第1章三角形的初步認(rèn)識(shí)（夯實(shí)基礎(chǔ)培優(yōu)卷）

【高效培優(yōu)】2022—2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)必考重難點(diǎn)突破必刷卷（浙教版）【單元測試】第1章三角形的初步認(rèn)識(shí)（夯實(shí)基礎(chǔ)培優(yōu)卷）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、選擇題（本大題共10有個(gè)小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為3∶4∶5，則此三角形是（

）三角形．A．銳角 B．鈍角 C．直角 D．不能確定【答案】A【分析】設(shè)三角的度數(shù)分別為：3x°4x°5x°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得3x＋4x＋5x＝180，即可判斷．【詳解】解：∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為3∶4∶5，∴設(shè)三角的度數(shù)分別為：3x°4x°5x°，∴3x＋4x＋5x＝180，解得：x＝15，∴三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為：45°，60°，75°，∴此三角形為銳角三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理及一元一次方程的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，直線a∥b，AC⊥AB，AC交直線b于點(diǎn)C，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是（

）A．30° B．35° C．45° D．50°【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，求出∠B得度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和為180°是解題的關(guān)鍵．3．如圖，∠B+∠C+∠D+∠E―∠A等于（）A．180° B．240° C．300° D．360°【答案】A【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠B+∠C=∠CGE=180°∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°∠AFG，兩式相加再減去∠A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°可求解．【詳解】∵∠B+∠C=∠CGE=180°∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°∠AFG，∴∠B+∠C+∠D+∠E∠A=360°（∠AGF+∠AFG+∠A），又∵∠AGF+∠AFG+∠A=180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E∠A=180°，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和等于180度是解題的關(guān)鍵．4．在下列命題中，為真命題的是（

）A．相等的角是對(duì)頂角 B．平行于同一條直線的兩條直線互相平行C．同旁內(nèi)角互補(bǔ) D．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角、平行公理的推論、平行線的判定、同旁內(nèi)角逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】A、相等的角不一定是對(duì)頂角，此項(xiàng)是假命題；B、平行于同一條直線的兩條直線互相平行，此項(xiàng)是真命題；C、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，此項(xiàng)是假命題；D、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，此項(xiàng)是假命題；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．小欣在一次游戲活動(dòng)中，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿三角形的三條邊走過各頂點(diǎn)，再回到A點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向，則他在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的度數(shù)和（

）A．90° B．180° C．360° D．270°【答案】C【分析】小欣在每個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)彎時(shí)，所轉(zhuǎn)的角度為三角形的一個(gè)外角，根據(jù)三角形的外角和等于360°即可判斷.【詳解】由三角形外角和為360°，可知在行程過程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和等于360°．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角，掌握外角的概念及三角形的外角和為360°是關(guān)鍵.6．如圖，，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出ED=AC，∠E=∠A，據(jù)此即可一一判定，得出答案．【詳解】解：∵△ABC≌△EFD，∴ED=AC，∠E=∠A，故C錯(cuò)誤，∴EDCD=ACCD，，故B正確，∴EC=AD，故A錯(cuò)誤，AC與ED在一條直線上，故D錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．7．下列各組中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形是能夠完全重合的兩個(gè)圖形進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A、兩個(gè)圖形的形狀不一樣，不是全等形，故不合題意；B、兩個(gè)圖形的形狀不一樣，不是全等形，故不合題意；C、兩個(gè)圖形能夠完全重合，是全等形，故符合題意；D、兩個(gè)圖形的大小不一樣，不是全等形，故不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等形的識(shí)別、全等圖形的基本性質(zhì)，屬于較容易的基礎(chǔ)題．8．如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A，E，B，D在同一直線上，，AC＝DF，只添加一個(gè)條件，能判定△ABC≌△DEF的是（

）A．BC＝EF B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠A＝∠D【答案】D【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠DEF，加上AC=DF，則可根據(jù)全等三角形的判定方法即可求解．【詳解】解：∵，AC=DF，∴∠ABC=∠DEF，添加BC=EF，不能判定△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)A不符合題意；添加AE=DB，則AB=DE，不能判定△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)B不符合題意；添加∠A=∠DEF，不能推出∠A=∠D，不能判定△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)C不符合題意；添加∠A=∠D，根據(jù)“AAS”能判定△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的根據(jù)，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．9．如圖，小穎按下面方法用尺規(guī)作角平分線：在已知的的兩邊上，分別截取，使．再分別以點(diǎn)C，D為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)P，作射線，則射線就是的平分線．其作圖原理是：，這樣就有，那么判定這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)SSS證明三角形全等即可；【詳解】解：由作圖可知，，在和中，，∴，∴，即射線就是的平分線，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，全等三角形的判定，角平分線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖形信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．10．如圖1，已知AB=AC，D為∠BAC的平分線上一點(diǎn)，連接BD、CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的平分線上兩點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的平分線上三點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次規(guī)律，第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是（

