新編大學(xué)物理-習(xí)題解答

第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)

一、選擇題

題1.1:

答案：[B]

提示：明確Ar與△廠的區(qū)別

題1.2；

答案：[A]

題1.3：

答案：[D]

提示：A與規(guī)定的正方向相反的加速運(yùn)動，B切向加速度，C明確標(biāo)、矢量的關(guān)系，加速

度是包

dt

題1.4：

答案：[C]

提示：M=rx=Rj,r2=-Ri,AV=v.-v,,v,=-v/,v2=-vj

題1.5：

答案：[D]

提示：t=0時，x=5；t=3時，x=2得位移為-3m；

僅從式x=t2-4t+5=(t-2)2+l,拋物線的對稱軸為2,質(zhì)點(diǎn)有往返

題1.6：

答案：[D]

2

提示：a=2t=—,v=j2tdt-t-4,x-x0=jvdt,即可得D項

dt22

題1.7：

答案：[D]

提不：v^=2v,,理清v絕翻牽+v的關(guān)系

二、填空題

題1.8：

答案：勻速(直線)，勻速率

題1.9：

答案：9r一15/，0.6

提示：u=—=9z-15f2,t=0.6時，v=0

dt

題1.10：

答案：(1)y=\9--x2

2

(2)2i-4zj-4j

(3)4i+llj2i-6j3S

x=2tIdx

提示：(1)聯(lián)立《，，消去t得：y=19--x2,v=—i

y=\9-2t22dtdt

(2)t=ls時，v=2i-4/j,a=—=-4j

dt

(3)t=2s時,代入r=xi+yj=2fi+(19-2『)j中得4i+llj

t=ls到t=2s,同樣代入「=r(f)可求得Af=2i-6j,

r和v垂直，即r?v=O,得t=3s

題1.11：

答案：12m/s2

提示：a=—==2v=4x=12(//z/52)

dtdt

題1.12：

內(nèi)一，，272

答案：Im/s----

71

22|Ar|=CH=空

提示：v=v0+J—c/f=t,v|/=I=lm/s0=力=-Z=—Jr,

odto32

題1.13：

答案：一5日+(%/-；g/)j

2

提示：先對r=(v0r-gr/2)j求導(dǎo)得，vy=(v0-gt)jv=5i合成得

ti

v合=-5i+(9—gf)j/.r合金卜合一5日+(%/-5g產(chǎn))j

題1.14：

答案：8,64r

提示：匕=/?吆=8放，a

三、計算題

題1.15：

解：（1）a=〕3團(tuán)

t2

0

q1

(2)又,：S=R9.\0=-=-t3

R6

（3）當(dāng)a與半徑成45°角時，an=aT

—tA..—t4=3t.'.t-y[4S

R44

題1.16：

.\dvrv

解：(1)67=—=~kv?J.皿，In一=-kt(*)

dt0v0%

14In2

當(dāng)V=/時，In—=-kt,

2~k~

kt

（2）由（*）式：v=vQe~

Xt

.dxjd%=Jve~ktdt

'~diQ

oo

第2章質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)

一、選擇題

題2.1：

答案：[C]

提ZK：A.錯誤，如：圓周運(yùn)動

B.錯誤，p=inv.力與速度方向不一定相同

D.后半句錯誤，如：勻速圓周運(yùn)動

題2.2：

答案：[B]

提示：y方向上做勻速運(yùn)動：Sy=vyt=2t

X方向上做勻加速運(yùn)動(初速度為0),a=—

m

tt2/

匕=J=2r，S,=Jvjt=—

00J

題2.3：

答案：[B]

提示：受力如圖

設(shè)貓給桿子的力為F,由于相對于地面貓的高度不變

F'=mgF=F'桿受力=Mg+F=(M+

F.(M+m)g

a——=------------

MM

題2.4:

答案：[D]

提示：

mg-T=maA

=maB得知=1g

a

ci=—A

,B2

幺，通過分析滑輪，由于A向下走過S,B走過工)

%

22

a

??aA

B2

題2.5:

