押江蘇南京中考數(shù)學第14-15題（幾何圖形）-2022年中考數(shù)學臨考題號押題（江蘇南京專用）

押江蘇南京中考數(shù)學第1415題幾何圖形近幾年南京中考的第1415題一般主要考查幾何圖形中線段和角的計算，難度不大，主要包括平行線的性質(zhì)和判定、三角形和四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用、圓的有關(guān)計算和性質(zhì)等。例如2021年南京中考的第14題考查了多邊形內(nèi)角和問題和切線的性質(zhì)定理，第15題考查了根據(jù)等邊對等角求角度；又如2020年南京中考第14題考查了正六邊形的面積的計算，第15題考查線段垂直平分線的性質(zhì)和角的計算；2019年中考第14題考查了圓中有關(guān)切線的性質(zhì)，第15題考查了三角形垂直平分線的性質(zhì)；2018年中考第14題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，第15題考查了正五邊形中角的計算等。解此類題型要求考生熟練掌握幾何圖形的基本性質(zhì)和判定，例如線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，角平分線上的點到角兩邊的距離相等；掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定，例如等腰對等邊，三線合一等性質(zhì)以及有兩個角相等的三角形是等腰三角形等判定定理；掌握平行四邊形、矩形、菱形及正方形的性質(zhì)和判定；圓的有關(guān)計算和圓的有關(guān)性質(zhì)等。1．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，是五邊形的外接圓的切線，則______．【答案】【分析】由切線的性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個角的和等于5個直角減去五邊形的內(nèi)角和的一半．【解析】如圖：過圓心連接五邊形的各頂點，則．故答案為：．2．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，在四邊形中，．設(shè)，則______（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】由等腰的性質(zhì)可得：∠ADB=，∠BDC=，兩角相加即可得到結(jié)論．【解析】解：在△ABD中，AB=BD∴∠A=∠ADB=在△BCD中，BC=BD∴∠C=∠BDC=∵∴====故答案為：．3．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，是的弦，C是的中點，交于點D．若，則的半徑為________．【答案】5【分析】連接OA，由垂徑定理得AD=4cm，設(shè)圓的半徑為R，根據(jù)勾股定理得到方程，求解即可【解析】解：連接OA，∵C是的中點，∴∴設(shè)的半徑為R，∵∴在中，，即，解得，即的半徑為5cm故答案為：54．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB與CD不平行，P、M、N分別是AD、BD、AC的中點，設(shè)△PMN的面積為S，則S的范圍是___．【答案】0＜S≤2【分析】過點M作ME⊥PN于E，根據(jù)三角形的中位線定理得出PM=PN=AB=CD=2，再根據(jù)三角形的面積公式得出S==ME，結(jié)合已知和垂線段最短得出S的范圍；【解析】解：過點M作ME⊥PN于E，∵P、M、N分別是AD、BD、AC的中點，AB＝CD＝4，∴PM=PN=AB=CD=2，∴△PMN的面積S==ME，∵AB與CD不平行，∴四邊形ABCD不是平行四邊形，∴M、N不重合，∴ME＞0，∵ME≤MP=2，∴0＜S≤25．（2021·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，D是上一點（點D與點A不重合）．若在的直角邊上存在4個不同的點分別和點A、D成為直角三角形的三個頂點，則長的取值范圍是________．【答案】＜AD＜2【分析】以AD為直徑，作與BC相切于點M，連接OM，求出此時AD的長；以AD為直徑，作，當點D與點B重合時，求出AD的長，進入即可得到答案．【解析】解：以AD為直徑，作與BC相切于點M，連接OM，則OM⊥BC，此時，在的直角邊上存在3個不同的點分別和點A、D成為直角三角形，如圖，∵在中，，∴AB=2，∵OM⊥BC，∴，設(shè)OM=x，則AO=x，∴，解得：，∴AD=2×=，以AD為直徑，作，當點D與點B重合時，如圖，此時AD=AB=2，∴在的直角邊上存在4個不同的點分別和點A、D成為直角三角形的三個頂點，則長的取值范圍是：＜AD＜2．