專題02方程與不等式

專題02方程與不等式一、選擇題1．（2019四川南充）關于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解為x＝1，則a+m的值為（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】C．【解析】解：因為關于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解為x＝1，可得：a﹣2＝1，2+m＝4，解得：a＝3，m＝2，所以a+m＝3+2＝5，故選：C．2．（2019四川巴中）已知關于x、y的二元一次方程組的解是，則a+b的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0【答案】B.【解析】解：將代入得：，∴a+b＝2；故選：B．3．（2019四川成都）分式方程的解為（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2【答案】A．【解析】解：方程兩邊同時乘以x（x﹣1）得，x（x﹣5）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入原方程的分母均不為0，故x＝﹣1是原方程的解．故選：A．4．（2019四川遂寧）已知關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一個根為x＝0，則a的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【答案】D．【解析】解：∵關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一個根為x＝0，∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，則a的值為：a＝﹣1．故選：D．5．（2019四川宜賓）一元二次方程x2﹣2x+b＝0的兩根分別為x1和x2，則x1+x2為（）A．﹣2 B．b C．2 D．﹣b【答案】C．【解析】解：根據題意得：x1+x2＝﹣＝2，故選：C．6．（2019四川自貢）關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0無實數根，則實數m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1【答案】D．【解析】解：根據題意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1．故選：D．7．（2019四川廣安）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C． D．m2＞n2【答案】D．【解析】解：A、不等式的兩邊都加3，不等號的方向不變，故A錯誤；B、不等式的兩邊都乘以﹣3，不等號的方向改變，故B錯誤；C、不等式的兩邊都除以3，不等號的方向不變，故C錯誤；D、如m＝2，n＝﹣3，m＞n，m2＜n2；故D正確；故選：D．8.（2019四川樂山）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因為，解得：；因為，解得：；所以不等式組的解集是：，故選B.9．（2019四川涼山州）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（）A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣1【答案】C．【解析】解：1﹣x≥x﹣1，﹣2x≥﹣2∴x≤1．故選：C．10．（2019四川南充）關于x的不等式2x+a≤1只有2個正整數解，則a的取值范圍為（）A．﹣5＜a＜﹣3 B．﹣5≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣3【答案】C．【解析】解：解不等式2x+a≤1得：x≤，不等式有兩個正整數解，一定是1和2，根據題意得：2≤＜3，解得：﹣5＜a≤﹣3．故選：C．11.（2019四川綿陽）紅星商店計劃用不超過4200元的資金，購進甲、乙兩種單價分別為60元、100元的商品共50件，據市場行情，銷售甲、乙商品各一件分別可獲利10元、20元，兩種商品均售完．若所獲利潤大于750元，則該店進貨方案有（）A.3種 B.4種 C.5種 D.6種【答案】C.【解析】解：設該店購進甲種商品x件，則購進乙種商品（50x）件，根據題意，得：，解得：20≤x＜25，∵x為整數，∴x=20、21、22、23、24，∴該店進貨方案有5種，故選：C．12．（2019四川達州）某公司今年4月的營業(yè)額為2500萬元，按計劃第二季度的總營業(yè)額要達到9100萬元，設該公司5、6兩月的營業(yè)額的月平均增長率為x．根據題意列方程，則下列方程正確的是（）A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1+x%）2＝9100 C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【答案】D．【解析】解：設該公司5、6兩月的營業(yè)額的月平均增長率為x．根據題意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故選：D．