專題54 有關(guān)面積比的存在性問題(解析版)

專題54有關(guān)面積比的存在性問題【題型演練】一、解答題1．如圖，已知拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)P是拋物線上B，C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連接，，則是否存在一點(diǎn)，使的面積最大？若存在，求出的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)【答案】(1)，，(2)存在，最大面積是16(3)或或或【分析】（1）令，求出的值可得出點(diǎn)，的坐標(biāo)；令，求出的值可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)待定系數(shù)法可先求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，利用三角形的面積公式表示三角形的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，由此建立關(guān)于的方程，解之即可．【詳解】（1）解：由，得解得，，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，由，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：存在，理由如下：設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積是16，，存在點(diǎn)，使的面積最大，最大面積是16．（3）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，當(dāng)時(shí)，，解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，當(dāng)或時(shí)，，解得：或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．2．如圖，拋物線與軸相交于A、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)是上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求這個(gè)拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】(1)利用待定系數(shù)法列方程組求解拋物線的解析式即可；(2)連接，設(shè)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得、，再根據(jù)，列方程求解即可；(3)過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于F，設(shè)與交于點(diǎn)G，首先根據(jù)矩形的性質(zhì)及，即可證得，據(jù)此即可證得，可得，再由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，即可求得直線的解析式為，設(shè)，則，則，，可得，，即可得方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，解得：.，所以，拋物線的解析式為：；（2）解：如圖：連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，設(shè)，，∵點(diǎn)D是上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，令，則，，．，．，的面積為，，∴，整理得：．解得：或，的坐標(biāo)為或；（3）解：存在點(diǎn)，使得，理由如下：如圖：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于F，設(shè)與交于點(diǎn)G，四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，，設(shè)的解析式為：，，解得：，

∴直線的解析式為：，設(shè)，則，則，，∵點(diǎn)D是上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，，，，，整理得：，解得，(不合題意，舍去)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形，不規(guī)則圖形面積的求法，一元二次方程的解法，全等三角形的判定及性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想及正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．3．如圖1，已知拋物線：交軸于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線和直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖2，過點(diǎn)作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)拋物線與在第一象限內(nèi)的圖象記為“圖象”，過點(diǎn)作軸交圖象于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為：；直線的函數(shù)解析式為：(2)的面積最大值為：；(3)或者或者或者【分析】（1）由求出，，再用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式為：，直線的函數(shù)解析式為：（2）過作軸交于，由是等腰直角三角形，知面積最大時(shí)最大，此時(shí)最大，即可得出由二次函數(shù)的性質(zhì)可出答案．（3）由（2）可知是等腰三角形，當(dāng)與相似時(shí)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分兩種情況即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線：交軸于兩點(diǎn)∴得到方程：∴解得：∴，∴將，代入拋物線：∴可得方程為：∴解得：∴拋物線的解析式為：∵拋物線：與軸的交點(diǎn)∴∵設(shè)直線的函數(shù)解析式為：∴可得方程：∴∴直線的函數(shù)解析式為：（2）∵，∴是等腰直角三角形∴∵∴∴是等腰直角三角形∴的面積最大時(shí)最大∵軸∴∴是等腰直角三角形∴最大時(shí)，最大∴最大時(shí)，面積最大∴設(shè)，則∴∴當(dāng)時(shí)，最大為∴∴∴的面積最大值為：（3）解：存在點(diǎn)，使與相似時(shí)，為等腰直角三角形∵軸∴∴當(dāng)時(shí)如圖此時(shí)與縱坐標(biāo)相等∴在中∵∴可得方程：∴或∴∴的橫坐標(biāo)為∵在∴可得方程：∴解方程可得：，(舍去)∴∴的橫坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)，則∵∴，∵是等腰直角三角形∴∴解得(舍去)或或(此時(shí)不在第一象限，舍去)∴的橫坐標(biāo)∴同理可得是等腰直角三角形∴∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或者或者或者【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，相似三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，直線CD：交AB于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)D，．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)P為線段CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，交AB于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，連接FD，設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為m，△DFP的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的條件下，連接BP并延長與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作，與x軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在直線CD上是否存在一點(diǎn)R，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)Q，得，若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；或【分析】（1）先求出直線CD的解析式即可解決問題；（2）用M表示PF的長，利用三角形的面積公式計(jì)算即可；（3）由題意可知：，整理得：，解得或（舍去），則，根據(jù)，，，可證，則，，則，根據(jù)直線解析式為：，結(jié)合，可知直線的解析式為：，則，當(dāng)點(diǎn)再點(diǎn)上方時(shí)，設(shè)，則，根據(jù)，則，進(jìn)而可知，故，根據(jù)對(duì)稱性可知，也滿足條件，由此可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意知，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴直線，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．