答案：。

mm

提示：由題意，水平方向上動量守恒，故—(v0cos60°)=(—+m)v^

-A

”v共22

題2.6：

答案：[C]

h-R

R

分析條件得,只有在h高度時，向心力與重力分量相等

所以有誓

mgcos0=>v2=g(h-R)

由機(jī)械能守恒得(以地面為零勢能面)

1；mv2+mgh=%=y/2gh+g(h_R)

5如。

題2.7:

答案：網(wǎng)

提示：運(yùn)用動量守恒與能量轉(zhuǎn)化

題2.8：

答案：[D]

提示：

由機(jī)械能守恒得mgh=；'nv=不2gh

vy=v0sin3

/.PG=mgvy=mgsin42gh

題2.9：

答案：[C]

題2.10:

答案：[B]

提示：受力如圖

T

/~"一"F

由功能關(guān)系可知,設(shè)位移為X（以原長時為原點(diǎn)）

,,2（f一g）

Fx-/jmgx=jkxdx=>x=--------------

0k

1小二田一2

彈性勢能E=

p2k

二、填空題

題2.11:

答案：2mb

提示：V-x'-2hta=v"=2bF=ma=2mb

題2.12：

答案：2kg4m/s2

提示：

y

8N

u4Nx

2

由題意，ax=2mIsF<=4N

F、=8Nm=—=2kg

a

F、.2

a、，=--=4加/s

)m

題2.13：

F32

提不：由題意，ci=—=(----1—f)nu=adt^nls

m10505

當(dāng)t=2時，a=—

10

題2.14：

答案：180kg

提示：由動量守恒，叫/人㈢n船扁-S=>m船=180kg

題2.15：

答案：一in—j

44

提示：各方向動量守恒

題2.16：

答案：mv(i+j),0,-mgR

提示：由沖量定義得I=P末而P=mv\-(-mvj)=mv[\+j)

由動能定律得NEk=Wn=0,所以W合=0

W^=-mgR

題2.17：

答案：-12

3

提示：w=jFdx=12J

-i

題2.18：

答案：mgh,—kx~,-G----h=0,x=0,r=oo相對值

2r

題2.19：

答案：等，2mg.g店

k。v&o

題2.20：

答案：ZA外力+Z非保守力=°

三、計算題

題2.21：

7711TI

解：(l)FA=Txg/=(L—x)7〃g

LL

19

(2)a=—6-/)吟(l+〃)x-〃g

mL

dvL「-|2__________

(3)a=p?,\vdv=[+dx,v=；〃g(2-〃)

dxiiLL」3

3

題2.22：

解：(1)以擺車為系統(tǒng)，水平方向不受力，動量守恒。設(shè)擺車速度v(對地)、小車的速度

為V(對地)。

…*、MV

mvx-MV=0vx=----

m

Jvdt=j(絲3力設(shè)Ar,=jvdt,AX=j

xx2Vdt

00m00

則M加2=加Ak］，根據(jù)位移公式：&mM=Xns+、九M

-Ax】+AX2=(M+MAr/m

(2)mv-MV=0

mgl=-mv~+—MV2

22

擺球速度v=j2Mg//(M+m)

V=rn^lglI[M{M+m)]

題2.23

解：K=Mg/x。，油灰碰撞前y=

動量守恒有：mv=(m+M)V

機(jī)械能守恒有(m,M,彈簧，地球為系統(tǒng))：

—k(x。+Ax)~=—(加+M)VH—kx^+(6+M)gAY

21+mo\2,2m2g/?x

則Arv()=0.3(m)

M'{}\+

第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動

一、選擇題

題3.1：

答案：[B]

提示：A錯，M=rxF,合外力矩不等于合外力的力矩

C錯，/=加/，??是相對參考點(diǎn)的距離,

動能E=2y2=]_/4,

D錯,4

<=122

題3.2：

答案：[A]

提示：若繩的張力為T,TR=Ip

若物體的加速度為a,a=/3R

TR2=I/3R-la,mg-T-ma

^―,—產(chǎn)

a=

上12

g+mP

/=〃求2(畀—g)

@3.3：

答案：[D]

提示：系統(tǒng)角動量守恒mv()l=Ico,I=；?

