知識講解解三角形應用舉例提高

/解三角形應用舉例【學習目標】1.能夠利用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的問題；2.提高運用所學知識解決實際問題的能力，并初步掌握數(shù)學建模的思想方法；3.掌握運用正弦定理、余弦定理解決幾何計算問題的方法.【學習策略】解斜三角形的知識主要用于測量及航海兩大類型問題.實際應用中，首先要弄清題意，畫出直觀示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，再確定是哪類解三角形問題，即應用哪個定理來解決.【要點梳理】要點一、解三角形應用題的步驟解三角形在實際中應用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應認真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計算正確.其解題的一般步驟是：(1)準確理解題意，尤其要理解應用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出，將實際問題抽象成解三角形模型；(3)分析與所研究的問題有關(guān)的一個或幾個三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；(4)將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問題.要點二、解三角形應用題的基本思路實際問題畫圖數(shù)學問題解三角形數(shù)學問題的解檢驗實際問題的解要點三、實際問題中的一些名詞、術(shù)語仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示：坡角和坡度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者""坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方位角與方向角：方位角：一般指正北方向線順時針到目標方向線的水平角。方位角的取值范圍為0°～360°。如圖，點的方位角是。方向角：一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角(一般指銳角)，通常表達成北(南)偏東(西)多少度。如圖為南偏西方向（指以正南方向為始邊，向正西方向旋轉(zhuǎn)）；如圖為北偏東方向（指從正北開始向正東方向旋轉(zhuǎn)）.東南方向：指經(jīng)過目標的射線是正東與正南的夾角平分線.依此可類推西南方向、西北方向等；要點四、解三角形應用中的常見題型正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有：1.測量距離問題：這類問題的情景一般屬于“測量有障礙物相隔的兩點間的距離”，在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，測量工具要有較高的精確度.2.測量高度問題：這類問題的情景屬于“測量底（頂）部不能到達的物體的高度”.測量過程中，要注意選取適量不同的測量點，使測量有較高的精確度.3.測量角度問題：這類問題的情景屬于“根據(jù)需要，對某些物體定位”.測量數(shù)據(jù)越精確，定位精度越高【典型例題】類型一：距離問題例1．如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點C處建造廣告牌，其中D為頂端，長35米，長80米，設(shè)點A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α和β．(1)設(shè)計中是鉛垂方向，若要求α≥2β，問的長至多為多少(結(jié)果精確到0.01米)？(2)施工完成后，與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實測得α＝38.12°，β＝18.45°，求的長(結(jié)果精確到0.01米)．【答案】(1)28.28米.(2)26.93米.【思路點撥】(1)這是一道關(guān)于求兩點之間的距離問題。題目條件告訴了邊、的長以及以A、C為頂點的兩個角，根據(jù)正切函數(shù)的定義及性質(zhì)得到一個關(guān)于x的不等式，解之得到的長度。（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和正弦定理，解得的長?！窘馕觥?1)設(shè)的長為x米，則α＝，β＝，∵，∴α≥2β，∴，即，解得0，即的長至多為28.28米．(2)設(shè)＝a，＝b，＝m，則∠＝180°－α－β＝123.43°，由正弦定理得，即，∴，答：的長為26.93米．【總結(jié)升華】1.此題雖為解三角形問題的簡單應用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)換過程中應注意排除題目中非數(shù)學因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從題目準確地提煉出來.2.解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。3.在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。舉一反三：【變式1】如圖，為測量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角∠＝60°，C點的仰角∠＝45°以及∠＝75°；從C點測得∠＝60°．已知山高＝100m，則山高＝m．【答案】△中，∵∠＝45°，∠＝90°，＝100，∴＝＝100．△中，∵∠＝75°，∠＝60°，∴∠＝45°，由正弦定理可得，即，解得＝100．△中，＝?∠＝100×60°＝150(m)，故答案為：150．【變式2】為了開鑿隧道，要測量隧道上D、E間的距離，為此在山的一側(cè)選取適當點C，如圖，測得400m，600m，∠60°，又測得A、B兩點到隧道口的距離80m，40m(A、D、E、B在一條直線上)，計算隧道的長.【答案】在△中，400m，600m，∠60°，由余弦定理得∴∴答：隧道長約為409.2m.【變式3】（2016春邢臺校級期中）張曉華同學騎電動自行車以24／h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是（）A．B．C．D．【答案】如圖，由已知可得，在△中，∠30°，6，∠180°－75°=105°，∠45°由正弦定理可得故選B類型二：測量高度問題【高清課堂：解三角形應用舉例377493例2】例2某人在塔的正東沿著南偏西的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為，求塔高.【思路點撥】畫出空間圖形后，先尋找可解的三角形，進而解目標所在三角形。【解析】由上圖所示，過B做于點E,由題意知在E點測得塔的最大仰角，在.由正弦定理，得∴在中，∴在中，∴（米）故所求塔高為米【總結(jié)升華】測量高度是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形，在依條件結(jié)合正弦定理和余弦定理來解，解決測量高度的問題時，常出現(xiàn)仰角與俯角的問題，要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.舉一反三：【變式1】（2016綿陽校級模擬）如圖，無人機在離地面高200m的A處，觀測到山頂M處的仰角為15°、山腳C處的俯角為45°，已知∠60°，則山的高度為?！敬鸢浮吭凇髦校稀?5°，∠90°，200，∴，∵∠60°，∴∠180°－∠－∠75°，∵∠15°+45°=60°，∴∠180°－∠－∠45°。在△中，由正弦定理得，即解得?！?，∴。故答案為：300。【變式2】在某點B處測得建筑物的頂端A的仰角為，沿方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物的高?！敬鸢浮克蠼?，建筑物高度為15m。類型三：方位角問題例3如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在西偏北的方向上,行駛后到達B處,測得此山頂在西偏北的方向上,仰角為,求此山的高度.【思路點撥】欲求出，只需在中求出或，而在中先求邊比較適合；或設(shè),列方程解答.【解析】方法一：在中,，，,根據(jù)正弦定理：=,有，∴.方法二：設(shè)，則，根據(jù)正弦定理：=,有，∴，解得，即.【總結(jié)升華】正確地畫出其空間示意圖是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a,燈塔A在觀察站C的北偏西30，燈塔B在觀察站C南偏西60，則A、B之間的距離為；【答案】；如圖，，，?！咀兪?】如圖示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(