（2）解：如圖所示，∵，F(xiàn)（m，4），∴，∴；（3）解：如圖2所示：由題意可知：，整理得：，解得或（舍去），∴，∵，，，∴，∴，，∴，∵直線解析式為：，∵，∴直線的解析式為：，∴，當(dāng)點(diǎn)再點(diǎn)上方時(shí)，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，根據(jù)對(duì)稱性可知，也滿足條件，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，平行線分段成比例定理，一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，和分別位于兩側(cè)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，若，，，求的長；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)使得，若，，，猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，是以為斜邊的等腰直角三角形，若，，請(qǐng)直接寫出當(dāng)取最大值時(shí)的面積．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）過作交延長線于，根據(jù)勾股定理得出，，根據(jù)為中點(diǎn)，得出，在中，勾股定理即可求解；（2）延長至，使，作于，證明，繼而證明為等邊三角形，最后證明即可得證．（3）取的中點(diǎn)，連接，可推出點(diǎn)在以為圓心，半徑是的圓上運(yùn)動(dòng)，在上截取，構(gòu)造，從而得出，確定當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，最小，進(jìn)而解斜，從而進(jìn)一步求出結(jié)果．【詳解】（1）解：過作交延長線于，∵，，∴，，又∵為中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴；（2），理由如下：延長至，使，作于，∵E為中點(diǎn)∴∴∴，∴又∵，∴為等邊三角形∴∴又∵∴為等邊三角形又∵∴又∵∴∴∴∴．又∵∴．又∵，∴∴∴（3）如圖3，取的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在以為圓心，半徑是的上運(yùn)動(dòng)，在上截取，，，，，，，當(dāng)、、在一條直線上時(shí)，最大，，最大，如圖4，連接，作于，，，設(shè)，，在中，，，，舍去，==．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造輔助線．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交x軸于、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為，(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作交x軸于點(diǎn)Q，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過點(diǎn)Q，得到新拋物線，點(diǎn)E在新拋物線的對(duì)稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點(diǎn)F，使得以A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)面積的最大值為4，此時(shí)P的坐標(biāo)為(3)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得到，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸，得出a和b的關(guān)系式，即可求解；（2）連接，過P點(diǎn)作平行于y軸的直線交于H點(diǎn)，根據(jù)可得，從而求面積的最大值即可，通過設(shè)P的坐標(biāo)，得到H的坐標(biāo)，從而建立關(guān)于面積的二次函數(shù)表達(dá)式，最終結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）通過（2）的結(jié)論首先確定出平移后拋物線的解析式，設(shè)出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行分類討論即可．【詳解】（1）將，代入得：，∵拋物線對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為，∴，即，把代入得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：；（2）如圖所示，連接PC，PB，BC，過P點(diǎn)作平行于y軸的直線交BC于H點(diǎn)，∵，∴，即求面積的最大值即可，把代入得，∴C坐標(biāo)為，設(shè)直線BC的解析式為：，將，代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為：，設(shè)，則，∴，∴，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，取得最大值為4，將代入，得到此時(shí)P的坐標(biāo)為，∴面積的最大值為4，此時(shí)P的坐標(biāo)為；（3）存在，理由如下：由（2）可知，當(dāng)面積的最大值為4時(shí)，P的坐標(biāo)為，∵，∴，則，∵原拋物線解析式為：，∴設(shè)向右平移后的解析式為：，將代入求得：（舍負(fù)值），∴平移后拋物線的解析式為：，其對(duì)稱軸為直線，∴設(shè)，，則結(jié)合A、P的坐標(biāo)可得：，，，①當(dāng)時(shí)，如圖所示，此時(shí)根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，即：，此時(shí)根據(jù)A、P、E、F四點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系可得：，解得：，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖所示，此時(shí)根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，即：，此時(shí)根據(jù)A、P、E、F四點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系可得：，解得：，∴；③當(dāng)AE⊥PE時(shí)，根據(jù)勾股定理得：，即：，整理得：，∵，∴上述方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，即不存在的情況，綜上所述，所有可能的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合運(yùn)用，以及矩形的性質(zhì)，準(zhǔn)確求得拋物線的解析式，并靈活根據(jù)矩形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．7．已知點(diǎn)，．(1)在第二象限有一點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示四邊形的面積___________．(2)在（1）的條件下，是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積為的面積的2倍，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．(3)若，在軸上確定一點(diǎn)，使為等腰三角形，則符合點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)得到，，分別表示出和的面積，相加即可；（2）根據(jù)面積關(guān)系列出方程求解即可；（3）分，，三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，∵在第二象限，，∴，∴．故答案為：；（2）∵，∴，∴，∴存在點(diǎn)P，使得四邊形的面積為面積的2倍，；（3）∵，∴，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為或，當(dāng)時(shí)，過C作于H，∴，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，∴，∴，解得：，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為，故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握坐標(biāo)和長度的關(guān)系，對(duì)于等腰三角形，要注意分類討論．8．