11

由于完全彈性碰撞，一〃Z%02=—/刃02,故口正確

22

題3.4：

答案：。

V

提示：射入點(diǎn)沿輪切向動量守恒，故mv0sin0=(m+m)v,a)=—,C正確

題3.5：

答案：[D]

提示：M=rxF,r和F在同一方向上，力矩為0,故角動量守恒

由定義知其動量和動能將改變

二、填空題

題3.6：

答案：c必出竺包

12)M+2mM+2m

提示：人走到邊沿時，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為盤的轉(zhuǎn)動慣量和人的轉(zhuǎn)動慣量之和

根據(jù)角動量守恒定律/o(4=/@+〃?)*，/=1*+〃，&

轉(zhuǎn)臺受沖量矩等于轉(zhuǎn)盤角動量的增量，即;MR2(O-4)

題3.7：

1,zi3gcos61..八1.?八

~im^cosij,sin(J,sin(J

提示：力矩M=廠*尸=g/〃zgsin^-0^=^lmgcos0

根據(jù)轉(zhuǎn)動定律M=1*mF/3,故夕=3g;;s，

根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的動能定理，力矩做的功等于動能的增量，力矩的功為

rO1

J?！猰glcosOd0

題3.8：

答案：2兀RF,2表訴7

提示：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的動能定理fMdO=-Ia)2-0WIco2=InRF

Jo2

角動量的增量為l(o

題3.9:

答案：工加外=0

題3.10：

答案：mvL--MI?(o+—mvL

32

提示：系統(tǒng)角動量守恒，〃?nL=/(y+」〃7vL,。為角速度

2

三、計算題

題3.11：

解：J=0675Ag?機(jī)2

mg-T=ma,TR=J(3,a=R/3

：.a=mgR2/(mR2+/)=5.06m/?

因此(1)下落距離==63.3〃？(2)張力T=ni(g-。)=37.9N

題3.12：

解：下落過程細(xì)桿機(jī)械能守恒(系統(tǒng)：桿與地球)。選m靜止處水平面為零勢點(diǎn)

11,,13

22

M^Z(l+-sin30)=-A//?0+-A/g-/

二.細(xì)桿碰前瞬間角速度為：4=j3g/2/

2

碰撞過程角動量守恒：CO(}MI=(M+Z72)/%(系統(tǒng)桿與小球)

/.co=-^—J3g/2l

M+in

第4章狹義相對論

選擇題

題4.1:

答案：［D］見概念

題4.2：

答案：網(wǎng)

提示：運(yùn)動質(zhì)量朋=-1恤"°=四,外力做功卬=加/一〃%。2=

v2V1-0.360.8

mc2(1----)=0.25mc2

0()0.8

題4.3：

答案：問

提示：在K系中X軸方向上，正方形邊長為a,K'系觀察K系X軸方向正方形邊長

a'=^l-(-)2a,優(yōu)=，一(函^a=0.6a,則從K'系測得面積為0.6ax。=0.6/

題4.4:

答案：聞

提示：選飛船為一參考系，因為真空中光速C對任何慣性參考系都是常數(shù)，由于飛船勻速運(yùn)

動，是慣性系。則飛船固有長度為C股

題4.5:

答案：冏

29

提示：Ek=me--mQc

題4.6:

答案：[C]

提示：由時間的長度為

0.998x3x108x3.48x10-5w=1.04x104m

題4.7:

答案：[D]

題4.8:

答案：[D]

u+u

提不：”相}2M,=u=2x108/n/.y,故“相=2.77x10"機(jī)/s

1u,u2

1+—0

C'

題4.9:

答案：[A]

106MeV廠“…

提示：E=(m-m)c2；

k0Ek=4MeV；故u=0.27c

填空題

題4.10：

提示：設(shè)痕跡之間距離為4，由公式4=—j=^=：（%為靜長度）。則車上觀察者測得

1』\2

長度為L=4

題4.11:

