專(zhuān)題04 垂直模型鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）（解析版）

垂直模型鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D．求AD的長(zhǎng)．【解答】【解析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，則AE＝DE，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，∴，∴，∴AD＝2AE＝．2．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若∠B＝60°，CD＝，求AB的長(zhǎng)．【解答】（1）見(jiàn)解析；（2）8【解析】（1）證明：連接OC．∵CD是⊙O的切線，∴CD⊥OC，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．（2）連接BE交OC于點(diǎn)H．∵AB是直徑，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CAB＝∠DAC＝30°，∴∠EAB＝60°，∵∠DEH＝∠EDC＝∠DCH＝90°，∴四邊形CDEH是矩形，∴EH＝CD＝，∠EHC＝90°，∴OC⊥EB，∴EH＝HB＝2，∴BE＝4，∴AB＝＝8．3．如圖，在Rt△ABC中，BC＝1，∠A＝30°．（1）求AB的長(zhǎng)度：（2）過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，交AC的垂直平分線于點(diǎn)D，以AB為一邊作等邊△ABE．①連接CE，求證：BD＝CE；②連接DE交AB于F．求的值．【解答】（1）2；（2）①見(jiàn)解析；②1【解析】（1）∵在Rt△ABC中，BC＝1，∠A＝30°．∴AB＝2BC＝2，（2）①連接CD，∵過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，交AC的垂直平分線于點(diǎn)D，∴AD＝CD，∠BAD＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，∵△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB，∠EAB＝60°，∴∠EAC＝90°，在△AEC與△ABD中，∴△AEC≌△ABD（SAS），∴CE＝BD；②∵DQ是AC的垂直平分線，∴QD∥BC，∴∠AQD＝∠ABC＝60°，2AQ＝AB∵∠QAD＝90°，∴QD＝2AQ＝AB，∵∠QFD＝∠EFA，∵QD∥AE∥BC，∴∠QDF＝∠AEF，∴△QFD∽△AFE，∴，∵AE＝AB，DQ＝AB，∴．4．如圖，AB是半徑為2的⊙O的直徑，直線m與AB所在直線垂直，垂足為C，OC＝3，點(diǎn)P是⊙O上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP、BP分別交m于M、N兩點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)C為MN中點(diǎn)時(shí)，連接OP，PC，判斷直線PC與⊙O是否相切并說(shuō)明理由．（2）點(diǎn)P是⊙O上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，以MN為直徑的動(dòng)圓是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，若是，請(qǐng)確定該定點(diǎn)的位置；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）直線PC與⊙O相切，理由見(jiàn)解析；（2）以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)D和D'，此定點(diǎn)在C的距離都是【解析】（1）直線PC與⊙O相切，理由是：如圖1，∵AC⊥MN，∴∠ACM＝90°，∴∠A+∠AMC＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB＝∠NPM＝90°，∴∠PNM+∠AMC＝90°＝∠A+∠ABP，∴∠ABP＝∠AMC，∵OP＝OB，∴∠ABP＝∠OPB，Rt△PMN中，C為MN的中點(diǎn)，∴PC＝CN，∴∠PNM＝∠NPC，∴∠OPC＝∠OPB+∠NPC＝∠ABP+∠PNM＝∠AMC+∠PNM＝90°，即OP⊥PC，∴直線PC與⊙O相切；（2）如圖2，設(shè)該圓與AC的交點(diǎn)為D，連接DM、DN，∵M(jìn)N為直徑，∴∠MDN＝90°，則∠MDC+∠NDC＝90°，∵∠DCM＝∠DCN＝90°，∴∠MDC+∠DMC＝90°，∴∠NDC＝∠DMC，則△MDC∽△DNC，∴，即DC2＝MC?NC∵∠ACM＝∠NCB＝90°，∠A＝∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC?NC＝AC?BC；即AC?BC＝DC2，∵AC＝AO+OC＝2+3＝5，BC＝3﹣2＝1，∴DC2＝5，∴DC＝，∵M(jìn)N⊥DD'，∴D'C＝DC＝，∴以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)D和D'，此定點(diǎn)在C的距離都是．5．已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)O和點(diǎn)P是這個(gè)三角形內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)．（1）如圖①，如果點(diǎn)P是這個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，那么∠BPC和∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖②，如果點(diǎn)O是這個(gè)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，那么∠BOC和∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，如果點(diǎn)P（三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)），點(diǎn)O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部，那么∠BPC和∠BOC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接回答．