第07講圓的確定與圓心角弧弦弦心距之間的關(guān)系（4大考點）

第07講圓的確定與圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系（4大考點）考點考點考向一．圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．二．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．三．點與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．四．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．考點考點精講一．圓的認識（共1小題）1．（2020秋?浦東新區(qū)月考）下列說法正確的是（）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑 C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧【分析】利用圓的有關(guān)定義分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；B、過圓心的弦是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；C、弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；D、長度相等的兩條弧不一定是等弧，故原命題錯誤，不符合題意．故選：A．【點評】考查了圓的認識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)，難度不大．二．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共6小題）2．（2021?浦東新區(qū)模擬）下列四個命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對的優(yōu)弧相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，正確，是真命題，符合題意；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，真命題有3個，故選：C．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)性質(zhì)，難度不大．3．（2020秋?浦東新區(qū)月考）下列關(guān)于圓的說法中，錯誤的是（）A．半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧 B．如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等 C．圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線 D．拱形不一定是弓形【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對A、B進行判斷；根據(jù)過圓心的直線都為圓的對稱軸可對B進行判斷；根據(jù)拱形與弓形的定義對D進行判斷．【解答】解：A．半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧，所以A選項不符合題意；B．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等，所以B選項符合題意；C．圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以C選項不符合題意；D．拱形加上跨度為弓形，所以D選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．也考查了軸對稱．4．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知OA，OB，OM均是⊙O的半徑，OA⊥OB，＝．如果+＝k，那么k的值是或﹣．【分析】分別討論點M在劣弧AB上或點M在優(yōu)弧AB上兩種情況，再利用平面向量的定義即可得出答案．【解答】解：當點M在劣弧AB上時，過點A作AC∥OB且AC＝OB，連接BC，如圖．∵OA，OB，OM均是⊙O的半徑，∴OA＝OB＝OM，∵OA⊥OB，＝，∴點O，M，C三點在同一條直線上，+＝，設圓O的半徑為x，∴＝x，，∴||＝，∴k＝．當點M在優(yōu)弧AB上時，過點A作AC∥OB且AC＝OB，連接BC，如圖．同理可得，點O，M，C三點在同一條直線上，設圓O的半徑為x，則＝x，，∴||＝，∴，∴k＝﹣．故答案為：或﹣．【點評】本題考查圓的定義、平面向量的定義，熟練掌握圓的定義和平面向量的定義是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）⊙O中，點C在直徑AB上，AC＝3BC，過點C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝120度．【分析】連接OE，OF，根據(jù)AC＝3BC，得BC＝OC＝OA，根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得∠OEF＝30°，進而得出∠EOF的度數(shù)．【解答】解：連接OE，∵EF⊥AB，AC＝3BC，∴BC＝OC＝OA，∴∠OEF＝30°，∴∠EOF＝180°﹣2∠OEF＝120°．故答案為：120．【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理，掌握定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．6．（2022?寶山區(qū)模擬）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝，tanC＝2，⊙O過點A、C，交BC邊于點D．且，求CD的長．【分析】如圖，連接AC，延長AO交BC于點E．根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性質(zhì)證得AE是CD的中垂線．在直角△AEC中根據(jù)勾股定理求得線段CE的長度，進而根據(jù)垂徑定理來求線段CD的長度．【解答】解：如圖，連接AD，延長AO交BC于點E．∵，∴AD＝AC，∵點O是等腰△ACD的外心，∴AE⊥CD，且CD＝2CE．∴在直角△ABE中，∠B＝45°，AB＝，則AE＝4．∵tanC＝2，∴＝2，即AE＝2CE，∴CD＝AE＝4，即線段CD的長度是4．【點評】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形以及圓心角、弧、弦間的關(guān)系．注意解題過程中要證明一下AE是線段CD的中垂線．