故答案是：＜AD＜2．6．（2021·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，，，，點E在線段上，且，D是線段上的一點，連接，將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，當點G恰好落在線段上時，________．【答案】【分析】過點F作FM⊥AC于點M，由折疊的性質(zhì)得FG=，∠EFG=，EF=AE=1，再證明，得，，進而即可求解．【解析】解：過點F作FM⊥AC于點M，∵將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，當點G恰好落在線段上，∴FG=，∠EFG=，EF=AE=1，∴EG=，∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，∴，∴，∴=，，∴AM=AE+EM=，∴．故答案是：．1．（2022·江蘇南京·一模）如圖，有一塊四邊形的鐵板余料ABCD．經(jīng)測量，AB＝50cm，BC=54cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝，M、N邊BC上，頂點P在CD上，頂點Q在AB上，且面積最大的矩形PQMN面積為cm2．【答案】486【分析】設(shè)QM=PN=4k，BM=CN=3k，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．【解析】解：如圖，∵四邊形MNPQ是矩形，tanB=tanC=，∴設(shè)QM=PN=4k，BM=CN=3k，∴MN=546x，∴S矩形MNPQ=4k(546k)=24(k)2+486，∵24＜0，∴k=時，矩形MNPQ的面積最大，最大值為486cm2，此時BQ=PC=5k=，符合題意，∴矩形MNPQ的面積的最大值為486cm2．故答案為：486．2．（2022·江蘇南京·一模）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝5，AB＝8，則AC的長為______．【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理得出AE=BE=，然后利用勾股定理先求OE=3，再求CE，根據(jù)勾股定理求AC即可．【解析】解：設(shè)AB與CD交于E，∵CD是⊙O的直徑，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，∴AE=BE=，在Rt△OEB中，根據(jù)勾股定理OE=，∴CE=OC+OE=5+3=8，在Rt△AEC中，AC=，故答案為．3．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，為延長線上一點，若，則______【答案】80【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補和鄰補角的性質(zhì)求解．【解析】解：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，又故答案為：．4．（2022·江蘇揚州·一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝4，點M是AB邊上一動點，連接CM，以AM為直徑的⊙O交CM于點N，則線段BN的最小值為____．【答案】【分析】如圖1，連接AN，根據(jù)AM是⊙O的直徑，得到∠ANM=90°，根據(jù)鄰補角的定義得到∠ANC=90°，根據(jù)圓周角定理得到點N在以AC為直徑的上，推出當點、N、B共線時，BN最小，如圖2，延長BA，過點作交BA的延長線于點D，求出AD的長度，進而求出BD的長度，利用勾股定理求出，即可得到結(jié)論．【解析】如圖1，連接AN，如圖1所示：∵AM是⊙O的直徑，∴∠ANM=90°，∴∠ANC=90°，∴點N在以AC為直徑的⊙上，∵⊙O'的半徑為2，∴當點O'、N、A共線時，AN最小，延長BA，過點作交BA的延長線于點D，如圖2所示：，，，，，，，，，∴，即線段AN長度的最小值為．故答案為．5．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖．有一個三角形紙片，，，將紙片一角折疊，使點落在外，若，則的大小為______．