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云南省景東一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“”是“直線與直線互相垂直”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知,則“”是“直線與平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若函數(shù)在上為增函數(shù),則a的取值范圍為()A. B.C. D.4.拋物線準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.5.若變量x,y滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)最大值為()A.1 B.-5C.-2 D.-76.已知△的頂點(diǎn)B,C在橢圓上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則△的周長(zhǎng)是()A. B.C.8 D.167.若圓與圓外切,則()A. B.C. D.8.已知直線過(guò)點(diǎn),當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),其斜率的取值范圍是()A. B.C. D.9.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人,被譽(yù)為“七絕圣手”,其《從軍行》傳誦至今“青海長(zhǎng)云暗雪山,孤城遙望玉門(mén)關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲,不破樓蘭終不還”,由此推斷,最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的()A.必要條件 B.充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要10.設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4,則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A.6 B.8C.9 D.1011.某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).右圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是.A.90 B.75C.60 D.4512.如圖所示,正方形邊長(zhǎng)為2cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長(zhǎng)是()A.16cm B.cmC.8cm D.cm二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算,其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖,在塹堵,中,M是的中點(diǎn),,,,若,則_________14.若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形,且圓錐的側(cè)面積為,則該圓錐的體積為_(kāi)_____.15.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為,則_______16.已知函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù),則______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值18.(12分)如圖,四棱錐,,,,為等邊三角形,平面平面ABCD,Q為PB中點(diǎn)(1)求證:平面平面PBC;(2)求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值19.(12分)已知橢圓的焦距為,點(diǎn)在橢圓上.過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).(1)求該橢圓的方程;(2)若點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn),記直線PA,PM,PB的斜率分別為,,.求證:,,成等差數(shù)列.20.(12分)已知橢圓的焦距為4,點(diǎn)在G上.(1)求橢圓G的方程;(2)過(guò)橢圓G右焦點(diǎn)的直線l與橢圓G交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求直線l的方程.21.(12分)已知圓C的方程為.(1)直線l1過(guò)點(diǎn)P(3,1),傾斜角為45°,且與圓C交于A,B兩點(diǎn),求AB的長(zhǎng);(2)求過(guò)點(diǎn)P(3,1)且與圓C相切的直線l2的方程.22.(10分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,三個(gè)頂點(diǎn)(左、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn))構(gòu)成的三角形的面積為,離心率為方程的根.(1)求橢圓方程;(2)橢圓的一個(gè)內(nèi)接平行四邊形的一組對(duì)邊分別過(guò)點(diǎn)和,如圖,若這個(gè)平行四邊形面積為,求平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得,解得或1,所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選:A.2、A【解析】首先由兩直線平行的充要條件求出參數(shù)的取值,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】因?yàn)橹本€與平行,所以,解得或,所以“”是“直線與平行”的充分不必要條件.故選:A.3、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要使函數(shù)在上為增函數(shù),要保證導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正即可,由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知,若在遞增,則在恒成立,即有,則,故選:C.4、D【解析】由拋物線的準(zhǔn)線方程即可求解【詳解】由拋物線方程得:.所以,拋物線的準(zhǔn)線方程為故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的準(zhǔn)線方程,屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,進(jìn)行求最值即可【詳解】解:由得作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖(陰影部分平移直線,由圖象可知當(dāng)直線,過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值,由,解得,所以代入目標(biāo)函數(shù),得,故選:A6、D【解析】根據(jù)橢圓定義求解【詳解】由橢圓定義得△的周長(zhǎng)是,故選:D.7、C【解析】求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑,結(jié)合兩圓相外切,列出方程,即可求解.