7．（2022春?長寧區(qū)校級月考）如圖，已知⊙O經(jīng)過△ABC的頂點A、B，交邊BC于點D，點A恰為的中點，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半徑．【分析】如圖，連接OA．交BC于H．首先證明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，設⊙O的半徑為r，在Rt△BOH中，根據(jù)BH2+OH2＝OB2，構(gòu)建方程即可解決問題；【解答】解：如圖，連接OA．交BC于H．∵點A為的中點，∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，∴∠AHC＝∠BHO＝90°，∵sinC＝＝，AC＝9，∴AH＝3，設⊙O的半徑為r，在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，∴42+（r﹣3）2＝r2，∴r＝，∴⊙O的半徑為．【點評】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系、垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．三．點與圓的位置關(guān)系（共8小題）8．（2022?寶山區(qū)模擬）在直角坐標平面內(nèi)，如果點B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞﹣1 B．a(chǎn)＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．【分析】由點B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)知|a﹣1|＜2，據(jù)此可得答案．【解答】解：∵點B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，∴|a﹣1|＜2，則﹣2＜a﹣1＜2，解得﹣1＜a＜3，故選：C．【點評】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r．9．（2022?嘉定區(qū)校級模擬）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，點P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）A．點B，C均在圓P外 B．點B在圓P外，點C在圓P內(nèi) C．點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外 D．點B，C均在圓P內(nèi)【分析】由AB＝8，BP＝3AP得到AP＝2，BP＝6，再根據(jù)勾股定理，在Rt△ADP中計算出PD＝7，在Rt△PBC中計算出PC＝9，則PC＞PD＞PB，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行判斷．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝3，∵AB＝8，BP＝3AP，∴AP＝2，BP＝6，在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝3，∴PD＝＝7，在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝3，∴PC＝＝9，∴PC＞PD＞PB，∴點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外．故選：C．【點評】本題考查了點與圓的位置：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．10．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝6，BC＝8，現(xiàn)以點A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，那么⊙A半徑r的取值范圍是6＜r＜10．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的長，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得出答案．【解答】解：如圖，連結(jié)AC，BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10，∵以點A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點在圓內(nèi)，∴r＞6，∵至少有一點在圓外，∴r＜10，∴⊙A半徑r的取值范圍是：6＜r＜10．故答案為：6＜r＜10．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，掌握點與圓的位置關(guān)系有3種，設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r是解題的關(guān)鍵．11．（2022?黃浦區(qū)二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cotB＝，如果頂點C在⊙B內(nèi)，頂點A在⊙B外，那么⊙B的半徑r的取值范圍是10＜r＜13．【分析】過點A作AD⊥BC于點D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BD＝CD＝BC＝5，根據(jù)cotB＝求出AD的長，根據(jù)勾股定理求出AB的長，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得出答案．【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，∵AB＝AC，BC＝10，∴BD＝CD＝BC＝5，∵cotB＝＝＝，∴AD＝12，∴AB＝＝＝13，∵頂點C在⊙B內(nèi)，頂點A在⊙B外，∴10＜r＜13．故答案為：10＜r＜13．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握點與圓的位置關(guān)系有3種，設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r是解題的關(guān)鍵．12．（2022?寶山區(qū)模擬）已知圓O的半徑為5，點A在圓O外，如果線段OA的長為d，那么d的取值范圍是d＞5．【分析】根據(jù)點在圓外，d＞r，可得結(jié)論．【解答】解：∵點A在圓外，∴d＞5，故答案為：d＞5．【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記?。