【解答】（1）∠BPC＝90°+∠BAC，（2）∠BOC＝2∠BAC；（3）4∠BPC﹣∠BOC＝360°【解析】（1）∠BPC＝90°+∠BAC∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC；（2）∠BOC＝2∠BAC如圖，連接AO．∵點(diǎn)O是這個(gè)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC；（3）4∠BPC﹣∠BOC＝360°，∵點(diǎn)P為三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴∠BPC＝90°+∠BAC由∠BAC＝2∠BPC﹣180°點(diǎn)O為三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，即4∠BPC﹣∠BOC＝360°．6．如圖，AB、CD、EF都垂直于直線l，AB＝12，EF＝7，BD：DF＝2：3，求CD的長(zhǎng)．【解答】10【解析】如圖，作EH⊥AB于H，交CD于G．∵AB、CD、EF都垂直于直線l，∴AB∥CD∥EF，∵EH⊥AB，∴EH⊥CD，∴四邊形EFBH是矩形，四邊形EFDG是矩形，∴BH＝DG＝EF＝7，BD＝HG，DF＝EG，AH＝12﹣7＝5，∵BD：DF＝2：3，∴HG：EG＝2：3，∴EG：EH＝3：5，∵CG∥AH，∴，∴CG＝3，∴CD＝3+7＝10．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC邊上．（1）如圖，若CE⊥AD于點(diǎn)E，求證：DC2＝DE?DA．（2）如圖，線段AD的垂直平分線分別交AB，AC和AD于點(diǎn)F，G，P，若tan∠CAD＝，BD＝2CD，F(xiàn)G＝5，求線段AD的長(zhǎng)度．【解答】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）證明：∵∠C＝90°，CE⊥AD，∴∠ACD＝∠CED＝90°，∵∠ADC＝∠CDE，∴△ADC∽△CDE，∴，∴DC2＝DE?DA；（2）過(guò)點(diǎn)B作MN∥AC，延長(zhǎng)GF交MN于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AD交MN于點(diǎn)N，如圖所示：設(shè)GP＝x，∵tan∠CAD＝，∴AP＝PD＝2x，∴AD＝4x，，∵tan∠CAD＝，∴AC＝2CD，AD2＝AC2+CD2＝4CD2+CD2＝5CD2＝（4x）2，∴CD＝x，∴AC＝x，∵M(jìn)N∥AC，∴∠CAD＝∠BND，∠ACD＝∠NBD，∴△ADC∽△NDB，∴，∴ND＝2AD＝8x，BN＝2AC＝，同理，△APG∽△NPM，∴，即，∴MN＝5x，PM＝5x，∴BM＝，同理，△AFG∽△BFM，∴，即，∴FM＝9，∴PF＝GF﹣GP＝5﹣x，∴PM＝PF+FM，即5x＝5﹣x+9，解得：x＝，∴．8．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，AB＝10，∠COD＝60°，求：（1）弦CD的長(zhǎng)；（2）∠COE的度數(shù)；（3）線段BE的長(zhǎng)（結(jié)果用根號(hào)表示）．【解答】（1）5；（2）∠COE＝30°；（3）5﹣【解析】（1）∵半徑OC＝OD，即△OCD為等腰三角形，又∵∠COD＝60°，∴△OCD為等邊三角形，∴CD＝OC＝AB＝5；（2）∵直徑AB垂直于弦CD于E，∴CE＝ED，又∵OC＝OD，即OE為等腰△OCD的底邊CD上的高，∴OE平分∠COD（三線合一），∵∠COD＝60°，∴∠COE＝30°；（3）在Rt△OCE中，∵＝cos∠COE，∴OE＝OC?cos∠COE＝5?cos30°＝，∴BE＝OB﹣OE＝5﹣．9．如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC交于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠CDB＝∠F．（Ⅰ）求證：FD與⊙O的相切；（Ⅱ）若AB＝10，AC＝8，求FD的長(zhǎng)．【解答】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）DF＝【解析】（Ⅰ）證明：∵∠CDB＝∠CAB，∠CDB＝∠BFD，∴∠CAB＝∠BFD，∴FD∥AC（同位角相等，兩直線平行），∵∠AEO＝90°，∴∠FDO＝90°，∴FD是⊙O的一條切線；（Ⅱ）由垂徑定理可知，E是弦AC的中點(diǎn)，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴，∵OA＝OB，∴OE＝BC＝3，∵AE∥DF，∴，∴，∴DF＝.10．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線PQ相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作PN⊥AB于N，PM⊥AC于點(diǎn)M．求證：BN＝CM．【解答】見(jiàn)解析【解析】證明：∵PA平分∠BAC，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM＝PN，∠N＝∠PMC＝90°，∵PQ垂直平分線段BC，∴PB＝PC，∴Rt△PNB≌Rt△PMC（HL），∴BN＝MC．11．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝CD．（1）求證：DB＝DE；（2）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)D作DF垂直于BE，垂足為F；（保留作圖留痕跡，不寫(xiě)作法）（3）若CF＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）36【解析】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°．∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E．又∵∠BCD＝∠CDE+∠E，∴．∴∠DBC＝∠E．∴DB＝DE．（2）如圖所示．（3）∵DF⊥BE，由（1）知，DB＝DE，∴DF垂直平分BE．∴在Rt△DFC中，∠CDF＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°．∴DC＝2CF＝6．∵AD＝CD，∴AC＝2CD＝12．∴C△ABC＝3AC＝36．12．如圖，在△ABC中，AB＞AC，邊BC的垂直平分線DE交△BAC的外角∠BAM平分線于點(diǎn)D，垂足為E，DF⊥