【詳解】由題意,圓與圓可得,,因?yàn)閮蓤A相外切,可得,解得故選:C.8、A【解析】設(shè)直線方程,利用圓與直線的關(guān)系,確定圓心到直線的距離小于半徑,即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖:設(shè)直線l的方程為即圓心為,半徑是1又直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故選:A9、B【解析】由題意,“不破樓蘭”可以推出“不還”,但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種,按照充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】由題意,“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件,即“不破樓蘭”可以推出“不還”,但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種,比如戰(zhàn)死沙場(chǎng);即如果已知“還”,一定是已經(jīng)“破樓蘭”,所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選:B10、A【解析】計(jì)算拋物線的準(zhǔn)線,根據(jù)距離結(jié)合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,到軸的距離是4,故到準(zhǔn)線的距離是,故點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是.故選:A.11、A【解析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050+0.100)×2=0.3,頻數(shù)為36,∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為120×0.75=90.考點(diǎn):頻率分布直方圖.12、A【解析】由直觀圖確定原圖形中平行四邊形中線段的長(zhǎng)度與關(guān)系,然后計(jì)算可得【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法,原圖形是平行四邊形,,又,,,所以,周長(zhǎng)為故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量可以解決問(wèn)題.【詳解】設(shè),如下圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,則所以又因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋?4、【解析】設(shè)圓錐的高為,可得出圓錐的母線長(zhǎng)為,以及圓錐的底面半徑為,利用圓錐的側(cè)面積公式求出的值,再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的高為,由于圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形,則軸截面三角形的底角為,故該圓錐的母線長(zhǎng)為,底面半徑為,圓錐的側(cè)面積為,可得,因此,該圓錐的體積為.故答案為:.15、或【解析】首先判斷漸近線的傾斜角,再求的值.【詳解】由條件可知雙曲線的其中一條漸近線方程是,因?yàn)閮蓷l漸近線的夾角是,所以直線的傾斜角是或,即或.故答案為:或16、2【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的加法法則,對(duì)求導(dǎo),再求即可.【詳解】由題設(shè),,所以.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)+1;(2)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間是和,極大值為,極小值為【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率,求出后利用點(diǎn)斜式即可得解;(2)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后,解一元二次不等式分別求出、時(shí)的取值范圍即可得解.【詳解】(1)因?yàn)椋?,∴切線方程為,即+1;(2),所以當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是和,極大值為,極小值為18、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)取的中點(diǎn)為,連接,可證,從而可利用面面垂直的判定定理可證平面平面.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖,取的中點(diǎn)為S,連接,因?yàn)闉榈冗吶切?,故,,而平面平面ABCD,平面平面,平面,故平面,而平面,故,而,故,因,故平面,因平面,故,因,故平面,而平面,故平面平面.【小問(wèn)2詳解】連接,因?yàn)?,故四邊形為平行四邊形,而,故四邊形為矩形,所以,由?)可得平面,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則所以,,設(shè)平面的法向量為,則即,取,則,設(shè)平面的法向量為,則即,取,則,故,故平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值為.19、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn),利用橢圓的定義求出a,再由關(guān)系求b,即可得解;(2)分直線斜率存在與不存在兩種情況討論,利用斜率公式計(jì)算出,根據(jù)等差中項(xiàng)計(jì)算,即可證明成等差數(shù)列.【小問(wèn)1詳解】∵橢圓的焦距,橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,又點(diǎn)在橢圓上,,即.該橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè).當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),其方程為,代入,可得.不妨取,則,成等差數(shù)列.當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)其方程為,由,消去x得.即,成等差數(shù)列,綜上可得,,成等差數(shù)列.20、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)已知求出即得橢圓的方程;(2)設(shè)l的方程為,,,聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達(dá)定理,根據(jù)得到,即得直線l的方程.【小問(wèn)1詳解】解:橢圓的焦距是4,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是,.因?yàn)辄c(diǎn)在G上,所以,所以,.所以橢圓G的方程是.【小問(wèn)2詳解】解:顯然直線l不垂直于x軸,可設(shè)l的方程為,,,將直線l的方程代入橢圓G的方程,得,則,.因?yàn)?,所以,則,即,由,得,.所以,解得,即,所以直線l的方程為.21、(1)(2)x=3或【解析】(1)首先利用點(diǎn)斜式求出直線的方程,再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離,最后利用垂直定理、勾股定理計(jì)算可得;(2)依題意可得點(diǎn)在圓外,分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論,當(dāng)直線的斜率不存在直線得到直線方程,但直線的斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為,利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程,解得,即可得解;【小問(wèn)1詳解】解:根據(jù)題意,直線的方程為,即,則圓心到直線的距離為故;【小問(wèn)2詳解】解:根據(jù)題意,點(diǎn)在圓外,分兩種情況討論:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),過(guò)點(diǎn)的直線方程是,此時(shí)與圓C:相切,滿足題意;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,即,直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離為解得此時(shí),直線的方程為,所以滿足條件的直線的方程是或
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