狐c與圓的位置關(guān)系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r．③點P在圓內(nèi)?d＜r．13．（2021?浦東新區(qū)三模）已知點C在線段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C經(jīng)過點A，那么點B與⊙C的位置關(guān)系是點B在⊙C外．【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，∵點C在線段AB上，且0＜AC＜AB，∴BC＞AC，∴點B在⊙C外，故答案為：點B在⊙C外．【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，當d＞r時點P在圓外；當d＜r時點P在圓內(nèi)是解答此題的關(guān)鍵．14．（2021?上海模擬）已知點P在半徑為5的⊙O外，如果設OP＝x，那么x的取值范圍是x＞5．【分析】根據(jù)點在圓外的判斷方法得到x的取值范圍．【解答】解：∵點P在半徑為5的⊙O外，∴OP＞5，即x＞5．故答案為x＞5．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．15．（2022春?長寧區(qū)校級期中）已知：如圖，E是菱形ABCD內(nèi)一點，∠BEC＝90°，DF⊥CE，垂足為點F，且DF＝CE，聯(lián)結(jié)AE．（1）求證：菱形ABCD是正方形；（2）當F是線段CE的中點時，求證：點F在以AB為半徑的⊙A上．【分析】（1）先利用HL證明Rt△BCE≌Rt△CDF，可證得∠BCD＝90°，進而可證明結(jié)論；（2）連接AF，ED，利用SAS證明△ABE≌△AFE可得AF＝AB，進而可證明結(jié)論．【解答】（1）證明：∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF+∠FCD＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠CFD，∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝CD，在Rt△BCE和Rt△CDF中，，∴Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），∴∠BCE＝∠CDF，∵∠BCE+∠FCD＝90°，∴∠BCD＝90°，∴菱形ABCD為正方形；（2）連接AF，ED，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∵F為CE的中點，DF⊥CE，∴DF是CE的垂直平分線，∴DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∠DEC+∠DCE+∠CDE＝180°，∴∠AED＝，∠DEC＝，∴∠AEF＝∠AED+∠DE＝180°﹣（∠ADE+∠CDE）＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠AEF＝∠AEB，∵△BCE≌△CDF，∴BE＝CF＝FE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴AB＝AF，∴點F在以AB為半徑的⊙A上．【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．四．三角形的外接圓與外心（共6小題）16．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）三角形的外心是（）A．三條中線的交點 B．三個內(nèi)角的角平分線的交點 C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三條高的交點【分析】根據(jù)三角形的外心的定義（三角形的外心是指三角形三邊的垂直平分線的交點）即可得出答案．【解答】解：∵三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點，∴選項A錯誤；選項B錯誤；選項C正確；選項D錯誤；故選：C．【點評】本題考查了對三角形的外接圓與外心的應用，主要考查學生的理解能力和記憶能力，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目，學生容易把三角形的外心和三角形的內(nèi)心相混淆．17．（2022?長寧區(qū)模擬）如圖，⊙O的半徑為10cm，△ABC內(nèi)接于⊙O，圓心O在△ABC內(nèi)部．如果AB＝AC，BC＝12cm，那么△ABC的面積為108cm2．【分析】連接AO并延長交BC于D，連接OB，根據(jù)勾股定理的推論得到AD⊥BC，根據(jù)垂徑定理求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD，進而求出AD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】解：連接AO并延長交BC于D，連接OB，∵AB＝AC，∴＝，∴AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝6cm，在Rt△OBD中，OD＝＝8（cm），∴AD＝18cm，∴S△ABC＝×12×18＝108（cm2），故答案為：108．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理的推論、勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022春?虹口區(qū)期中）半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為4．【分析】欲求△ABC的邊長，把△ABC中BC邊當弦，作BC的垂線，在Rt△BOD中，求BD的長；根據(jù)垂徑定理知：BC＝2BD，從而求正三角形的邊長．【解答】解：如圖所示：∵半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形，∴∠ADB＝90°，OB＝4，∠OBD＝30°，∴BD＝cos30°×OB＝×4＝2，∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝4，即它的內(nèi)接正三角形的邊長為4．故答案為：4．【點評】本題主要考查了正多邊形和圓，根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出∠OBD＝30°是解題關(guān)鍵，此題難度一般，是一道比較不錯的試題．19．（2022?松江區(qū)二模）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC＝8，OA＝5．（1）求∠BAO的正弦值；（2）求弦BC的長．