數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用1．能正確分析收集到的數(shù)據(jù),選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的規(guī)律；2．能根據(jù)實(shí)際問題的意義，利用三角函數(shù)模型解決有關(guān)問題，為決策提供依據(jù)．1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0,ω＞0)的圖象與性質(zhì)（1)圖象的畫法：“五點(diǎn)法”和變換法．(2)定義域：__。(3）值域：__________.當(dāng)x＝________(k∈Z)時(shí),y取最大值A(chǔ)＋b；當(dāng)x＝________（k∈Z)時(shí)，y取最小值－A＋b.(4）周期：T＝__。(5)奇偶性：當(dāng)且僅當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí),函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)是__函數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)φ＝kπ＋eq\f(π，2）(k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）是__函數(shù)．(6）單調(diào)性：單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（,\f（2kπ＋\f(π，2)－φ,ω)））(k∈Z）；單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(,\f（2kπ＋\f(3π，2）－φ,ω）)）（k∈Z)．(7）對稱性：函數(shù)圖象與__軸的交點(diǎn)是對稱中心，即對稱中心是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))，對稱軸與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的__坐標(biāo)是函數(shù)的最值，即對稱軸是直線x＝eq\f(kπ＋\f(π，2)－φ,ω),其中k∈Z。(8）對于函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)（A＞0,ω＞0)的圖象,相鄰的兩個(gè)對稱中心或兩條對稱軸相距__個(gè)周期；相鄰的一個(gè)對稱中心和一條對稱軸相距周期的________．【做一做1－1】y＝7sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,6)x＋\f（π，6)））的周期與最大值分別是()A．12π，7 B．12π，－7 C．12，7 D．12，－【做一做1－2】函數(shù)f（x）＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(4π,3））)的一條對稱軸方程為()A．x＝－eq\f（π，3) B．x＝eq\f(π,6) C．x＝eq\f(π，2） D．x＝eq\f（2π,3)【做一做1－3】f（x）＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x∈R，A>0，|φ｜<\f（π,2)））的圖象如圖所示,則f（x)的解析式是__________．2．三角函數(shù)模型的應(yīng)用（1）三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著重要作用．實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要用到計(jì)算器或計(jì)算機(jī)．(2)實(shí)際問題的背景往往比較復(fù)雜，而且需要綜合應(yīng)用多門學(xué)科的知識才能完成，因此，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動相關(guān)學(xué)科知識來幫助解決問題．(3)建立三角函數(shù)模型的步驟如下：【做一做2】某地一天從6~14時(shí)的溫度變化滿足y＝10sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,8)t＋\f(3π,4)）)＋20，t∈［6,14］，則最高氣溫和最低氣溫分別是（）A．10，－10 B．20，－20 C．30,20 D．30，答案：1．（2)R[－A＋b，A＋b]eq\f(2kπ＋\f（π,2)－φ，ω)eq\f(2kπ－\f（π，2）－φ,ω）(4）eq\f（2π,ω）(5)奇偶(6）eq\f(2kπ－\f（π，2)－φ，ω）eq\f(2kπ＋\f(π，2)－φ，ω）(7)x縱（8)半四分之一【做一做1－1】C【做一做1－2】B【做一做1－3】f（x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(πx＋\f（π,6）））由圖象得A＝2，周期T＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（5，6)－\f(1,3））)＝2，則eq\f（2π,ω）＝2，解得ω＝π.則有f(x)＝2sin（πx＋φ)，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,3），2)），則feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3））)＝2，即2＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,3）＋φ)),則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，3)＋φ））＝1,又｜φ|＜eq\f(π,2)，則φ＝eq\f(π，6).【做一做2】D由6≤t≤14，得eq\f（3π，2）≤eq\f（π,8)t＋eq\f(3π，4）≤eq\f（5π,2），則sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，8)t＋\f(3π，4））)∈[－1,1］，可得ymin＝－10＋20＝10，ymax＝10＋20＝30.解三角函數(shù)應(yīng)用題的步驟剖析：（1）審清題意，讀懂題．三角函數(shù)應(yīng)用題的語言形式多為文字語言和圖形語言并用,閱讀材料時(shí)要讀懂題目所反映的實(shí)際問題的背景,領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么、求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題．