答案：（1）----C⑵生

2

小omv

提示：(1)相對論質(zhì)量和相對論動量：m=]，P=mv=/Q

11=2,得v=?c

非相對論下，P,=mv,—=-

oFF2

22AZlrt_2z12

(2)Ek=me=m()c，m=—r,Ek=moc~(,-1)=mQc

J

i,.6

-----------1=1=>V=-c

1-(與2

c

題4.12：

答案：4

E.me2-m.c28，

22一(=機(jī)

提示：Ek=me=mQc,E靜土々)/，2-=--------3=>m=40

E靜砥)小

題4.13：

答案：-C

2

提示：L=，—(?2q,L=1加，L

=0.5/71,解得v=c

(0)2

題4.14：

2

答案：(n-l)m0c

)

提不：=―,=一,\rr1”

—>T則n=J.,m=i.=nm0，

〃■

122

Ek=me-m()c=(n-l)wioc

題4.15：

答案：3.73m

提示：L=L^l-(-)2,4=5〃z,

0v=2xlOHm?5-1?

則L=5yjl-(^)2m=~~m

=3.13m

題4.16：

答案：6.7xIO。機(jī)

提示：△『'=心『n7=3即

題4.17：

答案：上

,v

計算題

題4.18：

解：（1）航程工2-玉=〃［（工2'-玉'）+〃?2'-4'）］=堊3-（1+四）=1?2乂10”加

/\n-4-1'-11W..3x1010.8?3

(2)時間L-，］二/z?2_'i)—r(*2—&)=--------(—I-----)=5x10S

_cJ0.6Vc

(3)航速心與」?*?-=2.4X10%/S

Ar5xl03

第5章機(jī)械振動

一、選擇題

題5.1

答案：B

題5.2

答案：C

題5.3

答案:C

二、填空題

題5.4

答案：2兀

題5.5：

答案：0.02m

題5.6：

答案：Acos(—r--7r)

三、計算題

5.7一物體沿x軸做簡諧振動，振幅4=0.12m,周期T=2s.當(dāng)t=0時，物體的位移x

=0.06m,且向x軸正向運(yùn)動.求：

(1)此簡諧振動的表達(dá)式；

(2)t=7時物體的位置、速度和加速度；

(3)物體從x=?0.06m,向x軸負(fù)方向運(yùn)動第一次回到平衡位置所需的時間.

［解答］(1)設(shè)物體的簡諧振動方程為x=Acos(3t+(p),其中A=0.12m,角頻率/=2兀/7

=n.

當(dāng)t=0時，x=0.06m,所以cos@=0.5,因此=士內(nèi)3.

物體的速度為v=dx/dt=-u)As\n((jot+<p).

當(dāng)t=0時，v=-cd4sin(p,由于v>0,所以sin(p<0,因此：cp=-n/3.

簡諧振動的表達(dá)式為：x=0.12cos(nf-n/3).

(2)當(dāng)t=T/4時物體的位置為;x=0.12cos(n/2-n/3)=0.12COSH/6=0.104(m).

速度為；v=-TL4sin(n/2-n/3)=-0.12Hsinn/6=-O.lSSfm-s'1).

加速度為：a=dv/dt=-UJ2Acos(a)t+(p)=-兀24cos(nt-n/3)=-0.12n2cosn/6=-1.03(m-s'2).

(3)方法一：求時間差.當(dāng)x=-0.06m時，可得cos(叫?n⑶=?05

因止匕nti-n/3=±2n/3.

由于物體向x軸負(fù)方向運(yùn)動，即v<0,所以sin(nti-n/3)>0,因此nti-n/3=2n/3,得h=Is.

當(dāng)物體從x=-0.06m處第一次回到平衡位置時，x=0,v>0,因此85(叫?3);。，

可得叫?兀3=?兀/2或3兀/2等.由于12>0，所以叫?3=3rt/Z,

可得f2=liy6=1.83(s).

所需要的時間為:At=t2-ti=0.83(s).