【分析】（1）延長AO交BC于點D，連接OB，過O點作OE⊥AB，利用垂徑定理可求解AE的長，由勾股定理可求解OE的長，再根據(jù)正弦的定義可求解；（2）由圓的基本概念可得AD⊥BC，BC＝2BD，利用（1）的結(jié)論可求解BD的長，進而可求解．【解答】解：（1）延長AO交BC于點D，連接OB，過O點作OE⊥AB，∵AB＝AC＝8，∴AE＝AB＝4，∵AO＝5，∴OE＝，∴sin∠BAO＝；（2）∵AB＝AC，∴AD⊥BC，BC＝2BD，∴sin∠BAO＝，解得BD＝，∴BC＝．【點評】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，作合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．20．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，已知△ABC外接圓的圓心O在高AD上，點E在BC延長線上，EC＝AB．（1）求證：∠B＝2∠AEC；（2）當OA＝2，cos∠BAO＝時，求DE的長．【分析】（1）由三角形的外接圓的性質(zhì)可判定AD⊥BC，BD＝CD，即可得AB＝AC，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB，∠CAE＝∠AEC，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）連接OB，由特殊角的三角函數(shù)值可得∠BAO＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可求解∠OBC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的而性質(zhì)可求解AD，CD，進而可求解．【解答】（1）證明：∵△ABC外接圓的圓心O在高AD上，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵EC＝AB，∴AC＝EC，∴∠CAE＝∠AEC，∵∠ACB＝∠AEC+∠CAE＝2∠AEC，∴∠ABC＝2∠AEC；（2）解：連接OB，∵cos∠BAO＝，∴∠BAO＝30°，∵AD⊥BC，∴∠ABC＝60°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠OBC＝30°，∵OA＝OB＝2，∴OD＝1，CD＝BD＝，∴CE＝AB＝2BD＝，∴DE＝CD+CE＝．【點評】本題主要考查圓的概念及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握圓的概念及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022春?閔行區(qū)校級期中）已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，＝，點D在邊BC上，AE∥BC，AE＝BD．（1）求證：AD＝CE；（2）如果點G在線段DC上（不與點D重合），且AG＝AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出∠B＝∠ACB，再根據(jù)全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD＝CE；（2）連接AO并延長，交邊BC于點H，由等腰三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)得出AH⊥BC，再由垂徑定理得BH＝CH，得出CG與AE平行且相等．【解答】證明：（1）在⊙O中，∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD＝CE；（2）連接AO并延長，交邊BC于點H，∵＝，OA為半徑，∴AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH﹣DH＝CH﹣GH，即BD＝CG，∵BD＝AE，∴CG＝AE，∵CG∥AE，∴四邊形AGCE是平行四邊形．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心以及全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，把這幾個知識點綜合運用是解題的關(guān)鍵．鞏固鞏固提升1．（2021·上海浦東新·模擬預測）下列四個命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧不一定相等，故原說法錯誤，是假命題，不符合題意；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，正確，是真命題，符合題意；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，真命題有3個，故選：C．【點睛】考查了真假命題的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握圓的有關(guān)性質(zhì)，難度不大．2．（2019·上海嘉定·九年級期末）已知點在線段上（點與點不重合），過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，則下列說法中正確的是（）A．圓可以經(jīng)過點 B．點可以在圓的內(nèi)部C．點可以在圓的內(nèi)部 D．點可以在圓內(nèi)部【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出符合題意的示意圖，然后求解．【詳解】解：∵點在線段上（點與點不重合），過點的圓記為圓，∴點可以在圓的內(nèi)部，故A錯誤，B正確；∵過點的圓記為圓，∴點可以在圓的外部，故C錯誤；∵過點的圓記為圓，∴點可以在圓的外部，故D錯誤．故選B．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，畫出適當?shù)妮o助圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方法，更有助于解題.3．（2018·上海寶山·九年級期末）若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標是（1，2），點P的坐標是（5，2），那么點P的位置為（）A．在⊙A內(nèi) B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能確定【答案】A【分析】先根據(jù)兩點間的距離公式計算出PA的長，然后比較PA與半徑的大小，再根據(jù)點與圓的關(guān)系的判定方法進行判斷．【詳解】∵圓心A的坐標是（1，2），點P的坐標是（5，2），∴AP==4＜5，∴點P在⊙A內(nèi)，故選A．【點睛】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內(nèi)．