13.（2019四川樂山）《九章算術》第七卷“盈不足”中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數、物價各幾何？”譯為：“今有人合伙購物，每人出8錢，會多3錢；每人出7錢，又差4錢。問人數、物價各多少？”根據所學知識，計算出人數、物價分別是A.1，11 B.7，53 C.7，61D.6，50【答案】B【解析】解設人數x人，物價y錢.解得：，故選B.14．（2019四川遂寧）關于x的方程的解為正數，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4 D．k＜4且k≠﹣4【答案】C．【解析】解：分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，解得：x＝，根據題意得：＞0，且≠2，解得：k＞﹣4，且k≠4．故選：C．15．（2019四川廣安）點M（x﹣1，﹣3）在第四象限，則x的取值范圍是．【答案】x＞1．【解析】解：∵點M（x﹣1，﹣3）在第四象限，∴x﹣1＞0解得x＞1，即x的取值范圍是x＞1．故答案為x＞1．16．（2019四川巴中）函數y＝的自變量x的取值范圍．【答案】x≥1，且x≠3．【解析】解：根據題意得：解得x≥1，且x≠3，即：自變量x取值范圍是x≥1，且x≠3．17．（2019四川達州）如圖所示，點C位于點A、B之間（不與A、B重合），點C表示1﹣2x，則x的取值范圍是．【答案】﹣＜x＜0．【解析】解：根據題意得：1＜1﹣2x＜2，解得：﹣＜x＜0，則x的范圍是﹣＜x＜0，故答案為：﹣＜x＜0．18．（2019四川資陽）a是方程2x2＝x+4的一個根，則代數式4a2﹣2a的值是．【答案】8．【解析】解：∵a是方程2x2＝x+4的一個根，∴2a2﹣a＝4，∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．故答案為：8．19．（2019四川涼山州）方程組的解是．【答案】．【解析】解：，②﹣①得：x＝6，把x＝6代入①得：6+y＝10，解得：y＝4，方程組的解為：，故答案為：．20．（2019四川涼山州）方程的解是．【答案】x＝﹣2．【解析】解：去分母，得（2x﹣1）（x+1）﹣2＝（x+1）（x﹣1）去括號，得2x2+x﹣3＝x2﹣1移項并整理，得x2+x﹣2＝0所以（x+2）（x﹣1）＝0解得x＝﹣2或x＝1經檢驗，x＝﹣2是原方程的解．故答案為：x＝﹣2．21．（2019四川眉山）設a、b是方程x2+x﹣2019＝0的兩個實數根，則（a﹣1）（b﹣1）的值為．【答案】﹣2017．【解析】解：∵a、b是方程x2+x﹣2019＝0的兩個實數根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2019+1+1＝﹣2017．故答案為：﹣2017．22．（2019四川眉山）已知關于x，y的方程組的解滿足x+y＝5，則k的值為．【答案】2．【解析】解：，②×2﹣①，得3x＝9k+9，解得x＝3k+3，把x＝3k+3代入①，得3k+3+2y＝k﹣1，解得y＝﹣k﹣2，∵x+y＝5，∴3k+3﹣k﹣2＝5，解得k＝2．故答案為：2．23．（2019四川成都）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的兩個實數根，且x12+x22﹣x1x2＝13，則k的值為．【答案】2．【解析】解：根據題意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，x12+x22﹣x1x2＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，故答案為：﹣2．24．（2019四川自貢）某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費了466元，其中籃球的單價比足球的單價多4元，求籃球的單價和足球的單價．設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，依題意，可列方程組為．【答案】．【解析】解：設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，由題意得：，故答案為：.25．（2019四川攀枝花）已知、是方程的兩根，則.【答案】：6.【解析】：由韋達定理可得，，∴.26．（2019四川遂寧）若關于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍為．【答案】k＜1．【解析】解：∵關于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，∴△＞0，即4﹣4k＞0，k＜1．故答案為：k＜1．27．（2019四川巴中）若關于x的分式方程有增根，則m的值為．【答案】1．【解析】解：方程兩邊都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最簡公分母x﹣2＝0，解得x＝2，當x＝2時，m＝1故m的值是1，故答案為1．28．（2019四川宜賓）某產品每件的生產成本為50元，原定銷售價65元，經市場預測，從現在開始的第一季度銷售價格將下降10%，第二季度又將回升5%．