方法二：反向運(yùn)動.物體從x=?0.06m,向x軸負(fù)方向運(yùn)動第一次回到平衡位置所需的

時間就是它從x=0.06m,即從起點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動第一次回到平衡位置所需的時間.在

平衡位置時，x=0,v<0,因此cos(Tit-儂)=0,可得nt-=n/2,解得t=5/6=

0.83(s).

［注意］根據(jù)振動方程x=Acos(gt+<p),當(dāng)t=0時,可得0二士arccos(xaZA),(-H<cp<=n),

初位相的取值由速度決定.

由于v=dx/dt=-gAsin(o>t+cp),當(dāng)t=0時，v=-u>4sin(p,當(dāng)v>0時，s\n(p<0,因此

cp--arccos(XcZ4)；

當(dāng)"<0時，sin(p>0,因此0=arccos(XoZ4)TV3.

可見：當(dāng)速度大于零時，初位相取負(fù)值；當(dāng)速度小于零時，初位相取正值.如果速度等

于零，當(dāng)初位置Xo=八時，(p=0；當(dāng)初位置Xo=?4時，(p=R,

X—0.1cos(8加+—)

5.8質(zhì)量為10xl03kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按3的規(guī)律作振動,

式中t以秒(s)計，x以米(m)計.求：

(1)振動的圓頻率、周期、振幅、初位相;

(2)振動的速度、加速度的最大值；

(3)最大回復(fù)力、振動能量、平均動能和平均勢能;

(4)畫出這振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并在圖上指明t為1,

等各時刻的矢量位置.

［解答］(1)比較簡諧振動的標(biāo)準(zhǔn)方程：x=Acos(3t+(p),

可知圓頻津為：3=8兀，周期丁=2JT/3=：1A=0.25(S),振幅

0.1(m),初位相(P=2H3.

1

(2)速度的最大值為：vm=wA=0.8n=2.51(m-s)；題5.8解答圖

222

加速度的最大值為：am=W4=6.4n=63.2(m-s-).

(3)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為：k=ma)2,最大回復(fù)力為:/=kA=m32A=0.632(N)；

振動能量為:￡=kA2/2=mu)2A2/2=3.16xlO-2(J),

平均動能和平均勢能為:Ek=Ep=卜AA=m^A2^=1.58X10-2(J).

(4)如圖所示，當(dāng)t為1,2,10s等時刻時，旋轉(zhuǎn)矢量的位置是相同的.

?5.9如圖所示，質(zhì)量為10g的子彈以速度v=103m?5水平射入

mv鄉(xiāng)木塊，并陷入木塊中，使彈簧壓縮而作簡諧振動.設(shè)彈簧的倔

o->Z強(qiáng)系數(shù)

"k=SxlO^m1,木塊的質(zhì)量為4.99kg,不計桌面摩擦,試求:

圖5.9

(1)振動的振幅；

(2)振動方程.

［解答］(1)子彈射入木塊時，由于時間很短，木塊還來不及運(yùn)動，彈簧沒有被壓縮，

它們的動量守恒，即：mv=(m+M)v0.

解得子彈射入后的速度為：v0=mv/(m+M)=2(m＜，這也是它們振動的初速度.

子彈和木塊壓縮彈簧的過程機(jī)械能守恒，可得：舊+〃)嫌/2=依2/2,

取木塊靜止的位置為原點(diǎn)、向右的方向為位移x的正方向，振動方程可設(shè)為:x=Acos(3t+(p).

當(dāng)t=0時，x=0,可得：(p=±n/2；

由于速度為正，所以取負(fù)的初位相，因此振動方程為：x=5xl0-2cos(40t-n^).

5.10一勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)質(zhì)量為m,半徑為R,繞通過環(huán)上一點(diǎn)而與環(huán)

直的水平光滑軸在鉛垂面內(nèi)作小幅度擺動，求擺動的周期.

［解答］通過質(zhì)心垂直環(huán)面有一個軸，環(huán)繞此軸的轉(zhuǎn)動慣量為：

根據(jù)平行軸定理，環(huán)繞過。點(diǎn)的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量為

22

I=lc+mR=2mR.