也考查了坐標與圖形性質(zhì)．4．（2019·上海上?！ぞ拍昙壠谥校┤鐖D，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2，以AB的中點D為圓心，r為半徑作⊙D，如果點B在⊙D內(nèi)，點C在⊙D外，那么r可以?。ǎ〢．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】已知等腰三角形ABC中tanB＝2，根據(jù)題意可求得△ABC中過頂點A的高AF的長度，進而求得AB的長度，以及得到BD=，；因為AF和CD均為中線，故交點為重心，通過重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，可求出CD的長度為，所以要滿足B點在⊙D內(nèi)，即滿足r大于BD長度；要滿足點C在⊙D外即r小于CD長度.【詳解】如圖，過點A作AF⊥BC于點F，連接CD交AF于點G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF＝CF＝2，∵tanB＝2，∴，即AF＝4，∴AB＝，∵D為AB的中點，∴BD＝，G是△ABC的重心，∴GF＝AF＝，∴CG＝，∴CD＝CG＝，∵點B在⊙D內(nèi)，點C在⊙D外，∴＜r＜，故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)求線段長度，三角形重心，點與圓的位置關(guān)系；解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)BC邊上的高和CD的交點是三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，即可求出CD的長度.二、填空題5．（2021·上海浦東新·模擬預測）已知點C在線段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C經(jīng)過點A，那么點B與⊙C的位置關(guān)系是_____．【答案】點B在⊙C外【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點C在線段AB上，且0＜AC＜AB，∴BC＞AC，∴點B在⊙C外，故答案為：點B在⊙C外．【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，當d＞r時點P在圓外；當d＜r時點P在圓內(nèi)是解答此題的關(guān)鍵．6．（2018·上海金山·九年級期末）如圖，AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于點C，若OC=6，則AB的長等于__．【答案】18【詳解】連接OB，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO∠B=30°，∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，∴AB=AC+BC=18，故答案為18.7．（2020·上海松江·二模）如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．（1）求證：AB＝AC；（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．【分析】（1）過點O作OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，利用角平分線的性質(zhì)和垂徑定理即可得出答案；（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，首先證明，然后再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】證明：（1）過點O作OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，如圖所示：∵AO平分∠BAC．∴OD＝OE．，．，，∴AB＝AC；（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，如圖所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN．∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO．∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海嘉定·二模）已知四邊形ABCD是菱形（如圖），以點B為圓心，BD長為半徑的圓分別與邊AD、CD、BC、AB，相交于點E、F、G、H，聯(lián)結(jié)BE．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)EG，如果，求證：．【分析】（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圓B中，BE=BD，則∠ADB=∠ABD=∠BED，即△BDE∽△ADB；（2）聯(lián)結(jié)EG，EG∥AB，又AD∥BC，四邊形ABGE是平行四邊形，則AE=BG=BD，由（1）得△BDE∽△ADB，得到，即BD2=AD?DE，則可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圓B中，BE=BD，∴∠BDE=∠BED，∴∠ADB=∠ABD=∠BED，∴△BDE∽△ADB；（2）如圖，∵EG∥AB，又AD∥BC，∴四邊形ABGE是平行四邊形，∴AE=BG，∵BG=BD，∴AE=BD，又由（1）得△BDE∽△ADB，∴，∴BD2=AD?DE，又在菱形ABCD中，AD=BC，∴AE2=DE?CB．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等內(nèi)容，熟知各種判定定理是解題基礎．9．（2018·上海普陀·一模）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直徑．求證：BD=CD．【分析】根據(jù)AB=AC，得到，于是得到∠ADB=∠ADC，根據(jù)AD是⊙O的直徑，得到∠B=∠C=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到結(jié)論．【詳解】證明：∵AB=AC，∴，∴∠ADB=∠ADC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴，∴BD=CD．10．（2019·上海長寧·一模）如圖，AB是圓O的一條弦，點O在線段AC上，AC=AB，OC=3，sinA=．求：(1)圓O的半徑長；(2)BC的長．【答案】（1）5（2）【分析】（1）過點O作OH⊥AB，垂足為點H，設OH＝3k，AO＝5k，則AH＝，得到AB＝2AH＝8k，求得A