B＝∠1，那么AB∥CDB．如果∠1與∠B互補，那么AB∥CDC．如果∠B與∠BCE互余，那么AB∥CDD．如果∠1與∠B互余，那么AB∥CD【答案】D【分析】根據平行線的判定定理即可求解．【解析】A、由于∠B和∠1不是同位角也不是內錯角，故由∠B＝∠1不能判斷AB∥CD，不符合題意；B、由∠1與∠B不是同旁內角，故由∠1與∠B互補，不能判斷AB∥CD，不符合題意；C、由∠B與∠BCE互余，不能判斷AB∥CD，不符合題意；D、由同旁內角互補，兩直線平行可知，如果∠1與∠B互余，則∠1+∠B+∠ECB=180°，故AD∥CD是正確的，符合題意．故選D．【點睛】此題考查了平行線的判定，關鍵是熟練掌握（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內錯角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．7．一副含30°，45°角的直角三角板按如圖所示放置，已知DE//BC，則∠ABE的度數為（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【分析】由題意可得∠BED=30°，∠ABC=45°，根據平行線的性質可得∠CBE=∠BED=30°，再結合∠ABE=∠ABC∠CBE即可求解．【解析】由題意得：∠BED=30°，∠ABC=45°，DE//BC，∠CBE=∠BED=30°，∠ABE=∠ABC∠CBE=45°30°=15°故選：B．【點睛】本題主要考查平行線的性質，角的計算，解答的關鍵是結合圖形分析清楚角與角之間的關系．8．如圖，一束光線先后經平面鏡，反射后，反射光線與平行，當時，的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點B作，過點C作，與相交于點E；根據余角性質計算得；根據平行線性質，得，結合角平分線性質，計算得；再根據余角性質計算，即可得到答案．【解析】如下圖，過點B作，過點C作，與相交于點E∵，∴∴∵與平行∴∵，∴∴故選：B．【點睛】本題考查了平行線、角平分線、垂線、余角的知識；解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質，從而完成求解．9．為了亮化某景點，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉至AN便立即回轉，B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉動30°，B燈每秒轉動10°，B燈先轉動2秒，A燈才開始轉動，當B燈光束第一次到達BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉的時間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設燈旋轉的時間為秒，求出的取值范圍為，再分①，②和③三種情況，先分別求出和的度數，再根據平行線的性質可得，由此建立方程，解方程即可得．【解析】解：設燈旋轉的時間為秒，燈光束第一次到達所需時間為秒，燈光束第一次到達所需時間為秒，燈先轉動2秒，燈才開始轉動，，即，由題意，分以下三種情況：①如圖，當時，，，，，，即，解得，符合題設；②如圖，當時，，，，，，即，解得符合題設；③如圖，當時，，，同理可得：，即，解得，不符題設，舍去；綜上，燈旋轉的時間為1秒或秒，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質、一元一次方程的幾何應用等知識點，正確求出時間的取值范圍，并據此分三種情況討論是解題關鍵．10．如圖，已知，為平行線之間一點連接，，為上方一點，連接，，為延長線上一點．若，分別平分，，則與的數量關系為（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】過點作，過點作，則，根據平行線的性質可得，，，即可得出結論．【解析】解：過點作，過點作，，，，，，分別平分，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，鄰補角的定義，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．二、填空題11．圖中的內錯角是________

．【答案】∠A與∠AEC；∠B與∠BED【解析】解：根據內錯角的定義得：∠A與∠AEC；∠B與∠BED；故答案為：∠A與∠AEC；∠B與∠BED．12．下列作圖中：①用量角器畫出；②作，使；③連接；④用直尺和三角板作的平行線，屬于尺規(guī)作圖的是__________．（填序號）【答案】②③【解析】尺規(guī)作圖的定義：只能用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，因此屬于尺規(guī)作圖的是②、③.故答案為②③.13．a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則________

