第二章直線和圓的方程夯實基礎(chǔ)-01直線的傾斜角與斜率

第二章直線和圓的方程01直線的傾斜角與斜率一、問題導學：1.確定直線的要素有哪些？2.如何體現(xiàn)直線的方向性即傾斜程度？3.傾斜角與直線上兩點坐標之間有何聯(lián)系？4.所以的直線都有傾斜角嗎？所有的直線都有斜率嗎？如何求直線的斜率？5.特殊角的正切值？你還記得正切函數(shù)的圖像嗎？二、知識構(gòu)建知識點一直線的傾斜角1.傾斜角的定義：當直線與軸相交時，我們把軸稱為基準，軸的正向與向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角．2.傾斜角的范圍當直線與軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°．因此，直線的傾斜角的取值范圍為，具體如下：傾斜角直線圖示知識點二直線的斜率1.斜率的定義：我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母表示，即．（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；（2）傾斜角時，直線的斜率不存在。2.傾斜角與斜率的關(guān)系直線的情況平行于軸由左向右上升垂直于軸由左向右下降的大小的取值范圍不存在的增減性—隨的增大而增大—隨的增大而減增大知識點三過兩點的直線的斜率公式經(jīng)過兩點、的直線的斜率公式為．知識點四直線的斜率與方向向量的關(guān)系我們知道直線上的向量以及與它平行的向量都是直線的方向向量，直線的方向向量的坐標為．當直線與軸不垂直時，此時向量也是直線的方向向量，且它的坐標，即，其中是直線的斜率．因此，若直線的斜率為，它的一個方向向量的坐標為，則斜率為．小結(jié)：1.求直線斜率的方法（1）定義法：由傾斜角的值（或范圍）求斜率的值（或范圍）時，利用定義式求解．（2）公式法：由兩點坐標，求斜率，利用兩點斜率公式求解．（3）方向向量法：若直線的斜率為，它的一個方向向量的坐標為，則斜率為．2.日常生活中常用坡度表示傾斜面的傾斜程度：．當直線的傾斜角為銳角時，直線的斜率與坡度是類似的．3.在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)三、類型剖析題型一求直線的傾斜角題型二求直線的斜率題型三利用斜率與傾斜角的關(guān)系求范圍題型四斜率公式的應(yīng)用題型五直線與線段的相交關(guān)系求斜率的范圍四、類型應(yīng)用題型一求直線的傾斜角【例1】（2324高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·月考）下列圖中能表示直線l的傾斜角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由傾斜角的定義，直線向上的方向與x軸正向之間所成角為傾斜角，可知只有選項A中的表示直線l的傾斜角.故選：A【跟蹤訓練11】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知下列直線的斜率，求直線的傾斜角.（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系先計算出傾斜角的正切值，然后根據(jù)傾斜角的范圍求解出傾斜角.【詳解】設(shè)傾斜角為，，（1）因為，所以；（2）因為，所以；（3）因為，所以；（4）因為，所以.【跟蹤訓練12】（2324高二上·西藏山南·期末）經(jīng)過點和的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩點斜率公式求出直線的斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求直線的傾斜角.【詳解】設(shè)經(jīng)過點和的直線的的斜率為，傾斜角為，由兩點斜率公式可得，所以，又，所以.所以經(jīng)過點和的直線的傾斜角為.故選：D.題型二求直線的斜率（一）由定義求斜率【例21】（2324高二·全國·課后作業(yè)）已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系可求得直線的斜率；（2）利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系可求得直線的斜率；（3）利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系可求得直線的斜率；（4）利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系可求得直線的斜率.【詳解】（1）解：直線的斜率為.（2）解：直線的斜率為.（3）解：直線的斜率為.（4）解：直線的斜率為.【跟蹤訓練21】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線的傾斜角，求直線的斜率：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系計算可得.【詳解】（1）因為直線的傾斜角為，所以直線斜率；（2）因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率；（3）因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率；（二）由斜率公式求斜率【例22】如圖2.16，已知，，，求直線，，的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．解：直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，由>及可知，直線與的傾斜角均為銳角；由可知，直線的傾斜角為鈍角．【跟蹤訓練22】已知，，，求直線，，的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．解：直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，由>及可知，直線與的傾斜角均為鈍角；由可知，直線的傾斜角為銳角．（三）由方向向量求斜率【例23】（2324高二上·北京·期中）已知直線的一個方向向量為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率公式結(jié)合已知直線的方向向量可以直接求出直線的斜率.【詳解】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率為.故選：B【跟蹤訓練23】（2324高二上·浙江杭州·期末）若點，已知的方向向量為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】的方向向量坐標為，即.又也是的方向向量，.【跟蹤訓練24】（2324高二上·湖北黃石·期末）已知是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，由直線的方向向量可知直線的斜率，所以.故選：D.題型三由斜率與傾斜角的關(guān)系求范圍【例3】（2324高二上·江西南昌·月考）若直線的傾斜角為，且，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線傾斜角為時，斜率為1，直線傾斜角為時，斜率為，當傾斜角為時，斜率不存在，因為在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當時，的取值范圍是.故選：D【跟蹤訓練3】（2223高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】在上的圖象如圖所示，由圖可知，當時，傾斜角的取值范圍為.故選：C.題型四斜率公式的應(yīng)用（一）利用斜率求參數(shù)【例41】（2324高二上·貴州黔南·期中）已知兩點，所在直線的斜率為，則.【答案】【分析】根據(jù)兩點的斜率公式計算可得.【詳解】因為兩點，所在直線的斜率為，所以，解得.故答案為：【跟蹤訓練41】（2324高二上·江蘇無錫·期末）已知直線的傾斜角為，且直線經(jīng)過，兩點，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)斜率公式計算即可.【詳解】由題意，直線的斜率為，解得，故選：B．（二）利用直線斜率處理共線問題【例42】（2324高二上·浙江仁懷·月考）三點在一條直線上，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，即，解得.