如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)在直線下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得的面積等于面積的三分之二？若存在，求出此時(shí)的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)將直線繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到直線，直線與拋物線的交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)C），求M點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)不存在這樣的點(diǎn)P，理由見解析(3)M點(diǎn)坐標(biāo)是或【分析】（1）由，得，利用待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）過點(diǎn)P作軸分別交線段于點(diǎn)N．先求出，得到，再求出，待定系數(shù)法得的解析式，設(shè)，，得到，由根的判別式得到方程無實(shí)數(shù)根，即可得到結(jié)論；（3）分直線繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴．把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入，得，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：不存在這樣的點(diǎn)P，使得的面積等于面積的三分之二；理由：如圖，過點(diǎn)P作軸分別交線段于點(diǎn)N．∵拋物線的解析式為，令，則，解得，∴，∴，∴，，由題意得，∴，即，∵，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，故直線的解析式為：．設(shè)，，則，∴，整理得，∵，∴方程無實(shí)數(shù)根，∴不存在這樣的點(diǎn)P，使得的面積等于面積的三分之二；（3）解：當(dāng)直線繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，過A作交于點(diǎn)K，作軸于點(diǎn)H，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得（舍去），或，當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)直線繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，過A作交于點(diǎn)D，作軸于點(diǎn)E，同理可證得，得到，同理求得直線的解析式為，聯(lián)立，解得（舍去），或，當(dāng)時(shí)，，∴．綜上，M點(diǎn)坐標(biāo)是或．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法、全等三角形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P，Q為拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖①，連接，在（1）的條件下，是否存在點(diǎn)，使得．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹祻淖兓降倪^程中，求線段掃過的面積．【答案】(1)；(2)存在；；；(3)【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，求出的值即可；（2）本小問需要分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)，畫出圖形，由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得；②當(dāng)在左側(cè)時(shí)，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的中點(diǎn)交軸于點(diǎn)，根據(jù)相似求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的解析式，聯(lián)立即可；（3）先表達(dá)出點(diǎn)的坐標(biāo)，借助平移的性質(zhì)可得出線段掃過的面積．【詳解】（1）解：把坐標(biāo)代入，得，解得，；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)，如圖所示，，，令，可得，，令，解得或（舍去），；②當(dāng)在左側(cè)時(shí)，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，如圖所示，令，則，解得或，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，即，解得，，；直線即直線為，解令，解得，，故存在；；；（3）解：點(diǎn)是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)與幾何綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，角度的存在性，圖形的平移，分類討論討論思想等，第（2）問中作出圖形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造正確輔助線，利用分類討論思想進(jìn)行求解．10．問題解決：(1)如圖①，半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的面積最大值是______．(2)如圖②，在扇形中，，，點(diǎn)、分別在和上，且，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在弧上．連接、，四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如圖③，四邊形中，，，，四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)四邊形的面積存在最大值，最大值為；(3)四邊形的面積存在最大值，最大值是【分析】（1）如圖1，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至半圓的中點(diǎn)時(shí)，底邊上的高最大，即，求出此時(shí)的面積即可；（2）作，垂足為，延長交弧于點(diǎn)，則此時(shí)的面積最大，可求出其值；而面積為定值，故可得此時(shí)四邊形的面積的最大值；（3）連接，作的外接圓，過作于，根據(jù)已知條件，可得是等邊三角形，即、、共線時(shí)，的面積最大，進(jìn)而根據(jù)，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至半圓的中點(diǎn)時(shí)，底邊上的高最大，即，此時(shí)的面積最大值，∴，故答案為：；（2）解：四邊形的面積存在最大值，作，垂足為，延長交弧于點(diǎn)，則此時(shí)的面積最大，如圖2：，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，∴在中，，，，四邊形面積為，四邊形的面積存在最大值，最大值為；（3）解：四邊形的面積存在最大值，連接，作的外接圓，過作于，如圖：，，，、、、四點(diǎn)共圓，即在上，，，是等邊三角形，有，在中，，，當(dāng)為中點(diǎn)，即、、共線時(shí)，的面積最大，此時(shí)，為直徑，，，，，，即四邊形的面積存在最大值，最大值是．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了三角形的面積、軸對(duì)稱、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓的直徑最大等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決最值問題．11．如圖1，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．(1)求拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，是否存在使四邊形面積最大的點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，若拋物線的對(duì)稱軸（為拋物線頂點(diǎn)）與直線相交于點(diǎn)，為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，以E，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式：；直線的解析式為；(2)當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大；(3)能，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）由于拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線和直線的解析式；（2）根據(jù)三角形面積公式和二次函數(shù)的最值即可求解；（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)得到，可得，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得，如圖3，過點(diǎn)M作，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)，則；則；當(dāng)與平行且相等時(shí)，四邊形是平行四邊形，則，解方程可求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：依題意，有：，解得．