【答案】【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可出；再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，再利用三角形的內(nèi)角和定理以及外角性質(zhì)得，，即可得到，然后利用平角的定義即可求出．【解析】解：如圖，，，∴；又將三角形紙片的一角折疊，使點落在外，∴而，，，，，．故答案為：6．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠BOD＝∠A，則sinC＝______．【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BOD+∠BOD=180°，于是得到∠C=∠BOD=60°，從而可得結(jié)論．【解析】解：∵∠C=∠BOD，∠BOD=∠A，∠C+∠A=180°，∴∠BOD+∠BOD=180°，∴∠BOD=120°，∴∠C=∠BOD=60°，∴故答案為：．7．（2022·江蘇淮安·一模）如圖，點在線段上，且，分別以、為邊在線段的同側(cè)作正方形、，連接、，則sin∠CEG=______．【答案】【分析】連接，設(shè)，由正方形的性質(zhì)可以求得∠ECG=90°，及CE、CG的長；然后由勾股定理求出EG的長，便可解答；【解析】解：連接，如圖：四邊形、是正方形，，，由，設(shè)，則，，，，，故答案為：．8．（2022·江蘇宿遷·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，在邊BC上取點P，使∠DAP的平分線過DC的中點Q，則線段BP的長等于_____．【答案】【分析】通過證明△CQE∽△DQA，可求CE＝AD＝3，由平行線和角平分線的性質(zhì)可得AP＝PE，由勾股定理可求解．【解析】解：如圖，延長BC，AQ交于點E，∵點Q是CD中點，∴CQ＝DQ，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，BC＝AD＝3，∴△CQE∽△DQA，∴1，∴CE＝AD＝3，∴BE＝6，∵AQ平分∠PAD，∴∠PAQ＝∠DAQ，∵BC∥AD，∴∠E＝∠DAQ，∴∠E＝∠PAQ，∴AP＝PE，在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2，∴（6﹣BP）2＝4+BP2，∴BP，故答案為：．（限時：20分鐘）1．（2022·廣西崇左·一模）如圖，已知正方形邊長為，為邊上一點，將以點為中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，分別交，于點，若，則______．【答案】【分析】過點作于點，則，設(shè)，則，證明點、、在同一條直線上，再證明∽，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列方程求出的值，即得到的長，再求出的長，可證明是等腰直角三角形，即可求得的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，再求出的值即可．【解析】解：如圖，過點作于點，則，四邊形是正方形，且正方形的邊長為，，，，，，設(shè)，則，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，點、、在同一條直線上，，，∽，，，整理得，解得，不符合題意，舍去，，，，，，，故答案為：．2．（2022·貴州遵義·一模）如圖，在正方形內(nèi)有一點，，點是的中點，且．連接，則的最小值為______．【答案】【分析】由“兩點之間線段最短”，可知點P在線段DM上，PD值最?。鶕?jù)題意和正方形的性質(zhì)可證∠PAM=∠APM，進而可得PM=AM=，再根據(jù)勾股定理求得DM的值，即可得PD的最小值．【解析】解：如圖，由“兩點之間線段最短”，可知點P在線段DM上，PD值最小設(shè)∠PAD=x，則∠PMA=2∠PAD=2x∵四邊形ABCD為正方形∴∠B=∠BAD=90，AB=AD=2∴∠PAM=∠BAD?∠PAD=90?x∴∠APM=180?（∠PMA+∠PAM）=180?（2x+90?x）=90?x∴∠PAM=∠APM∴AM=PM又∵點M為AB中點∴AM=PM==1在RtMAD中，由勾股定理可得DM=∴PD=DM?PM=3．（2022·湖北武漢·一模）如圖，已知中，，，為邊上一點，若⊙O分別與，相切于，，則⊙O的半徑為______．【答案】【分析】過點作于點，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形面積公式，求解即可．