．【答案】a∥c【分析】根據平行公理推論，即可求解．【解析】∵a，b，c是直線，且a∥b，b∥c∴a∥c故答案為：a∥c【點睛】本題考查了平行公理及推論，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結論在證明直線平行時應用．14．如果兩個角的兩條邊分別平行，且其中一個角比另一個角的4倍少30°，那么這兩個角的度數分別為_________．【答案】10°，10°或42°，138°【分析】由兩個角的兩條邊分別平行，得這兩個角相等或互補．設一個角為x，則另一個角為4x30°，分兩種情況，分別列出方程，即可求解．【解析】∵兩個角的兩條邊分別平行，∴這兩個角相等或互補．設一個角為x，則另一個角為4x30°，若兩個角相等，則x=4x30°，解得：x=10°，∴4x30°=4×10°30°=10°；若兩個角互補，則x+（4x30°）=180°，解得：x=42°，∴4x30°=4×42°30°=138°．∴這兩個角是42°、138°或10°、10°．故答案是：10°，10°或42°，138°．【點睛】本題主要考查角的相關計算與一元一次方程的綜合，根據等量關系，列出一元一次方程，是解題的關鍵．15．如圖，∠1=75°，∠2=120°，∠3=75°，則∠4=_________．【答案】60°【解析】試題分析：本題主要考查平行線的判定和性質，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內錯角相等，③兩直線平行?同旁內角互補，④a∥b，b∥c?a∥c．∵∠1=75°=∠3，∴上下兩條直線平行，∴角4加上角2的對頂角等于180°，∴∠4=180°﹣∠2=180°﹣120°=60°，考點：平行線的判定與性質16．如圖，直線l1∥l2，并且被直線l3，l4所截，則∠α=________．【答案】64°【解析】試題分析：如圖1，∵∠1+56°=120°，∴∠1=120°﹣56°=64°，又∵直線l1∥l2，∴∠α=∠1=64°．故答案為64°．考點：平行線的性質．17．如圖，已知EF∥GH，AC⊥CD，∠DCH＝35°，則∠CBF＝______度．【答案】125【分析】首先根據垂直定義可得∠ACD＝90°，再根據余角的定義可得∠ACH的度數，然后再根據平行線的性質可得∠FBC+∠ACH＝180°，進而可得答案．【解析】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵∠DCH＝35°，∴∠ACH＝90°﹣35°＝55°，∵EF∥GH，∴∠FBC+∠ACH＝180°，∴∠FBC＝180°﹣55°＝125°，故答案為：125．【點睛】此題主要考查了平行線的性質，關鍵是掌握兩直線平行，同旁內角互補．18．如圖，直線a與直線b交于點A，與直線c交于點B，∠1＝120°，∠2＝40°，若使直線b與直線c平行，則可將直線b繞點A逆時針旋轉_______________°.【答案】20【分析】根據同位角相等，兩直線平行推出即可．【解析】如圖,旋轉到直線b′，∵∠1=120，∴∠DAE=180?120=60，∵∠EAC=20，∴∠DAC=60?20=40，∵∠2=40，∴∠2=∠DAC，∴直線c∥直線b′，即當直線b繞點A逆時針旋轉20時，直線b與直線c平行，故答案為20.【點睛】本題考查的知識點是平行線的判定及旋轉的性質，解題的關鍵是熟練的掌握平行線的判定及旋轉的性質.19．如圖，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的補角，則∠BAH的度數是______．【答案】60°##60度【分析】設∠BAF＝x°，∠BCF＝y(tǒng)°，由題意知∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，如圖，過點B作BM∥AD，過點F作FN∥AD，由AD∥CE可得AD∥FN∥BM∥CE，有∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y(tǒng)°，∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°由于∠F的余角等于2∠B的補角，可知90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），進行求解可得x的值，進而可求出∠BAH的值．