故拋物線的解析式：；解方程得，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為；（2）解：∵、，∴，∴的面積最大時(shí)，四邊形面積最大，如圖2，過點(diǎn)P作軸，交直線于Q，設(shè)，則；則；；∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，所以，當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大；（3）解：存在．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，，則，則，如圖3，過點(diǎn)M作，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)，則，則；當(dāng)與平行且相等時(shí)，四邊形是平行四邊形，則，由，解得；當(dāng)時(shí)，與重合，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，則；由，解得，則或．綜上所述，存在平行四邊形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線解析式，三角形面積公式，二次函數(shù)的最值，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，以及方程思想，分類思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．12．如圖1，直線的解析式為，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，．(1)求直線的解析式；(2)如圖2，在軸上是否存在點(diǎn)，使與的面積相等，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，過點(diǎn)的直線：，當(dāng)它與直線夾角等于時(shí)，求出相應(yīng)的值．【答案】(1)直線解析式為(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)的值為或【分析】（1）先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到的長度，再根據(jù)勾股定理，即可求出的值，從而得到直線的解析式；（2）根據(jù)題意可得，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可得到，解出的值即可得到答案；（3）如圖3，設(shè)直線與的交點(diǎn)為和，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，由全等三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）解：直線的解析式為，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，解得：，，，直線解析式為：；（2）解：由（1）可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：如圖3，設(shè)直線與的交點(diǎn)為和，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，，，直線：與直線夾角等于，，，，，，（AAS），，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上，，解得，點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，同理可得：直線解析式為，的值為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．13．已知，如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，，點(diǎn)P為x軸下方的拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，求四邊形面積的最大值；(3)是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到和兩邊的距離相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)33(3)存在這樣的點(diǎn)，使得點(diǎn)P到和兩邊的距離相等【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）如圖所示，連接，過點(diǎn)P作軸交于D，先求出直線的解析式，設(shè)，則，則，求出的最大值，再由可知當(dāng)最大時(shí)，最大，由此即可得到答案；（3）如圖所示，取點(diǎn)E使其坐標(biāo)為，連接，取中點(diǎn)F，連接，先證明，進(jìn)而得到平分，則直線上的點(diǎn)到的距離相等，由此即可知點(diǎn)P即為直線與拋物線的交點(diǎn)，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴可設(shè)拋物線解析式為，又∵當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：如圖所示，連接，過點(diǎn)P作軸交于D，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大為9，∵，，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，最大為；（3）解：如圖所示，取點(diǎn)E使其坐標(biāo)為，連接，取中點(diǎn)F，連接，∵，∴，，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴平分，∴直線上的點(diǎn)到的距離相等，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得或（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)該拋物線與直線相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，直線軸，分別與x軸和直線交于點(diǎn)M、N．①連結(jié)，如圖1，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由；②連結(jié)，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)Q，如圖2，是否存在點(diǎn)P，使得與相似？若存在，直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）聯(lián)立拋物線與直線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，根據(jù)三角形面積公式可得出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；利用相似三角形的性質(zhì)可得出：若與相似，則有或，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，進(jìn)而可得出，，，，將其代入或中即可求出x的值，結(jié)合即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，，解得，該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；（2）聯(lián)立拋物線與直線的解析式成方程組，得：，解得：，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，．，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為64，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的面積存在最大值，最大值為64．，若與相似，則有或．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，，，．當(dāng)時(shí)，有，解得：，舍去，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，有，解得：，舍去，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上所述：存在點(diǎn)P，使得與相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；（2）利用三角形的面積公式找出；分、兩種情況求出x的值．15．