【解析】解：過點作于點，連接，，，，，∴，∴分別與，相切于，，，.，，，故答案為：．4．（2022·四川綿陽·一模）如圖，如果邊長為1的正六邊形ABCDEF繞著頂點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后與正六邊形AGHMNP重合，點E在整個旋轉(zhuǎn)過程中，所經(jīng)過的路徑長為________（結(jié)果保留π）．【答案】【分析】連接AE、AN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得點E在整個旋轉(zhuǎn)過程中，所經(jīng)過的路徑長為弧EN的長，過點F作FH′⊥AE于點H′，根據(jù)特殊角三角函數(shù)求出AE的長，再根據(jù)弧長公式即可求得點E所經(jīng)過的路徑長．【解析】解：如圖，連接AE、AN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：點E在整個旋轉(zhuǎn)過程中，所經(jīng)過的路徑長為弧EN的長，過點F作FH′⊥AE于點H′，在Rt△AFH′中，AF＝1，∠H′AF＝30°，∴AH′＝AF?cos30°＝1×，∵AF＝FE，∴AE＝2AH′＝，∴．所以點E在整個旋轉(zhuǎn)過程中，所經(jīng)過的路徑長為．故答案為：．5．（2022·安徽合肥·一模）如圖，在等腰ABO中，AO＝AB，OB＝6，以O(shè)B為半徑作⊙O交AB于點C，若BC＝4，則cosA＝_______【答案】【分析】連接OC，可證明△OBC∽△ABO，得到∠BOC＝∠A，再過點C作CH⊥OB，垂足為H，則∠OHC＝∠BHC＝90°設(shè)OH＝x，則HB＝6x，由勾股定理得6x＝4（6x），求出x，求得cos∠COH，得到答案．【解析】解：連接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵AO＝AB，∴∠AOB＝∠B，∴∠OCB＝∠AOB，∵∠OBC＝∠ABO∴△OBC∽△ABO，∴∠BOC＝∠A，過點C作CH⊥OB，垂足為H，則∠OHC＝∠BHC＝90°設(shè)OH＝x，則HB＝6x，由勾股定理得∴6x＝4（6x），解得x＝，在Rt△OHC中，cos∠COH＝，∵∠BOC＝∠A，∴cosA＝故答案：．6．（2022·浙江金華·一模）如圖，點D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE．若△ABC的周長為，則△DCE的周長為________．【答案】4【分析】三角形重心定義：三角形三條中線的交點；利用三角形中位線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求得CD∶DF=2∶1，進而求得△CDE和△CAB的相似比，即可解答；【解析】解：如圖，AG是BC邊上的中線，CF是AB邊上的中線，連接GF，由題意得：GF是三角形的中位線，GF∥AC，∴△ADC∽△GDF，∴CD∶DF=AC∶GF=2∶1，設(shè)CD=2x，則DF=x，CF=3x，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=CF=x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△CDE是等腰直角三角形，∴△CDE∽△CAB，CD∶CA=2x∶x=2∶，∴兩三角形周長比=2∶，∵△ABC的周長為，∴△CDE的周長為4，故答案為：4．7．（2022·陜西西安·一模）如圖，正方形ABCD的邊長為16，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，且AF＝8，AE＝6，若點P，Q分別在線段BC，CD上運動，G為線段PF上的點，在運動過程中，始終保持∠GEB＝∠GFA，則線段GQ的最小值為____．【答案】7【分析】先證A、E、G、F四點共圓，取EF的中點為O，以EF為直徑作圓O，如圖1，連接OG，OQ，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：GQ≥OQ﹣OG，因為OG為定值，當O、Q、G三點共線，且OQ⊥CD時，OQ最小，GQ最小，如圖2，根據(jù)勾股定理可得OG值，再根據(jù)三角形相似求出OH值，即可得出結(jié)論．