若要使半年以后的銷售利潤不變，設每個季度平均降低成本的百分率為x，根據題意可列方程是．【答案】65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．【解析】解：設每個季度平均降低成本的百分率為x，依題意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．故答案為：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．三、解答題29．（2019四川自貢）解方程：．【答案】x＝2．【解析】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，解得：x＝2，檢驗：當x＝2時，方程左右兩邊相等，所以x＝2是原方程的解．30.（2019四川樂山）如圖，點A、B在數軸上，它們對應的數分別為，，且點A、B到原點的距離相等.求x的值.【答案】．【解析】解：根據題意得：，去分母，得，去括號，得，解得經檢驗，是原方程的解.31．（2019四川眉山）解不等式組：【答案】﹣1＜x≤4．【解析】解：，解①得：x≤4，解②得x＞﹣1，則不等式組的解集為﹣1＜x≤4．32.（2019四川成都）解不等式組：【答案】﹣1≤x＜2．【解析】對由（1）得，x≥﹣1，由（2）得，x＜2，所以，不等式組的解集是﹣1≤x＜2．33．（2019四川遂寧）解不等式組：，把它的解集在數軸上表示出來，并寫出其整數解．【答案】解集﹣3＜x≤2，在數軸上表示見解析，x的整數解為﹣2，﹣1，0，1，2．【解析】解：解不等式（1），x＞﹣3，解不等式（2），x≤2，∴﹣3＜x≤2，解集在數軸上表示如下：∴x的整數解為﹣2，﹣1，0，1，2．34．（2019四川廣安）解分式方程：．【答案】x=4．【解析】解：，方程兩邊乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，解得：x＝4，檢驗：當x＝4時，（x﹣2）2≠0．所以原方程的解為x＝4．35．（2019四川南充）已知關于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有實數根．（1）求實數m的取值范圍；（2）當m＝2時，方程的根為x1，x2，求代數式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．【答案】（1）m≤；（2）1．【解析】解：（1）由題意△≥0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．（2）當m＝2時，方程為x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根為x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（x2+1）＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1＝﹣x2﹣x1﹣2＝3﹣2＝1．36．（2019四川巴中）已知關于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩不相等的實數根．①求m的取值范圍．②設x1，x2是方程的兩根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．【答案】①m＞，②．【解析】解：①根據題意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得：m＞，②根據題意得：x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，x12+x22+x1x2﹣17＝﹣x1x2﹣17＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，解得：m1＝，m2＝﹣3（不合題意，舍去），∴m的值為．37.（2019四川樂山）已知關于的一元二次方程.（1）求證：無論為任何實數，此方程總有兩個實數根；（2）若方程的兩個實數根為、，滿足，求的值；（3）若Rt△的斜邊為5，另外兩條邊的長恰好是方程的兩個根、，求的內切圓半徑.【答案】（1）見解析；（2）k=2；（3）1.【解析】（1）證明：∵，∴無論為任何實數時，此方程總有兩個實數根.（2）由題意得：，，∵，∴，即，解得：；（3）解方程得：，，根據題意得：，即，設直角三角形的內切圓半徑為，如圖，由切線長定理可得：，∴直角三角形的內切圓半徑=.38．（2019四川達州）端午節(jié)前后，張阿姨兩次到超市購買同一種粽子．節(jié)前，按標價購買，用了96元；節(jié)后，按標價的6折購買，用了72元，兩次一共購買了27個．這種粽子的標價是多少？【答案】8元/個．【解析】解：設這種粽子的標價是x元/個，則節(jié)后的價格是0.6x元/個，依題意，得：，解得：x＝8，經檢驗，x＝8是原方程的解，且符合題意．答：這種粽子的標價是8元/個．39．（2019四川廣安）為了節(jié)能減排，我市某校準備購買某種品牌的節(jié)能燈，已知3只A型節(jié)能燈和5只B型節(jié)能燈共需50元，2只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需31元．