）A．n B．2n1 C． D．3（n+1）【答案】C【分析】根據(jù)條件可得圖1中△ABD≌△ACD有1對(duì)三角形全等；圖2中可證出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3對(duì)三角形全等；圖3中有6對(duì)三角形全等，根據(jù)數(shù)據(jù)可分析出第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)．【詳解】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD與△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴圖1中有1對(duì)三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴圖2中有3對(duì)三角形全等；同理：圖3中有6對(duì)三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定以及規(guī)律的歸納，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件證出圖形中有幾對(duì)三角形全等，然后尋找規(guī)律．二、填空題（本大題共8有小題，每題3分，共24分）11．如圖，與是的兩個(gè)外角，平分交的平分線于點(diǎn).若，則________．【答案】60°##60度【分析】先求出∠DBC+∠BCE，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】∵∠F=60°，∴∠CBF+∠BCF=120°，∵BF平分∠DBC交∠ECB的平分線于點(diǎn)F，∴∠DBC+∠BCE=2（∠FBC+∠BCF）=240°，∴∠ABC+∠ACB=（180°∠DBC）+（180°∠BCE）=120°，∴∠A=180°120°=60°，故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)和三角形內(nèi)角和是180°，解題關(guān)鍵是牢記性質(zhì)和定義．12．“同一平面內(nèi)，若a⊥b，c⊥b，則a∥c”這個(gè)命題的條件是___________________________，結(jié)論是__________，這個(gè)命題是____________命題．【答案】

同一平面內(nèi)，若a⊥b，c⊥b

a∥c

真【分析】將原命題改寫成“如果…，那么…”的形式后即可確定條件和結(jié)論．【詳解】解：改寫成“如果…，那么…”的形式是：如果同一平面內(nèi)，a⊥b，c⊥b，那么a∥c，即“同一平面內(nèi)，若a⊥b，c⊥b，則a∥c”這個(gè)命題的條件是：同一平面內(nèi)，若a⊥b，c⊥b，結(jié)論是：a∥c.這個(gè)命題是真命題．故答案為(1).同一平面內(nèi)，若a⊥b，c⊥b

(2).a∥c

(3).真【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒃}改寫成“如果…，那么…”的形式．13．如圖，△ABC≌△DBE，∠C=45°，∠ABE=70°，∠ABD=40°，則∠D的度數(shù)為____________．【答案】25°##25度【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠E，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算．【詳解】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠E＝∠C＝45°，∵∠ABE＝70°，∠ABD＝40°，∴∠EBD＝110°，∴∠D＝180°?∠EBD?∠E＝25°，故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．14．如圖，≌，若，，則的度數(shù)為______．【答案】【分析】由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到，再根據(jù)題目已知條件解出，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)解答即可．【詳解】解：≌，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．15．如圖，已知點(diǎn)，在線段兩側(cè)，，，線段，相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的是_________（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】①②③④【分析】由題意易得，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：在和中，，∴（SSS），∴，，∴平分；故①③正確；在和中，，∴（SAS），∴，∴；故②④正確；故答案為①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在正方形方格中，各正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形．圖中是格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你找出方格中所有與全等，且以A為頂點(diǎn)的格點(diǎn)三角形．這樣的三角形共有_____個(gè)（除外）．【答案】5【分析】根據(jù)全等三角形的判定及方格圖的特征．認(rèn)真觀察圖形可得答案．【詳解】解：如圖，根據(jù)平移，對(duì)稱，可得與△ABC全等的三角形有5個(gè)，包括△ADE，△ANF，△ANG，△ACG，△AEF．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，平移，對(duì)稱等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．17．如圖中，，．通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線是線段的_________，射線是的_____；并求的度數(shù)為_________．【答案】