【問題提出】(1)如圖1，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊、的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，與、相交于M、N，則此時(shí)的周長最小，且順次連接O，，后的形狀是等腰直角三角形．理由如下：∵點(diǎn)P關(guān)于邊、的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，∴，，，，∴即周長的的最小值為∵，∴∴是等腰直角三角形．學(xué)以致用：若，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊、的對(duì)稱點(diǎn)，，順次連接O，，，則的形狀是__________三角形．(2)【問題探究】如圖2，在中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，若，請(qǐng)用含有h的代數(shù)式表示的面積．(3)【問題解決】如圖3，在四邊形內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到頂點(diǎn)B的距離為10，，點(diǎn)M、N分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接P、M、N，使在周長最小的情況下，面積最大，問：是否存在使在周長最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請(qǐng)求出的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)等邊(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性，得到，，，進(jìn)而得到：，即可得到為等邊三角形；（2）作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到，，推出是含的直角三角形，用分別表示出，再利用，求出，進(jìn)而求出的面積．（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交，于點(diǎn)M，N，此時(shí)的周長最小，可以求出，由推出最小時(shí)，的值最大，此時(shí)的面積最大，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)P關(guān)于邊OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴為等邊三角形；故答案為：等邊；（2）解：∵，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，，，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則：，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：存在；理由如下：如圖，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，分別作點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，則點(diǎn)，在上，連接，分別交，于點(diǎn)，，此時(shí)的周長最?。?，，，∵，∴，且，∴，過點(diǎn)作于，∴，，∴，∴，∵，∵為定值，∴最小時(shí)，的值最大，此時(shí)的面積最大，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則

，∴當(dāng)時(shí)，即O點(diǎn)與Q點(diǎn)重合時(shí)，的值最大，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴，此時(shí)是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴的最大值．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形、隱圓等知識(shí)．通過構(gòu)造軸對(duì)稱，利用軸對(duì)稱進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．16．已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)求的面積；(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)5(3)或【分析】（1）把點(diǎn)，坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（3）分點(diǎn)在軸上方和軸下方兩種情況，構(gòu)建直角三角形，利用求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，，解得：，拋物線的表達(dá)式為；（2）在中，令，∴，∴，∵，，∴；（3）如圖所示：①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，，設(shè)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，，解得：，（不合題意，舍去），點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，設(shè)則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，，解得：，（不符合題意，舍去），點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，解直角三角形，關(guān)鍵是注意分類討論，不能漏解．17．如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B、C，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使的面積為？若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析；(2)存在，；(3)存在，或．【分析】（1）由直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，求出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后用代入法求拋物線解析式；（2）如圖，M是拋物線第四象限上的點(diǎn)，連接，設(shè)，根據(jù)面積公式求出得，解方程接可求出；（3）如圖，作拋物線的對(duì)稱軸交x軸于N，作，連接由（2）可知，對(duì)稱軸為，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)證即，根據(jù)勾股定理求出，從而得到，當(dāng)P在第一象限時(shí)、當(dāng)P在第四象限時(shí)討論即可．【詳解】（1）解：直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B、C解得拋物線的解析式為：（2）解：如圖，M是拋物線第四象限上的點(diǎn)，連接，設(shè)，則即解得或（舍去）當(dāng)時(shí)（3）解：如圖，作拋物線的對(duì)稱軸交x軸于N，作，連接由（2）可知，對(duì)稱軸為，，，當(dāng)P在第一象限時(shí)：當(dāng)P在第四象限時(shí)：故答案為：存在，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，通過角度和面積探討點(diǎn)的存在性；用代入法求函數(shù)解析式，假設(shè)點(diǎn)存在，根據(jù)條件做出圖形，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．18．已知：如圖，在矩形中，，，對(duì)角線，交于點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接并延長，交于點(diǎn)，連接和．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s）（），解答下列問題：(1)是否存在某一時(shí)刻，使垂直？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)求的面積（cm2）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間（s）的關(guān)系式．(3)求為何值時(shí)，是等腰三角形？【答案】(1)不存在，理由見解析(2)(3)或秒【分析】（1）由題意得：，，，，，根據(jù)列等式計(jì)算即可．（2）過點(diǎn)分別做于點(diǎn)，于點(diǎn)列式計(jì)算即可．（3）分類，根據(jù)三角形相似計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：不存在，理由如下：由題意得：，，，，，在矩形中，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即∴（不合題意，舍去）∴不存在某一時(shí)刻，使垂直．（2）解：過點(diǎn)分別做于點(diǎn)，于點(diǎn)．則，在矩形中，，又∵，∴∴∴．（3）解：①當(dāng)時(shí)∵，∴