（1）求1只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈的售價各是多少元？（2）學校準備購買這兩種型號的節(jié)能燈共200只，要求A型節(jié)能燈的數量不超過B型節(jié)能燈的數量的3倍，請設計出最省錢的購買方案，并說明理由．【答案】（1）1只A型節(jié)能燈的售價是5元，1只B型節(jié)能燈的售價是7元；（2）當購買A型號節(jié)能燈150只，B型號節(jié)能燈50只時最省錢．【解析】解：（1）設1只A型節(jié)能燈的售價是x元，1只B型節(jié)能燈的售價是y元，，解得，，答：1只A型節(jié)能燈的售價是5元，1只B型節(jié)能燈的售價是7元；（2）設購買A型號的節(jié)能燈a只，則購買B型號的節(jié)能燈（200﹣a）只，費用為w元，w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，∵a≤3（200﹣a），∴a≤150，∴當a＝150時，w取得最小值，此時w＝1100，200﹣a＝50，答：當購買A型號節(jié)能燈150只，B型號節(jié)能燈50只時最省錢．40．（2019四川巴中）在“扶貧攻堅”活動中，某單位計劃選購甲、乙兩種物品慰問貧困戶．已知甲物品的單價比乙物品的單價高10元，若用500元單獨購買甲物品與450元單獨購買乙物品的數量相同．①請問甲、乙兩種物品的單價各為多少？②如果該單位計劃購買甲、乙兩種物品共55件，總費用不少于5000元且不超過5050元，通過計算得出共有幾種選購方案？【答案】①甲種物品的單價為100元，乙種物品的單價為90元；②設共有6種選購方案．【解析】解：①設乙種物品單價為x元，則甲種物品單價為（x+10）元，由題意得：解得x＝90經檢驗，x＝90符合題意∴甲種物品的單價為100元，乙種物品的單價為90元．②設購買甲種物品y件，則乙種物品購進（55﹣y）件由題意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050解得5≤y≤10∴共有6種選購方案．41．（2019四川眉山）在我市“青山綠水”行動中，某社區(qū)計劃對面積為3600m2的區(qū)域進行綠化，經投標由甲、乙兩個工程隊來完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化面積的2倍，如果兩隊各自獨立完成面積為600m2區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用6天．（1）求甲、乙兩工程隊每天各能完成多少面積的綠化；（2）若甲隊每天綠化費用是1.2萬元，乙隊每天綠化費用為0.5萬元，社區(qū)要使這次綠化的總費用不超過40萬元，則至少應安排乙工程隊綠化多少天？【答案】（1）甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是100m2、50m2；（2）至少應安排乙工程隊綠化32天．【解析】解：（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是xm2，根據題意得：＝6，解得：x＝50，經檢驗，x＝50是原方程的解，則甲工程隊每天能完成綠化的面積是50×2＝200（m2），答：甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是100m2、50m2；（2）設甲工程隊施工a天，乙工程隊施工b天剛好完成綠化任務，由題意得：100a+50b＝3600，則a＝＝﹣b+36，根據題意得：1.2×+0.5b≤40，解得：b≥32，答：至少應安排乙工程隊綠化32天．42．（2019四川資陽）為了參加西部博覽會，資陽市計劃印制一批宣傳冊．該宣傳冊每本共10頁，由A、B兩種彩頁構成．已知A種彩頁制版費300元/張，B種彩頁制版費200元/張，共計2400元．（注：彩頁制版費與印數無關）（1）每本宣傳冊A、B兩種彩頁各有多少張？（2）據了解，A種彩頁印刷費2.5元/張，B種彩頁印刷費1.5元/張，這批宣傳冊的制版費與印刷費的和不超過30900元．如果按到資陽展臺處的參觀者人手一冊發(fā)放宣傳冊，預計最多能發(fā)給多少位參觀者？【答案】（1）每本宣傳冊A、B兩種彩頁各有4和6張；（2）1500．【解析】解：（1）設每本宣傳冊A、B兩種彩頁各有x，y張，，解得：，答：每本宣傳冊A、B兩種彩頁各有4和6張；（2）設最多能發(fā)給a位參觀者，可得：2.5×4a+1.5×6a+2400≤30900，解得：a≤1500，答：最多能發(fā)給1500位參觀者．43.（2019四川攀枝花）攀枝花得天獨厚，氣候宜人，農產品資源極為豐富，其中晚熟芒果遠銷北上廣等大城市。某水果店購進一批優(yōu)質晚熟芒果，進價為10元/千克，售價不低于15元/千克，且不超過40元/每千克，根據銷售情況，發(fā)現該芒果在一天內的銷售量（千克）與該天的售價（元/千克）之間的數量滿足如下表所示的一次函數關系。銷售量（千克）…32.53535.538…售價（元/千克）…27.52524.522…（1）某天這種芒果售價為28元/千克，求當天該芒果的銷售量（2）設某天銷售這種芒果獲利元，寫出與售價之間的函數關系式；如果水果店該天獲利400元，那么這天芒果的售價為多少元？【答案】（1）芒果售價為28元/千克時，當天該芒果的銷售量為32千克；（