垂直平分線

角平分線

##25度【分析】（1）根據(jù)作圖痕跡判斷即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線求出∠CAD，可得結(jié)論．【詳解】解：通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線DF是線段AB的垂直平分線，射線AE是∠DAC的角平分線．∵DF垂直平分線段AB，∴DA=DB，∴∠BAD=∠B=40°，∵∠B=40°，∠C=50°，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=50°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE=∠CAD=25°．故答案為：垂直平分線，角平分線，25°；【點(diǎn)睛】本題考查作圖基本作圖，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)Q在x軸的負(fù)半軸上，且分別以、為腰，點(diǎn)C為直角項(xiàng)點(diǎn)在第一、第二象限作等腰、等腰，連接交y軸于P點(diǎn)，則的值為__________．【答案】7．【分析】先過N作NH∥CM，交y軸于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根據(jù)點(diǎn)C（0，4），S△CQA＝12，求得AQ＝6，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝3，即可求得OP．【詳解】解：過N作NH∥CM，交y軸于H，則∠CNH+∠MCN＝180°，∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，∴∠MCQ+∠ACN＝180°，∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，∴∠CNH＝∠ACQ，又∵∠HCN+∠ACO＝90°，∠QAC+∠ACO＝90°，∴∠HCN＝∠QAC，在△HCN和△QAC中，，∴△HCN≌△QAC（ASA），∴CH＝AQ，HN＝QC，∵QC＝MC，∴HN＝CM，∵點(diǎn)C（0，4），S△CQA＝12，∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12，∴AQ＝6，∴CH＝6，∵NH∥CM，∴∠PNH＝∠PMC，∴在△PNH和△PMC中，，∴△PNH≌△PMC（AAS），∴CP＝PH＝CH＝3，又∵CO＝4，∴OP＝3+4＝7；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．三、解答題（本大題共6有小題，共66分；第19小題8分，第2021每小題10分，第2223每小題12分，第24小題14分）19．如圖已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度數(shù)與DH的長；（2）求證：AB∥DE．【答案】（1）35°，6；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，即可求解；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：（1）在中，，，∴∵∴，∴故答案為，（2）∵∴∴【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，涉及了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)基本性質(zhì)．20．如圖，把三角形紙片沿折疊，點(diǎn)落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)處，（1）寫出圖中一對(duì)全等的三角形，井寫出它們的所有對(duì)應(yīng)角．（2）設(shè)的度數(shù)為，的度數(shù)為，那么的度數(shù)分別是多少(用含或的式子表示)？（3）與之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)找出這個(gè)規(guī)律，井說明理由．【答案】（1）△AED≌A’ED，∠A和∠A’，∠AED和∠A’ED，∠ADE=∠A’DE；（2）∠1=180°—2x°，∠2=180°—2y°；（3）2∠A=∠1+∠2【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得出△ADE≌△A′DE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）由折疊的性質(zhì)得出，∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，從而得出∠1，∠2的度數(shù)；（3）由折疊的性質(zhì)得出，∠A=∠A′，再由三角形的內(nèi)角和定理得出∠A與∠1+∠2的關(guān)系．【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)得出△ADE≌△A′DE，∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∠A=∠A′，（2）∵∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，∴∠1=180°2∠AED，∠2=180°2∠ADE，∵∠AED=x，∠ADE=y，∴∠1=180°2∠AED=180°2x，∠2=180°2∠ADE=180°2y，（3）∵∠A′+∠A′DE+∠A′ED=180°，∴∠A′DE+∠A′ED=180°∠A′，∵∠A=∠A′，∴∠A′DE+∠A′ED=180°∠A，∵∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED∴∠ADE+∠AED=180°∠A，∵∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，∴2（∠AED+∠ADE）=360°∠1∠2，∴∠AED+∠ADE=180°（∠1+∠2），∴∠A=（∠1+∠2），∴2∠A=∠1+∠2．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定，以及三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180度，解題關(guān)鍵是利用了折疊的性質(zhì)．21．小宋對(duì)三角板在平行線間的擺放進(jìn)行了探究(1)如圖（1），已知，小宋把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上．若，直接寫出的度數(shù)；若，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．(2)如圖（2），將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)與45°角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的另一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，求的度數(shù)．【答案】(1)130o，(90+m)o(2)15o【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及平角的定義來解決此題；（2）如圖，先由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠DBA+∠FCA=180o，再根據(jù)三角板中各角的度數(shù)計(jì)算拼接后圖形中有關(guān)角的度數(shù)，再通過三角形內(nèi)角和等于180度計(jì)算即可．