故選：B【跟蹤訓練42】（2024高二·全國·專題練習）若點在過點，的直線上，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線的斜率公式，列出方程，即可求解.【詳解】由點在過點和的直線上，可得，即，解得.故答案為：.（三）斜率公式的幾何意義的應(yīng)用【例43】（2122高二上·北京·月考）已知，若點在線段上，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】如圖，因為表示點Px,y和點又，所以，，由圖知，的最小值為，故選：C.題型五直線與線段的相交關(guān)系求斜率的范圍【例5】（2324高一下·浙江寧波·期末）已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)兩點間斜率公式計算即可.【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為，結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是.故選：D【跟蹤訓練51】（2122高二上·山東濟寧·期中）設(shè)點，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出直線的斜率，再畫出圖形分析可得或，從而即可得解.【詳解】依題意，直線的斜率分別為，如圖所示：若直線過點且與線段相交，則的斜率滿足或，即的斜率的取值范圍是或.故選：B【跟蹤訓練52】（2324高二上·陜西咸陽·月考）已知直線過點，若直線與連接、兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出圖象如下圖所示，，所以直線的斜率的范圍是，對應(yīng)傾斜角的取值范圍是.故選：D五、素養(yǎng)提升：1.（2223高二上·廣西玉林·月考）下列命題正確的是（

）①直線傾斜角的范圍是；②若直線的斜率為k，則；③任何一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角；④任何一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率．A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③【答案】C【解析】直線傾斜角的范圍是，①正確；直線傾斜角為，當時，值域為，當時，值域為，因此，②正確；因為傾斜角為的直線沒有斜率，因此任何一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率，③不正確，④正確，所以給定命題正確的有①②④.故選：C2.（2324高二上·湖北黃石·期末）已知是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直線的方向向量可知直線的斜率，進而可得傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線的方向向量可知直線的斜率，所以.故選：D.3.（2024·全國·高二專題練習）如圖，已知直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題圖，利用直線的斜率和傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】解：設(shè)直線的傾斜角分別為，由題圖知，直線的傾斜角為鈍角，.又直線的傾斜角均為銳角，且，，.故選：D.4.（2223高二上·江蘇蘇州·期中）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如下圖是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.已知拉索上端相鄰兩個錨的間距約為4.4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為16m.最短拉索的錨，滿足，，則最長拉索所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用已知長度可分別計算，，再利用斜率的定義可解.【詳解】解：如圖，以為原點建系，根據(jù)題意，最短拉索的錨，滿足，，且均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為，則，即點，同理，又，即點，所以，，即最長拉索所在直線的斜率為.故選：B.六、隨堂檢測1.（2324高二上·河北石家莊·期中）過兩點和的直線的斜率為（）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜率公式計算得解.【詳解】由斜率公式可知，故選：C2.（2324高二上·江蘇徐州·期末）經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩點表示斜率和斜率的定義建立方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，經(jīng)過的直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，所以，即直線的傾斜角為.故選：C3．（2324高二上·廣東潮州·期末）已知斜率為的直線經(jīng)過點，則（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【分析】利用斜率公式即可求解.【詳解】因為斜率為的直線經(jīng)過點，所以，解得.故選：B.4.（2324高二上·湖北襄陽·階段練習）若向量是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的方向向量求出直線的斜率，再求出傾斜角即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，若向量是直線的一個方向向量，則直線的斜率為，因為，所以.故選：A.5.過、兩點的直線的傾斜角為，那么．【解答】解：過、兩點的直線的傾斜角為，則，又．故答案為：1．6.（2223高二上·天津武清·階段練習）若直線l的斜率，則直線l的傾斜角θ的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)的圖象，得出傾斜角θ的取值范圍.【詳解】根據(jù)的部分圖象，結(jié)合傾斜角定義范圍，可以得出傾斜角θ的取值范圍為．故答案為：7.（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）給出下列命題：①任意一條直線都有傾斜角，也都有斜率；②平行于x軸的直線的傾斜角是0或π；③若兩條直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；④若k是直線的斜率，則；⑤任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中是真命題的有．（填序號）【答案】④【分析】根據(jù)直線傾斜角、斜率的定義逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于①、⑤，任一條直線都有傾斜角，但傾斜角為直角的直線沒有斜率，即任一條直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均錯誤；對于②，平行于軸的直線的傾斜角是，②錯；對于③，若兩條直線的傾斜角均為時，它們的斜率都不存在，③錯誤；對于④，若k是直線的斜率，則，④對.故答案為：④.8.（2324高二下·全國·課后作業(yè)）已知三點A，B，C在同一直線上，則實數(shù)的值是.【答案】3【分析】利用三點共線與斜率的關(guān)系，斜率的計算公式.【詳解】三點A，B，C在同一直線上，，，解得.故答案為：3.9.（2223高二下·上海閔行·期末）已知點過點A的直線與線段BC相交，則直線的斜率的取值范圍是.【答案】【分析】依題意，作出圖象，利用正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象即得.【詳解】如圖，要使過點A的直線與線段BC相交，需使直線的傾斜角介于直線的傾斜角之間，即需使斜率滿足,因，，故.故答案為：.10.（2324高二上·全國·課后作業(yè)）求經(jīng)過下列兩點的直線的斜率、傾斜角：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)斜率為，傾斜角為(2)斜率為，傾斜角為(3)斜率為，傾斜角為(4)斜率不存在，傾斜角為【分析】（1）（2）（3）（4）應(yīng)用兩點式求斜率，結(jié)合斜率