當(dāng)環(huán)偏離平衡位置時，重力的力矩為：M=mgRsind,

方向與角度。增加的方向相反.

根據(jù)轉(zhuǎn)動定理得：/6=-M,

d26?

+mgRsin6=0

即題5.10解答圖

由于環(huán)做小幅度擺動，所以―可得微分方程：翳吟二°

5.11質(zhì)量為0.25kg的物體，在彈性力作用下作簡諧振動，倔強(qiáng)系數(shù)k=25N-m”,如果開始

振動時具有勢能0.6J,和動能0.2J,求(1)振幅(2)位移多大時，動能恰等于勢能？(3)

經(jīng)過平衡位置時的速度.

［解答］物體的總能量為：E=Ek+Ep=0.8(J).

(1)根據(jù)能量公式￡=依2〃，得振幅為：A=yj2E/k=o.253(m).

(2)當(dāng)動能等于勢能時，即&=弓，由于E=Ek+Ep，可得：E=2Ep,

-kA2=2x-kx2

，解得：x=±V^A/2=±o.i79(m).

即22

(3)再根據(jù)能量公式￡=加^〃，得物體經(jīng)過平衡位置的速度為:

以=±j2E/*±2.53(mL).

5.12兩個頻率和振幅都相同的簡諧振動的x-t曲線如圖所示，求：

(1)兩個簡諧振動的位相差；

(2)兩個簡諧振動的合成振動的振動方程.

［解答］(1)兩個簡諧振動的振幅為：A=5(cm),

周期為：T=4(s),圓頻率為：a)=2n/T=n/2,

它們的振動方程分別為：

Xi=Acosu)t=5cosnt/2,

x2=As\nu)t=5sinnt/2=5cos(n/2-Ntfl)

即x2=5cos(nf/2-n/2).

位相差為：&P=02-仰=-n/2.

(2)由于x=Xi+X2=5cosnt/2+5sirmt/2

=5(cosnt/2-cosnA+5sinnt/2-sinn/4)/sinn/4

合振動方程為：吟一久初

31

x.=0.05cos(lOf+—乃)x,=0.06cos(lOf+—萬)

5.13已知兩個同方向簡諧振動如下：5,-5

(1)求它們的合成振動的振幅和初位相；

(2)另有一同方向簡諧振動X3=0.07cos(10t+0),問(P為何值時，Xi+X3的振幅為最大？

3為何值時，X2+X3的振幅為最小？

(3)用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法表示(1)和(2)兩種情況下的結(jié)果.x以米計，t以秒計.

［解答］(1)根據(jù)公式，合振動的振幅為：A=JA；+&+2A&COS”/3)=

8.92xl0'2(m).

A.sin69,+Asin科

(p=arctan—1——n——27——遼

初位相為：A1COS/+&COS的=68.22°.

(2)藥更Xi+X3的振幅最大，則：COS(0-01)=1,|天比匕0—91=0,所以：cp=cpi=0.6H.

要使X2+X3的振幅最小，則cos?—6)=-1，因此3—02=n，所以(p=n+(p2=1.2n.

5.14將頻率為384Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉振動和一待測頻率的音叉振動合成，測得拍頻為3.0Hz,在

?待測音叉的一端加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測音叉的固

心|島有頻率.

h><->1［解答］標(biāo)準(zhǔn)音叉的頻率為Vo=384(Hz),

v2Vo%

拍頻為Av=3.0(Hz),

待測音叉的固有頻率可能是V1=v0-^=381(Hz),

也可能是V2=%+Av=387(HZ).

在待測音叉上加一小塊物體時，相當(dāng)于彈簧振子增加了質(zhì)量，由于32=k/m,可知其頻

率將減小.如果待測音叉的固有頻率”,加一小塊物體后，其頻率心將更低，與標(biāo)準(zhǔn)音叉

的拍頻將增加；實(shí)際上拍頻是減小的，所以待測音叉的固有頻率丫2，即387Hz.

