2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.8函數(shù)y=Asinωxφ的圖像與性質(zhì)二課時素養(yǎng)評價含解析北師大版必修4

PAGE課時素養(yǎng)評價十二函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質(zhì)(二)(15分鐘30分)1.已知函數(shù)f(x)=sinQUOTE(ω>0)的最小正周期為π,則函數(shù)f(x)的圖像 ()A.關(guān)于直線x=QUOTE對稱 B.關(guān)于直線x=QUOTE對稱C.關(guān)于點(diǎn)QUOTE對稱 D.關(guān)于點(diǎn)QUOTE對稱【解析】選B.因為f(x)=sinQUOTE的最小正周期為π,所以QUOTE=π,ω=2,所以f(x)=sinQUOTE.當(dāng)x=QUOTE時,2x+QUOTE=QUOTE,所以A,C錯誤;當(dāng)x=QUOTE時,2x+QUOTE=QUOTE,所以B正確,D錯誤.2.函數(shù)y=8sinQUOTE取最大值時,自變量x的取值集合是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選B.因為y的最大值為8,此時sinQUOTE=1,即6x+QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z),所以x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).3.函數(shù)y=sin2x的一個遞增區(qū)間可以是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.[0,π]【解析】選A.由-QUOTE+2kπ≤2x≤QUOTE+2kπ,k∈Z,得-QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,k∈Z,故當(dāng)k=0時的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE.4.y=2sinQUOTE的圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離是.

【解析】由函數(shù)圖像知兩條相鄰對稱軸之間的距離為半個周期,即QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.已知函數(shù)f(x)=QUOTEsinQUOTE.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)當(dāng)x∈QUOTE時,求函數(shù)f(x)的最大值,最小值.【解析】(1)f(x)=QUOTEsinQUOTE,令2kπ-QUOTE≤2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z,得kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE,k∈Z.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE,k∈Z.(2)因為x∈QUOTE,所以QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE,所以-1≤sinQUOTE≤QUOTE,所以-QUOTE≤f(x)≤1,所以當(dāng)x∈QUOTE時,函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設(shè)偶函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖像如圖所示,△KLM為等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,則fQUOTE的值為 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意知,點(diǎn)M到x軸的距離是QUOTE,所以A=QUOTE,又由題圖知QUOTE·QUOTE=1,所以ω=π,因為f(x)為偶函數(shù),所以φ=QUOTE,所以f(x)=QUOTEsinQUOTE=QUOTEcosπx,故fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=QUOTE.2.(2024·江蘇高考)已知函數(shù)y=sin(2x+φ)QUOTE的圖像關(guān)于直線x=QUOTE對稱,則φ的值是 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由函數(shù)y=sin(2x+φ)QUOTE的圖像關(guān)于直線x=QUOTE對稱,得sinQUOTE=±1,因為-QUOTE<φ<QUOTE,所以QUOTE<QUOTE+φ<QUOTE,則QUOTE+φ=QUOTE,φ=-QUOTE.3.已知a是實數(shù),則函數(shù)f(x)=1+asinax的圖像不行能是 ()【解析】選D.當(dāng)a=0時f(x)=1,C符合,當(dāng)0<|a|<1時T>2π,且最小值為正數(shù),A符合,當(dāng)|a|>1時T<2π,且最小值為負(fù)數(shù),B符合,解除A,B,C.D項中,由振幅得a>1,所以T<2π,而由圖像知T>2π沖突.4.函數(shù)y=sinQUOTE在x=2處取得最大值,則正數(shù)ω的最小值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意得,2ω+QUOTE=QUOTE+2kπ(k∈Z),解得ω=QUOTE+kπ(k∈Z),因為ω>0,所以當(dāng)k=0時,ωmin=QUOTE.5.設(shè)函數(shù)f(x)=cosQUOTE,則下列結(jié)論錯誤的是 ()A.f(x)的一個周期為-2πB.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=QUOTE對稱C.f(x+π)的一個零點(diǎn)為QUOTED.f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減【解析】選D.函數(shù)f(x)=cosQUOTE的圖像可由y=cosx的圖像向左平移QUOTE個單位得到,如圖可知,f(x)在QUOTE上先遞減后遞增,D選項錯誤.二、填空題(每小題5分,共15分)6.函數(shù)y=sinQUOTE與y軸最近的對稱軸方程是.

