高中數(shù)學(xué)中的“隱形圓”問題

高中數(shù)學(xué)中的“隱形圓”問題“隱形圓”問題是高中數(shù)學(xué)中難度較大的一個跨單元內(nèi)容，它承接于初中的圓，融入了高中的平面向量、解三角形、解析幾何等內(nèi)容，試題的難度以中檔或中高檔為主，注重考查學(xué)生的綜合能力.當(dāng)然，這部分內(nèi)容在教材上也多有涉及，比如阿波羅尼斯圓、圓的參數(shù)方程等.本文將借助幾個數(shù)學(xué)模型來講解高中數(shù)學(xué)中的“隱形圓”問題.一、“圓的定義”模型例1已知點(diǎn)在動直線上的射影點(diǎn)為，若點(diǎn)，那么的最大值為__________.解析動直線方程可化為，故直線恒過定點(diǎn).因為定點(diǎn)在動直線上的射影點(diǎn)為.所以，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心為的中點(diǎn)，圓的半徑.又因為，所以點(diǎn)在圓外，故的最大值為.變式1已知點(diǎn)是圓的動點(diǎn)，直線上存在兩點(diǎn)，，使得恒成立，則線段長度的最小值是（）A.B.C.D.解析A知識升華此類問題往往利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱形圓.，是定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足：①，②，③，④則是以為直徑的圓（①③④需除去，兩點(diǎn)）.二、“三角形對邊對角”模型例2已知，，分別為△的三個內(nèi)角，，的對邊，，且，則△面積的最大值為__________.解析由題意知，由正弦定理知，所以，故，所以.又因為（為△外接圓半徑），所以點(diǎn)為優(yōu)?。ú缓Ⅻc(diǎn)）上任意點(diǎn).故當(dāng)距離最遠(yuǎn)時（此時△為等邊三角形），△的面積最大，最大值為.變式2在△ABC中，（1）求；（2）若，求△ABC周長的最大值.解析（1）；（2）.知識升華此類問題往往已知三角形的對邊對角，結(jié)合正弦定理確定隱形圓.三、“阿波羅尼斯圓”模型例3（教材P97例6改編）已知，，動點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與的距離的倍，求點(diǎn)的軌跡.思考如果把例3中的“倍”改為“（）倍”，點(diǎn)的軌跡又是什么？變式3滿足條件，的三角形面積的最大值是__________.解析以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，則由知.化簡得，即.所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（除去軸上的兩個點(diǎn)），故三角形的高最大值為圓的半徑.所以三角形的面積最大值為.知識升華已知平面上兩定點(diǎn)、，則滿足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（前262—前190）發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.四、“距離平方和”模型例4在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，滿足，則實數(shù)的取值范圍是____________.解析設(shè)，由得.化簡得，故點(diǎn)在圓上.又因為點(diǎn)在圓上，故圓與圓相交或相切時滿足題意.由兩圓位置關(guān)系知，，所以的取值范圍是.變式4在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段長的取值范圍為____________.解析知識升華已知平面上兩定點(diǎn)、，則滿足（其中）的點(diǎn)的軌跡是一個圓.（1）代數(shù)證明設(shè)（）.以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.則，.又設(shè)，則由得.化簡得，整理有.所以當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.（需要特別說明的是，由于坐標(biāo)系的不同，故該圓圓心的坐標(biāo)表示不唯一.）（2）幾何證明設(shè)為中點(diǎn)，故，.所以.所以，即.所以當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以（中點(diǎn)）為圓心，為半徑的圓.五、“向量數(shù)量積”模型例5（多選）已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)滿足，則實數(shù)的值可以為（）A.B.C.D.解析BD變式5已知點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，若滿足等式的點(diǎn)有兩個，則實數(shù)的取值范圍是____________.解析知識升華已知平面上兩定點(diǎn)、，則滿足（其中）的點(diǎn)的軌跡是一個圓.（1）代數(shù)證明設(shè)（）.以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.則，.又設(shè)，則由得，整理有.所以當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.（需要特別說明的是，由于坐標(biāo)系的不同，故該圓圓心的坐標(biāo)表示不唯一）（2）幾何證明設(shè)為中點(diǎn)，故，.所以，故.所以.所以當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以（中點(diǎn)）為圓心，為半徑的圓.六、“圓的參數(shù)方程”模型例6（教材P89第10題改編）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，其中為參數(shù)，則點(diǎn)的軌跡方程為____________.變式6已知，則的最小值是____________.解析知識升華（其中為參數(shù)）為圓的參數(shù)方程，表示圓心為，半徑為的圓.課后鞏固1.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，滿足的點(diǎn)的個數(shù)為（）A.B.C.D.解析B2.已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，則的最大值為（）A.B.C.D.解析設(shè)AB中點(diǎn)為P，則，且，所以點(diǎn)P的軌跡是以NC為直徑的圓，圓心為，當(dāng)P在圓Q上運(yùn)動的過程中，的最大值為，所以的最大值為12.3.已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A.B.C.D.解析A4.已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是____________.解析5.若對任意，直線與圓均無公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為____________.解析6.