【詳解】(1)解：∵，∴∠2+∠3=180°，由題意和圖知，∠1+∠3=90o，∠1=40o∴∠2=180o（90o∠1）=90o+∠1=90o+40o=130o；若，那么∠2=（90+m）o(2)解：如圖，把圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，延長CA交直線a于點(diǎn)B，由題意知，∵，∴∠DBA+∠FCA=180o，∵∠FCA=60o，∴∠DBA=120o，∵∠DAE=45o，∠FAC=90o，∴∠BAD=180o∠DAE∠FAC=45o在中，∠1+∠DBA+∠BAD=180o，∴∠1=180o45o120o=15o；【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角板中的角度計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．22．一個(gè)問題解決往往經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)猜想——探索歸納——問題解決的過程，下面結(jié)合一道幾何題來體驗(yàn)一下.【發(fā)現(xiàn)猜想】（1）如圖①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC為∠BOD的角平分線，則∠AOC的度數(shù)為；.【探索歸納】（2）如圖①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC為∠BOD的角平分線.猜想∠AOC的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示），并說明理由.【問題解決】（3）如圖②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射線OB繞點(diǎn)O以每秒20°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點(diǎn)O每秒30°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線OA重合時(shí)，三條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線？【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝；理由見解析；（3）經(jīng)過，，4秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線.【分析】（1）根據(jù)∠AOD、∠AOB、∠BOD之間的關(guān)系，求出∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)算出∠BOC的度數(shù)，再計(jì)算∠AOC即可解決問題.（2）根據(jù)∠AOD、∠AOB、∠BOD之間的關(guān)系，用m、n表示出∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)用m、n的代數(shù)式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解決問題.（3）根據(jù)各角之間存在的數(shù)量關(guān)系，設(shè)經(jīng)過x秒時(shí)，分別用x將∠DOA、∠COA、∠BOA表示出來，然后分四類情況討論，根據(jù)角平分線的性質(zhì)列出方程，解決即可.【詳解】（1）85°；（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n∴∠BOD＝n－m∵OC為∠BOD的角平分線∴∠BOC＝∴∠AOC＝+m＝（3）設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為x秒，則∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；①當(dāng)在x＝之前，OC為OB，OD的角平分線；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；②當(dāng)x在和2之間，OD為OC，OB的角平分線；－30+20x＝100－50x，x2＝；③當(dāng)x在2和之間，OB為OC，OD的角平分線；70－30x＝－100+50x，x3＝；④當(dāng)x在和4之間，OC為OB，OD的角平分線；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.答：經(jīng)過，，4秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)，理清各個(gè)角之間存在的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程.23．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線PQ過點(diǎn)A且PQ//BC，過點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且點(diǎn)D在直線PQ上（不與點(diǎn)A重合）．(1)如圖1，DE與AC交于點(diǎn)M，若DF⊥PQ于點(diǎn)D交AB于點(diǎn)F，求證：△BDF≌△MDA；(2)在圖2中，DE與CA延長線交于點(diǎn)M，試猜想線段BD、ED、EM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)在圖3中，DE與AC延長線交于點(diǎn)M，（2）中結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析；(2)BD＝ED?EM，證明見解析；(3)成立，證明見解析．【分析】（1）首先證明△ADF是等腰直角三角形，再根據(jù)ASA證明三角形全等；（2）過點(diǎn)D作DF⊥PQ，交AB的延長線于點(diǎn)F，根據(jù)ASA證明△BDF≌△PDA，即可得到BD＝DM＝ED?EM；（3）過點(diǎn)D作DF⊥PQ，交AB的延長線于點(diǎn)F，根據(jù)ASA證明△BDF≌△MDA，即可得到BD＝DM＝ED?EM．【詳解】（1）證明：如圖1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵PQ∥CB，∴∠DAF＝∠ABC＝45°，∴，∵DF⊥PQ，∴△ADF為等腰直角三角形，∴DA＝DF，，，∵∠1＋∠FDE＝90°，∠FDE＋∠2＝90°，

∴∠1＝∠2，在△BDF與△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA）；（2）解：結(jié)論：BD＝ED?EM．證明：如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥PQ，交AB的延長線于點(diǎn)F，由（1）知∠DAF＝∠ABC＝45°，則△ADF為等腰直角三角形，，∴DA＝DF，，∵∠1＋∠ADB＝90°，∠ADB＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2．在△BDF與△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA），∴BD＝DM＝ED?EM；

（3）解：結(jié)論成立．證明：如圖3，過點(diǎn)D作DF⊥PQ，交AB的延長線于點(diǎn)F，∵PQ∥CB，∴∠FAD＝∠ABC＝45°，∴△ADF為等腰直角三角形，，∴DA＝DF，，

∵∠BDF＝∠BDA＋∠ADF，∠MDA＝∠BDM＋∠ADB，且∠ADF＝∠BDM＝90°，∴，在△BDF與△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA），∴BD＝DM＝ED?EM．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．24．直線m與直線n相交于C，點(diǎn)A是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線n上一點(diǎn)，的平分線與的平分線的反向延長線相交于點(diǎn)P．(1)如圖1，若，則__________；若，則__