【解析】令2x-QUOTE=kπ+QUOTE(k∈Z),所以x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).由k=0,得x=QUOTE;由k=-1,得x=-QUOTE.答案:x=-QUOTE7.ω為正實數(shù),函數(shù)f(x)=2sinωπx的周期不超過1,則ω的最小值是.

【解析】由QUOTE≤1,得ω≥2.即ω的最小值為2.答案:28.函數(shù)f(x)=cosQUOTE在[0,π]的零點(diǎn)個數(shù)為.

【解析】由已知,cosQUOTE=0,所以3x+QUOTE=QUOTE+kπ,k∈Z,所以x=QUOTE+QUOTE,k∈Z,當(dāng)k=0時,x=QUOTE;當(dāng)k=1時,x=QUOTE;當(dāng)k=2時,x=QUOTE,均滿意題意,所以函數(shù)f(x)在[0,π]上的零點(diǎn)個數(shù)為3.答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),其中φ為實數(shù),若f(x)≤QUOTE對x∈R恒成立,且fQUOTE>f(π),求f(x)的遞增區(qū)間.【解析】因為fQUOTE>f(π),故sin(π+φ)>sinφ,得sinφ<0,又f(x)QUOTE對x∈R恒成立,故fQUOTE=±1,即sinQUOTE=±1,QUOTE+φ=QUOTE+kπ,k∈Z,φ=QUOTE+kπ,k∈Z,又sinφ<0,取φ=-QUOTE,故f(x)=sinQUOTE,令-QUOTE+2kπ≤2x-QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z,解得:QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,k∈Z.故f(x)的遞增區(qū)間是QUOTE,k∈Z.10.已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asinQUOTE+2a+b,當(dāng)x∈QUOTE時,-5≤f(x)≤1.(1)求常數(shù)a,b的值.(2)設(shè)g(x)=fQUOTE且lg[g(x)]>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)因為x∈QUOTE,所以2x+QUOTE∈QUOTE.所以sinQUOTE∈QUOTE,又因為a>0,所以-2asinQUOTE∈[-2a,a].所以f(x)∈[b,3a+b],又因為-5≤f(x)≤1,所以b=-5,且3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得,f(x)=-4sinQUOTE-1,g(x)=fQUOTE=-4sinQUOTE-1=4sinQUOTE-1,又由lg[g(x)]>0,得g(x)>1,所以4sinQUOTE-1>1,所以sinQUOTE>QUOTE,所以2kπ+QUOTE<2x+QUOTE<2kπ+QUOTE,k∈Z,其中當(dāng)2kπ+QUOTE<2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z時,g(x)單調(diào)遞增,即kπ<x≤kπ+QUOTE,k∈Z,所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間為QUOTE,k∈Z.又因為當(dāng)2kπ+QUOTE<2x+QUOTE<2kπ+QUOTE,k∈Z時,g(x)單調(diào)遞減,即kπ+QUOTE<x<kπ+QUOTE,k∈Z.所以g(x)的單調(diào)減區(qū)間為QUOTE,k∈Z.設(shè)函數(shù)f(x)=sinQUOTE,若方程f(x)=a恰好有三個根,分別為x1,x2,x3(x1<x2<x3),則x1+2x2+x3的值為 ()A.π B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由已知x∈QUOTE時,2x+QUOTE∈QUOTE,畫出函數(shù)f(x)的大致圖像,如圖所示:當(dāng)QUOTE≤a<1時,方程f(x)=a