)A.

B.C.

D.【答案】B類型四：航海問題【高清課堂：解三角形的應用舉例377493例3】例4如圖所示，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A為()的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向，距A為2的C處的緝私船奉命以的速度追截走私船.此時走私船正以10的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，則緝私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的時間.【思路點撥】這里必須弄清楚三個概念：(1)方位角；(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；(3)最快追上，即應理解為按直線航行，且兩船所用時間相等，畫出示意圖，即可求出的方位角及由C到D所需航行的時間.【解析】設(shè)緝私船追上走私船需，則，.由余弦定理，得，由正弦定理，得，∴，而，∴∴，.∴，即，∴答：緝私船向東偏北方向，只需便能追上走私船.【總結(jié)升華】航海問題中關(guān)鍵是方向角的表示，最好要參照方向坐標，準確的畫出圖形.舉一反三：【變式1】如圖A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，求該救援船到達D點需要多長時間？【答案】由題意知＝5(3＋)海里，∠＝90°－60°＝30°，∠＝90°－45°＝45°，∴∠＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△中，由正弦定理得∴＝＝＝10(海里)又∠＝∠＋∠＝30°＋(90°－60°)＝60°＝20海里在△中，由余弦定理得2＝2＋2－2··∠＝300＋1200－2×10×20×＝900∴＝30(海里)，則需要的時間t＝＝1(小時)答：救援船到達D點需要1小時．【高清課堂：解三角形應用舉例377493變式演練3】【變式2】如圖所示，海中小島