【解析】解：設∠BAF＝x°，∠BCF＝y(tǒng)°∵∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，如圖，過點B作BM∥AD，過點F作FN∥AD∵AD∥CE∴AD∥FN∥BM∥CE∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y(tǒng)°∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°∵∠AFC的余角等于2∠ABC的補角∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y）解得：x＝30∴∠BAH＝60°故答案為：60°．【點睛】本題考查了角平分線，平行線的性質，余角、補角等知識．解題的關鍵在于正確的表示角度之間的數量關系．20．已知，點、分別為、上的點，點、、為、內部的點，連接、、、、、，于，，，平分，平分，則（小于平角）的度數為______．【答案】【分析】過點，做平行于，根據平行線的傳遞性及性質得，同理得出，令，則，，則，通過等量關系先計算出，再根據角平分線的性質及等量代換進行求解．【解析】解：過點，做平行于，如下圖：，，則，，同理可得：，令，則，，則，則，，，，平分，平分，，，故答案是：．【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的性質，解題的關鍵是添加適當的輔助線，找到角之間的關系，利用等量代換的思想進行計算求解．三、解答題21．（1）已知一個角的補角比它的余角的3倍多，求這個角的度數．（2）已知的余角是的補角的，并且，試求的度數．【答案】（1）50°；（2）150°【分析】（1）設這個角為，則補角為（180°），余角為（90°），再由補角比它的余角的3倍多10°，可得方程，解出即可；（2）根據互余和互補的定義，結合已知條件列出方程組，解方程組得到答案．【解析】（1）設這個角為，根據題意，得．解得：．答：這個角的度數為．（2）根據題意，得且，∴，．∴．【點睛】本題考查的是余角和補角的概念，掌握若兩個角的和為90°，則這兩個角互余；若兩個角的和等于180°，則這兩個角互補是解題的關鍵．22．如圖，所有小正方形的邊長都為1個單位，A、B、C均在格點上．(1)過點C畫線段AB的平行線CF；(2)過點A畫線段BC的垂線，垂足為G；(3)過點A畫線段AB的垂線，交BC于點H；(4)線段的長度是點H到直線AB的距離；(5)線段AG、AH、BH的大小關系是（用“＜”連接），理由是．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)AH；(5)AG＜AH＜BH，點到直線的距離，垂線段最短【分析】（1）根據平行線的判定結合網格畫AB的平行線CF即可；（2）根據垂線的定義，結合網格過點A畫線段BC的垂線段即可；（3）根據垂線的定義，結合網格過點A畫線段AB的垂線，交BC于點H即可；（4）點H到直線AB的距離是過點H垂直于AB的垂線段HA的長；（5）根據點到直線的距離，垂線段最短求解即可．(1)解：如圖所示，直線CF即為所求；(2)解：如圖所示，線段AG即為所求；(3)解：如圖所示，線段AH即為所求；(4)解：由題意得線段AH的長度是點H到直線AB的距離；故答案為：AH；(5)解：∵AG⊥BH，∴AG＜AH，∵AH⊥AB，∴AH＜BH，∴AG＜AH＜BH，理由是：點到直線的距離，垂線段最短，故答案為：AG＜AH＜BH，點到直線的距離，垂線段最短．【點睛】本題主要考查了畫平行線，畫垂線，點到直線的距離，垂線段最短等等，熟知相關知識是解題的關鍵．23．已知：如圖是一個跳棋棋盤，其游戲規(guī)則是一個棋子從某一個起始角開始，經過若干步跳動以后，到達終點角跳動時，每一步只能跳到它的同位角或內錯角或同旁內角的位置上例如：從起始位置跳到終點位置有兩種不同路徑，路徑1：；路徑2：.試一試：（1）寫出從起始位置跳到終點位置的一種路徑；（2）從起始位置依次按同位角、內錯角、同旁內角的順序跳，能否跳到終點位置？【答案】（1）（答案不唯一）；（2）能跳到終點位置.其路徑為（答案不唯一）【分析】（1）根據同旁內角、內錯角和同位角的定義進行選擇路徑即可；（2）先判斷能夠到達終點位置，在根據定義給出具體路徑即可.【解析】（1）（答案不唯一）路徑：.（2）從起始位置依次按同位角內錯角同旁內角的順序跳，能跳到終點位置.其路徑為（答案不唯一）.【點睛】本題考查的是同位角、內錯角和同旁內角的定義，熟知這些角的特征是解題的關鍵.24．如圖所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，試說明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．【答案】詳見解析【分析】由條件可分別得到∠1+∠2=180°，可證明a∥b；可求得∠4=∠3，可證明d∥e；由∠5+∠6=180°可求得∠4=∠5，可證明b∥c，由平行的傳遞性可得a∥c．【解析】因為∠1＝50°，∠2＝130°(已知)，所以∠1+∠2＝180°．所以a∥b(同旁內角互補，兩直線平行)．所以∠3＝∠1＝50°(兩直線平行，同位角相等)．