5.15三個同方向、同頻率的簡諧振動為

x,=0.08cos(314z+-)x2=0.08cos(314r+-)x3=0.08cos(314z+-)

6,2,6.

求(1)合振動的圓頻率、振幅、初相及振動表達(dá)式；

X=---A

(2)合振動由初始位置運(yùn)動到2所需最短時間(A為合振動振幅).

［解答］合振動的圓頻率為：w=314=100n(rads1).

設(shè)。=0.08,根據(jù)公式得：

Ax=4icos(pi+A2cos(p2+A3cos(p3=0,

Ay=4sin%+A2s\n(p2+A3s\n(p3=2A0=0.16(m),

-+

振幅為：A'=0.16(m),初位相為：cp=arctan(4yMx)=nfl.

合振動的方程為：x=0.16cos(100nt+n/2).

(2)當(dāng)x=V^4/2時，可得：cos(100萬f+萬/2)=0/2,

解得：lOOnt+n/2=n/4或7n/4.

由于t>0,所以只能取第二個解，可得所需最短時間為t=0.0125s.

第6章機(jī)械波

一、選擇題

題6.1

答案：D

題&2

答案：A

題6.3

答案：A

題6.4

答案：C

二、填空題

題&5

答案：相同，相同，2nB.

題6.6

答案：曲,x=0.02cos(如幽)(SI).

題6.7

答案:孫2儂//g產(chǎn).

三'計算題

6.8已知一波的波動方程為"=5、102$而(10日-0.6*)(01).

(1)求波長、頻率、波速及傳播方向；

(2)說明x=0時波動方程的意義，并作圖表示.

［解答］(1)與標(biāo)準(zhǔn)波動方程

,2兀X、

y=Acos(a)t--------)

2比較得：2n"=0.6,

因此波長為：A=10,47(m)；圓頻率為：3=10n,

頻率為：v=(JJ/2TI=5(Hz)；波速為：u=X/T=Av=

52.36(m-s").

且傳播方向為x軸正方向.

(2)當(dāng)x=0時波動方程就成為該處質(zhì)點(diǎn)的振

y=5xl0-2sinl0nt=5xl0-2cos(10nt-n/2),

振動曲線如圖.

6.9有一沿x軸正向傳播的平面波，其波速為u=lm-s1,波長4=0.04m,振幅A=

0.03m.若以坐標(biāo)原點(diǎn)恰在平衡位置而向負(fù)方向運(yùn)動時作為開始時刻，試求：

(1)此平面波的波動方程；

(2)與波源相距x=0Qlm處質(zhì)點(diǎn)的振動方程，該點(diǎn)初相是多少？

［解答］(1)設(shè)原點(diǎn)的振動方程為：yo=Acos(3t+(p),其中A=0.03m.

由于所以質(zhì)點(diǎn)振動的周期為：T=A/u=0.04(s),圓頻率為：3=2TT/T=50H.

當(dāng)t=0時，y0=0,因此cos<p=0；由于質(zhì)點(diǎn)速度小于零，所以卬=n2

原點(diǎn)的振動方程為：y0=0.03cos(50nt+n/2),

平面波的波動方程為：

X-TT

y=0.03cos[50萬。一一)+-]

?2=0.03cos[50n(t-x)+.

(2)與波源相距x=0.01m處質(zhì)點(diǎn)的振動方程為：

y=0.03cos50nt.

該點(diǎn)初相＜p=0.

6.10如圖所示為一列沿x負(fù)向傳播的平面諧波在t=%時的波形圖，振幅A、波長久以

及周期7?均已知.

(1)寫出該波的波動方程；

(2)畫出x=處質(zhì)點(diǎn)的振動曲線；

(3)圖中波線上。和b兩點(diǎn)的位相差優(yōu)-(pb

為多少？

［解答］(1)設(shè)此波的波動方程為：

IX

y=Acos［2萬(一+—)+°］

TA,

當(dāng)t=7■■時的波形方程為：

X71x

y=Acos(2^—+(p+—)=-Asin(27r—+夕)

A2A

在x=0處y=0,因此得sing=0,

解得=0或JI.