【解析】解：如圖1，∵∠GEB＝∠GFA，∠GEB+∠AEG＝180°，∴∠AEG+∠GFA＝180°，∴∠BAF+∠FGE＝180°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD=∠FGE＝90°，∴△AEF和△GEF為直角三角形取EF的中點為O，∴OA、OG分別為Rt△AEF和Rt△GEF斜邊中線，∴∴A、E、G、F四點共圓，以EF為直徑作圓O，如圖1，連接OG，OQ，∵GQ≥OQ﹣OG，∵OG是定值，OG＝EF＝＝，即當O、Q、G三點共線，且OQ⊥CD時，OQ最小，GQ最小，如圖2，GQ最小，延長QO交AB于H，則OH⊥AE，∴∵∴∽∴∴OH＝AF＝4，∴GQ＝HQOHOG=16﹣4﹣5＝7；即線段GQ的最小值為7．故答案為：7．8．（2022·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，四邊形中，，連接于點，，則的長為_______．【答案】5【分析】如圖：過點A作AG⊥CD交CD的延長線于點G、延長BE交CD于點F，根據(jù)題意說明△BCF、△DEF、△ADG是等腰直角三角形，設(shè)DE=EF=并表示出BC、BF、BE，再說明△AEB∽△AGC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求出x，最后代入BC=3+2x求解即可．【解析】解：如圖：過點A作AG⊥CD交CD的延長線于點G，延長BE交CD于點F，∵∠BED=90°，∠BCD=90°，∴∠EBC+∠EDC=180°，∵∠EDF+∠EDC=180°，∴∠EBC=∠EDF，∵∠ABE=∠ACD，∠BAC=45°，∴∠EFD=∠BAC=45°，∴∠EDF=45°，∴△BCF、△DEF、△ADG是等腰直角三角形，設(shè)DE=EF=，則：∵，∴，∴BC=CF=3+2x，CG=CD+DG=5+x，∴,，在△AEB和△AGC中，∠AEB=∠AGC=90°，∠ABE=∠ACG，∴△AEB∽△AGC，∴，即解得x=1或x=4（舍去），∴BC=3+2x=5．故答案為：5．9．（2022·安徽·合肥市第四十二中學一模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點P在BC上，的面積是，則弧EF的長__________．【答案】【分析】連接BF，EC，BE，OF，利用正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，證明，再求出圓的半徑，利用弧長公式求解即可．【解析】解：連接BF，EC，BE，OF，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴，BE為直徑，∵，∴，∴，同理：，∴BFEC為矩形，∴，即，∵ABCDEF是正六邊形，∴，為等邊三角形，設(shè)半徑為r，則，，由可得：，∴的長為，故答案為：．10．（2022·江蘇揚州·一模）如圖，等腰Rt△AOD的直角邊OA長為2，扇形BOD的圓心角為90°，點P是線段OB的中點，PQ⊥AB，且PQ交弧DB于點Q．則圖中陰影部分的面積是______．【答案】【分析】連接，根據(jù)，求得，然后根據(jù)陰影部分面積等于求解即可．【解析】如圖，連接，點P是線段OB的中點，等腰Rt△AOD的直角邊OA長為2，PQ⊥AB，扇形BOD的圓心角為90°，圖中陰影部分的面積是故答案為：11．（2022·河南洛陽·一模）如圖，菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝3，點M為射線CD上一個動點，連接BM，點C關(guān)于BM的對稱點為N．連接BN，MN，當MN⊥CD時，則以點B為圓心的劣弧NC的弧長為_____．【答案】或【分析】分兩種情況討論：如圖，當在線段CD上時，如圖，當在線段的延長線上時，再分別求解，再利用弧長公式求得即可．【解析】解：菱形ABCD中，∠A=30°，AB=3，∴BC=AB=3，∠BCD=∠A=30°，∵點C關(guān)于BM的對稱點為N，∴∠BNM=∠BCM=30°，

∵MN⊥CD，∴∠CMN=90°，如圖，當在線段CD上時，連接CN，∴劣弧NC的弧長為：如圖，當在線段的延長線上時，同理可得：∴劣弧NC的弧長為：故答案為：或．12．（2022·河南洛陽·一模）如圖，兩塊完全一樣的含30°角的三角板完全重疊在一起，若繞長直角邊中點M轉(zhuǎn)動，使上面一塊三角板的斜邊剛好經(jīng)過下面一塊三角板的直角頂點，已知∠A＝30°，BC＝2，則此時兩直角頂點C，C'間的距離是_____．【答案】【分析】先求解，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得可證是等邊三角形，即可求的長．【解析】解：如圖，連接，∵點M是AC中點，∴AM=CM=，∵旋轉(zhuǎn)，∴∴，∴，∴，∴是等