又因為∠4＝50°(已知)，所以∠3＝∠4(等量代換)．所以d∥e(同位角相等，兩直線平行)．因為∠5+∠6＝180°(平角定義)，∠6＝130°(已知)，所以∠5＝50°(等式的性質)．所以∠4＝∠5(等量代換)．所以b∥c(內錯角相等，兩直線平行)．因為a∥b，b∥c(已知)，所以a∥c(平行于同一直線的兩直線平行)．【點睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內錯角相等?兩直線平行，③同旁內角互補?兩直線平行，④a∥b，b∥c?a∥c．25．如圖，平分，.（1）求證：//；（2）若，，求的度數（用含的代數式表示）.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用內錯角相等，兩直線平行證明即可；（2）根據平行線的性質求出∠ABC的度數，再根據角平分線的性質得到∠3的度數，再由平行線的性質可求出結果.【解析】（1）證明：∵平分，∴．∵，∴．∴∥．（2）∵∥且，∴．∴．同理可證：．∵，∴．∴==．【點睛】此題主要考查了平行線的判定與性質，熟練掌握判定定理和性質定理是解決此題的關鍵.26．已知：如圖，直線，直線MN交EF，PO于點A，B，直線HQ交EF，PO于點D，C，DG與OP交于點G，若，，．（1）求證：；（2）請直接寫出的度數．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據可得，，再根據內錯角相等兩直線平行即可得證；（2）根據兩直線平行的性質可得，從而可得，再由即可求解．【解析】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴，，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的判定及性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定及性質，利用數形結合的思想進行求解．27．如圖，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）試說明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝142°，求∠B的度數．【答案】（1）見解析；（2）∠B＝38°．【分析】（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可證明；（2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分線，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°．【解析】（1）∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°.∵AD∥EF.（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分線，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質與判定條件是解題的關鍵．28．三角形ABC中，D是AB上一點，DE∥BC交AC于點E，點F是線段DE延長線上一點，連接FC，∠BCF+∠ADE=180°．（1）如圖1，求證：CF∥AB；（2）如圖2，連接BE，若∠ABE=40°，∠ACF=60°，①求∠BEC的度數；②如圖2，點G是線段FC延長線上一點，若∠EBC：∠ECB=7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度數．【答案】（1）見解析；（2）①∠BEC的度數為100°；②∠CBG的度數為12°．【分析】（1）根據平行線的判定與性質即可完成證明；（2）①如圖2，過點E作EK∥AB，可得CF∥AB∥EK，再根據平行線的性質即可得結論；②根據∠EBC：∠ECB=7：13，可以設∠EBC=7x°，則∠ECB=13x°，然后根據∠AED+∠DEB+∠BEC=180°，13x+7x+100=180，求出x的值，進而可得結果．【解析】（1）證明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∵∠BCF+∠ADE=180°，∴∠BCF+∠ABC=180°，∴CF∥AB；（2）①解：如圖，過點E作EK∥AB，∴∠BEK=∠ABE=40°，∵CF∥AB，∴CF∥EK，∴∠CEK=∠ACF=60°，∴∠BEC=∠BEK+∠CEK=40°+60°=100°；②∵BE平分∠ABG，∴∠EBG=∠ABE=40°，∵∠EBC：∠ECB=7：13，∴設∠EBC=7x°，則∠ECB=13x°，∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC=7x°，∠AED=∠ECB=13x°，∵∠