而在x="2處y=所以w=0.

tY

y=Acos2%(—l■—)

因此波動方程為：TA.

y=Acos（2〃一+〃）=-4cos2乃一

（2）在處質(zhì)點(diǎn)的振動方程為：.TT,

曲線如圖所示.

（3）=處的質(zhì)點(diǎn)的振動方程為

紇=Acos（27J+J）

Xb=4處的質(zhì)點(diǎn)的振動方程為

yb=Acos（2乃—+2萬）

波線上。和b兩點(diǎn)的位相差

題6.10圖

（Pa-（Pb=-3n/2.

6.11在波的傳播路程上有A和B兩點(diǎn)，都做簡諧振動，8點(diǎn)的位相比A點(diǎn)落后n/6,已

知A和B之間的距離為2.0cm,振動周期為2.0s.求波速u和波長九

tX

y=Acos[2^-（——一）+例

[解答]設(shè)波動方程為：T大，

那么A和B兩點(diǎn)的振動方程分別為：

力=4cos[2乃（《一?）+9]

1A,

%=ACOS[2乃（"?）+勿

一2兀也一[-2兀2二一三

兩點(diǎn)之間的位相差為：丸X6,

由于XB-XA=0.02m,所以波長為：A=0.24（m）.

波速為：u=/V7=（M2（m-s.i）.

6.12一平面波在介質(zhì)中以速度u=20m沿x軸負(fù)方向傳播.已知在傳播路徑上的某點(diǎn)

A的振動方程為y=3cos4Ht.

（1）如以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動方程；

（2）如以距A點(diǎn)5m處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

寫出波動方程；

（3）寫出傳播方向上8,C,D點(diǎn)的振動方程.

[解答]（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動方程為

y=3cos4^（/+—）=3cos（4加H■—-）

u5.

（2）以8點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，波動方程為

C/Z-X-4、'llY"

y=3cos4+-----）=3cos（4m+---兀）

u5.

（3）以4點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則XB=-5m、Xc=-13rn、x0=9m,各點(diǎn)的振動方程為

x

力=3cos4"。+-）=3cos（4加-?）

u,

=3cos4?Q+—）=3cos（4萬f-—）

u5,

yD=3cos4^-(r+—)=3cos(4萬f+也)

u5.

［注意］以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，也能求出各點(diǎn)的振動方程.

6.13設(shè)空氣中聲速為330m61.一列火車以30ms"的速度行駛，機(jī)車上汽笛的頻率為

600Hz.一靜止的觀察者在機(jī)車的正前方和機(jī)車駛過其身后所聽到的頻率分別是多少？如果

觀察者以速度10ms"與這列火車相向運(yùn)動，在上述兩個位置，他聽到的聲音頻率分別是多

少？

［解答］取聲速的方向為正，多譜勒頻率公式可統(tǒng)一表示為

u—u

\tt

u_

其中為表示聲源的頻率，U表示聲速，”表示觀察者的速度，Us表示聲源的速度，VB表示觀

察者接收的頻率.

1

(1)當(dāng)觀察者靜止時，uB=0,火車駛來時其速度方向與聲速方向相同，Us=30ms,

觀察者聽到的頻率為

u330/八八

vR=-----八=--------600

u-us330-30=660(Hz).

火車駛?cè)r其速度方向與聲速方向相反，Us=-30m§i,觀察者聽到的頻率為

u330

/=--------------匕600

330+30=550(Hz).

(2)當(dāng)觀察者與火車靠近時，觀察者的速度方向與聲速相反，us=-10ms一1；火車速度

方向與聲速方向相同，Us=30m￡i,觀察者聽到的頻率為

w—330+10

v=------至八,=--------600

Ruu

~s'330-30=680(HZ).

當(dāng)觀察者與火車遠(yuǎn)離時，觀察者的速度方向與聲速相同，U8=10mgi；火車速度方向與

聲速方向相反，為=-30ms"