（2）搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型．根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù)，找出變化規(guī)律,運(yùn)用已掌握的三角知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即建立三角函數(shù)模型．其中要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想以及圖形語言和符號語言并用的思維方式．（3）討論變量關(guān)系．根據(jù)上一步中建立起來的變量關(guān)系，結(jié)合題目的要求，與已知數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)對照，轉(zhuǎn)化為討論y＝Asin（ωx＋φ)＋b的性質(zhì)，從而得到所求問題的理論參考值．（4)作出結(jié)論．根據(jù)上一步得出的理論參考數(shù)值按題目要求作出相應(yīng)的結(jié)論．題型一在生活中的應(yīng)用【例1】如圖，某動物種群數(shù)量12月1日低至700，6月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化．（1）求出種群數(shù)量作為月份t的函數(shù)表達(dá)式;(2）估計(jì)當(dāng)年3月1日動物的種群數(shù)量．分析:(1）根據(jù)曲線求出函數(shù)表達(dá)式;(2)由表達(dá)式求出當(dāng)年3月1日即t＝3時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值．反思：在生活中，呈周期變化的現(xiàn)象,常用三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）＋b來描述,通過討論其圖象和性質(zhì)來解決實(shí)際問題．題型二在物理中的應(yīng)用【例2】交流電的電壓E（單位:伏）與時(shí)間t(單位:秒）的關(guān)系可用E＝220eq\r(3）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(100πt＋\f（π,6）)）來表示．求：(1)開始時(shí)的電壓;（2）電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；(3)電壓的最大值和第一次獲得這個(gè)最大值的時(shí)間．分析：(1)開始時(shí)的電壓即t＝0時(shí)電壓E的值；（2）電壓值每周期重復(fù)出現(xiàn)一次；(3)電壓的最大值可由關(guān)系式求出．反思：由于物理學(xué)中的單擺、光波、機(jī)械波、電流等都具有周期性，且均符合三角函數(shù)的相關(guān)知識，因此借助于三角函數(shù)模型來研究物理學(xué)中的相關(guān)知識是解答此類問題的關(guān)鍵．答案：【例1】解：（1)設(shè)種群數(shù)量y關(guān)于t的解析式為y＝Asin（ωx＋φ)＋b（A＞0，ω＞0)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－A＋b＝700，，A＋b＝900，））解得A＝100，b＝800，又周期T＝2(6－0）＝12,∴ω＝eq\f(2π，T）＝eq\f（2π，12)＝eq\f（π，6）。則有y＝100sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,6）t＋φ））＋800.又當(dāng)t＝6時(shí)，y＝900，∴900＝100sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，6)×6＋φ）)＋800，∴sin（π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－eq\f(π,2).∴y＝100sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，6）t－\f(π,2)））＋800。(2）當(dāng)t＝3時(shí)，y＝100sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,6)×3－\f（π,2）））＋800＝800，即當(dāng)年3月1日種群數(shù)量約是800.【例2】解：（1）當(dāng)t＝0時(shí)，E＝220eq\r（3)sineq\f（π，6）＝110eq\r(3）(伏)，即開始時(shí)的電壓為110eq\r(3)伏．（2）T＝eq\f(2π，100π)＝eq\f（1,50)秒，即電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔為0。02秒．(3）電壓的最大值為220eq\r（3）伏,令100πt＋eq\f(π,6）＝eq\f（π,2),解得t＝eq\f(1,300).即t＝eq\f（1，300）秒時(shí)第一次取得這個(gè)最大值．1．如圖，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動，離開平衡位置O的距離scm和時(shí)間ts的函數(shù)解析式為s＝，那么單擺來回?cái)[動一次所需的時(shí)間為__________s.2．如圖表示電流I與時(shí)間t的關(guān)系I＝Asin(ωt＋φ)（A＞0，ω＞0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，則該函數(shù)的解析式為(）A．I＝ B．I＝C．I＝ D．I＝3．如圖為某簡諧運(yùn)動的圖象,這個(gè)簡諧運(yùn)動需要__________s往復(fù)一次．的模型波動(x為月份），已知3月份達(dá)到最高價(jià)8千元，7月份價(jià)格最低為4千元，則f（x)＝__________。5．如圖所示，摩天輪的半徑為40m，O點(diǎn)距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每3min轉(zhuǎn)一圈，（1）試確定在時(shí)刻tmin時(shí)P點(diǎn)距離地面的高度；(2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間P點(diǎn)距離地面超過70答案:1．1單擺來回?cái)[動一次所用的時(shí)間為一個(gè)周期，即T＝＝1（s）．2．C由圖象得周期T＝＝，最大值為300,經(jīng)過點(diǎn)，則ω＝＝100π,A＝300,∴I＝300sin（100πt＋φ)．∴0＝?！啵?，取φ＝.∴I＝.3．0。8由圖象知周期T＝0.8－0