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文檔簡介
專題1.1等腰三角形重難點題型【北師大版】【知識點1等腰三角形】(1)定義:有兩邊相等的三角形,叫做等腰三角形.(2)等腰三角形性質①等腰三角形的兩個底角相等,即“等邊對等角”;②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合(簡稱“三線合一”).特別地,等腰直角三角形的每個底角都等于45°.(3)等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(即“等角對等邊”).【題型1等腰三角形的性質(角度問題)】【例1】(2021?紹興)如圖,在△ABC中,∠A=40°,點D,E分別在邊AB,AC上,BD=BC=CE,連結CD,BE.(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度數(shù);(2)寫出∠BEC與∠BDC之間的關系,并說明理由.【變式11】(2020春?益陽期末)如圖,已知∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O,EF過點O且EF∥BC.(1)若∠ABC=50°,∠ACB=60°,求∠BOC的度數(shù);(2)若∠BOC=130°,∠1:∠2=3:2,求∠ABC、∠ACB的度數(shù).【變式12】(2020春?寧德期末)如圖,已知等腰△ABC中,AB=AC,∠A<90°,CD是△ABC的高,BE是△ABC的角平分線,CD與BE交于點P.當∠A的大小變化時,△EPC的形狀也隨之改變.(1)當∠A=44°時,求∠BPD的度數(shù);(2)設∠A=x°,∠EPC=y(tǒng)°,求變量y與x的關系式;(3)當△EPC是等腰三角形時,請直接寫出∠A的度數(shù).【變式13】(2020秋?倉山區(qū)期中)如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD相交于點E,AC=AD,∠BAC=∠BDC=α,∠CAD=β.(1)求證:∠ABD=∠ADC;(2)當∠AED=65°時,求β﹣2α的度數(shù);(3)α+2β=180°時,求證:BD=CD.【題型2等腰三角形的性質(周長問題)】【例2】(2020秋?羅莊區(qū)期中)如圖,在△ABC中,AB=BC,中線AD將這個三角形的周長分成18和15兩部分,則AC的長為.【變式21】(2020春?臥龍區(qū)期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=4cm,將△ABC沿BC方向平移得到△DEF,若DE=6cm,EC=1cm,則四邊形ABFD的周長為cm.【變式22】(2020秋?延津縣期中)一個等腰三角形的周長為28cm.(1)如果底邊長是腰長的1.5倍,求這個等腰三角形的三邊長;(2)如果一邊長為10cm,求這個等腰三角形的另兩邊長.【變式23】(2020春?東營期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,DE是邊AB的垂直平分線,交AB于E、交AC于D,連接BD.(1)若∠A=40°,求∠DBC的度數(shù);(2)若△BCD的周長為16cm,△ABC的周長為26cm,求BC的長.【題型3等腰三角形的性質(多結論問題)】【例3】(2021春?商河縣期末)如圖,△ABC中,AB=AC,∠B=40°,D為線段BC上一動點(不與點B,C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE交線段AC于E,以下四個結論:①∠CDE=∠BAD;②當D為BC中點時,DE⊥AC;③當△ADE為等腰三角形時,∠BAD=20°;④當∠BAD=30°時,BD=CE.其中正確的結論的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【變式31】(2020春?宿州期中)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F,則下列四個結論中,①AB上一點與AC上一點到D的距離相等;②AD上任意一點到AB、AC的距離相等;③∠BDE=∠CDF;④BD=CD,AD⊥BC.其中正確的個數(shù)是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【變式32】(2020春?開福區(qū)校級期末)如圖,CE、CB分別是△ABC和△ADC的中線,且AC=AB,則下列結論中:①BC=BD;②∠ECB=∠BCD;③∠ACE=∠BDC;④CD=2CE.正確結論的序號為.【變式33】如圖,△ABC中,AB=AC,∠B=40°,D為線段BC上一動點(不與點B,C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE交線段AC于E.以下四個結論:①∠CDE=∠BAD;②當D為BC中點時,DE⊥AC;③當∠BAD=30°時,BD=CE;④當△ADE為等腰三角形時,∠BAD=30°.其中正確的結論是(把你認為正確結論的序號都填上).【題型4等腰三角形的性質(三線合一問題)】【例4】(2019秋?紅花崗區(qū)校級期中)如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊上的中點,連結AD,BE平分∠ABC交AC于點E,過點E作EF∥BC交AB于點F.(1)若∠C=40°,求∠BAD的度數(shù);(2)求證:FB=FE.【變式41】(2020秋?伊犁州期末)如圖,已知:△ABC中,AB=AC,BD和CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,且相交于O點.①試說明△OBC是等腰三角形;②連接OA,試判斷直線OA與線段BC的關系,并說明理由.【變式42】如圖,在△ABC中,點D是AB的中點,點F是BC延長線上一點,連接DF,交AC于點E,連接BE,∠A=∠ABE(1)求證:ED平分∠AEB;(2)若AB=AC,∠A=38°,求∠F的度數(shù).【變式43】(2021春?宣漢縣期末)如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,點E、F分別是邊AB、AC上的點,且EF∥BC.(1)試說明△AEF是等腰三角形;(2)試比較DE與DF的大小關系,并說明理由.【題型5等腰三角形的判定(個數(shù)問題)】【例5】(2020秋?匯川區(qū)期末)如圖所示的正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格的交點稱為格點,已知A,B是兩格點,如果C也是圖中的格點,且使得△ABC為等腰三角形,則符合條件的點C的個數(shù)是()A.6 B.7 C.8 D.9【變式51】(2020秋?西華縣期中)如圖,在平面直角坐標系中,點A,B分別在y軸和x軸上,∠ABO=60°,在坐標軸上找一點P,使得△PAB是等腰三角形,則符合條件的P點的個數(shù)是()A.5 B.6 C.7 D.8【變式52】(2020春?蘄春縣期中)已知在平面直角坐標系xOy中,O(0,0),A(4,3)點B在x軸或y軸上移動,若O、A、B三點可構成等腰三角形,則符合條件的B點有()A.9個 B.8個 C.7個 D.6個【變式53】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C為原點,AC所在直線為y軸,BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系,在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形,符合條件的M點有()A.6個 B.7個 C.8個 D.9個【題型6等腰三角形的判定(證明問題)】【例6】(2021春?新城區(qū)期中)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,點E在BC上,點F在AB的延長線上,連接AE,CF,且AE=CF,BF=BE.求證:△ABC是等腰三角形.【變式61】(2020秋?鼓樓區(qū)校級期中)如圖,在△ABC中,點E在AB上,點D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD與CE相交于點F.(1)證明:BA=BC;(2)求證:△AFC為等腰三角形.【變式62】(2020秋?包河區(qū)期末)如圖,在△ABC中,已知點D在線段AB的反向延長線上,過AC的中點F作
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