2024-2025學(xué)年滬教版初中數(shù)學(xué)九年級（上）教案 第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.1二次函數(shù)

第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.1二次函數(shù)教學(xué)目標1.通過對實際問題的分析，抽象出二次函數(shù)模型，引導(dǎo)學(xué)生自由歸納二次函數(shù)的概念，并能識別二次函數(shù)，了解二次函數(shù)自變量的取值范圍.2.在實際問題的分析過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷二次函數(shù)概念的形成過程，能用二次函數(shù)來描述和刻畫現(xiàn)實事物間的函數(shù)關(guān)系，能用二次函數(shù)反映實際事物的變化規(guī)律.3.通過觀察、操作、交流、歸納，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強學(xué)生克服困難的勇氣.教學(xué)重難點重點：二次函數(shù)的概念以及對二次函數(shù)的初步認識.難點：具體分析、確定實際問題中的函數(shù)關(guān)系式.教學(xué)過程導(dǎo)入新課【活動一】小李家用40m長的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻足夠長)的矩形菜園，如圖.若這塊菜園的面積為y(m2)，垂直于墻的邊長為x(m)，那么y與x之間是函數(shù)關(guān)系嗎？若是函數(shù)關(guān)系，函數(shù)表達式又是什么？該函數(shù)表達式與一次函數(shù)有什么區(qū)別？自變量x取值范圍是什么？探究新知【互動】(1)以上問題中有哪些變量？自變量是什么？變量：x，y，自變量：x.(2)學(xué)生獨立思考并列出函數(shù)表達式，引導(dǎo)學(xué)生整理函數(shù)表達式，指出函數(shù)表達式的特點，并與一次函數(shù)作比較.函數(shù)表達式為y＝-2x2+40x.【思考】函數(shù)自變量x可取一切實數(shù)嗎？引導(dǎo)學(xué)生大膽質(zhì)疑，然后小組相互交流、討論，分組解決問題.根據(jù)題意得解得0＜x＜20.【活動二】有一玩具廠,如果安排裝配工15人,那么每人每天可裝配玩具190個；如果增加人數(shù),那么每增加1人,可使每人每天少裝配玩具10個.問增加多少人才能使每天裝配玩具總數(shù)最多?玩具總數(shù)最多是多少？【互動】(1)引導(dǎo)學(xué)生分析情境中的數(shù)量關(guān)系，用x分別表示增加的人數(shù)，裝配工的人數(shù)，每人每天裝配的玩具個數(shù).再找出等量關(guān)系，列出函數(shù)表達式.設(shè)增加x人,這時共有(15+x)個裝配工,每人每天可少裝配10x個玩具,因此,每人每天只需裝配(190-10x)個玩具，所以增加人數(shù)后,每天裝配玩具總數(shù)y可表示為y＝(190-10x)(15+x).(2)引導(dǎo)學(xué)生化簡上述函數(shù)表達式，并指出函數(shù)表達式的特征.y＝(190-10x)(15+x)＝-10x2+40x+2850.【思考】在該問題中是什么因素限制了x的取值范圍？引導(dǎo)學(xué)生仔細審題，抓住關(guān)鍵詞，并列出自變量x的取值范圍.0≤x<19【總結(jié)】(1)歸納與比較活動一、二中的函數(shù)表達式的特點，并與一次函數(shù)作比較，類比一次函數(shù)給二次函數(shù)下定義.一般地，表達式形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)，其中x是自變量.(2)引導(dǎo)學(xué)生認識二次函數(shù)的定義，由學(xué)生列出二次項、一次項和常數(shù)項，并指出常數(shù)a，b，c的取值限制：a可否為0？b，c可否為0？當b，c為0時，二次函數(shù)有哪些特殊形式.ax2叫做二次項，bx叫做一次項，c叫做常數(shù)項.特殊形式：y＝ax2；y＝ax2+c；y＝ax2+bx.(3)一般情況下，在沒有具體情境的限制下，二次函數(shù)自變量的取值范圍是什么？全體實數(shù)【活動三】例1下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)？①y＝2-x2；②y＝；③y＝2x(1+4x)；④y＝x2-(1+x)2.【互動】(1)引導(dǎo)學(xué)生參照二次函數(shù)的定義辨別二次函數(shù)，并指出不是二次函數(shù)的理由.①是二次函數(shù)；②是分式而不是整式，不符合二次函數(shù)的定義，故y＝不是二次函數(shù)；③把y＝2x(1+4x)化簡為y＝8x2+2x，顯然是二次函數(shù)；④y＝x2-(1+x)2化簡后變?yōu)閥＝-2x-1，它不是二次函數(shù)而是一次函數(shù).(2)引導(dǎo)學(xué)生歸納出辨別二次函數(shù)有哪些標準或哪些思路.①所表示的函數(shù)關(guān)系式為整式；②所表示的函數(shù)關(guān)系式有唯一的自變量；③關(guān)系式中項的最高次數(shù)為2，且函數(shù)關(guān)系式中二次項系數(shù)不等于0.特別強調(diào)，在函數(shù)表達式最簡的形式下辨別函數(shù)的種類.【活動四】例2如果函數(shù)y＝(k+2)QUOTE是關(guān)于x的二次函數(shù)，則k的值為多少？【互動】(1)分組由學(xué)生自由求解；(2)小組同學(xué)相互批改，歸納出錯誤的原因.【總結(jié)】教師強調(diào)緊扣二次函數(shù)的定義求解，從系數(shù)和指數(shù)方面考慮問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力.【探究】例3某地在長160米、寬120米的矩形空地上快速修建一座隔離醫(yī)院，如圖是該醫(yī)院的俯視圖，分為A，B，C，D，E五個區(qū)域，A區(qū)和C區(qū)是大小相同的矩形區(qū)域，用來隔離治療輕癥感染病人；B區(qū)和D區(qū)是大小相同的正方形區(qū)域，用來隔離治療重癥感染病人；E區(qū)是物資調(diào)配室.若B區(qū)的邊長為x米，E區(qū)的面積為y平方米，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，指出該函數(shù)的類別并求出自變量x的取值范圍.【互動】(1)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，指出E區(qū)的形狀，并用x表示出E區(qū)的長與寬，列出函數(shù)表達式，化簡，并指出函數(shù)的類別；長方形長為(160-2x)米，寬為(2x-120)米y＝(160-2x)(2x-120)＝-4x2+560x-19200二次函數(shù)(2)如何確定自變量的取值范圍？由學(xué)生們先討論本題的求法，再歸納解決問題的一般方法.由160-2x＞0且2x-120＞0可知x的取值范圍為60＜x＜80. 【總結(jié)】二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界變量之間關(guān)系的一種常見的數(shù)學(xué)模型.許多實際問題的解決，可以通過分析題目中變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.課堂練習(xí)1.下列函數(shù)關(guān)系中，y是x的二次函數(shù)的是()A.y＝2x+3B.y＝ C.y＝x2-1D.y＝+12.若函數(shù)y＝mx2+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值不可能為()A.2020 B.-3.14C.-1D.03.二次函數(shù)y＝-x2-3x-1的二次項系數(shù)與常數(shù)項之和為()A.-2 B.2 C.-1 D.04.共享單車為市民的出行帶來了方便，某共享單車公司第一個月投放a輛共享單車，計劃第三個月投放共享單車y輛，設(shè)該公司第二、三兩個月投放共享單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是()A.y＝a(1+x)2 B.y＝a(1-x)2 C.y＝(1-x)2+aD.y＝x2+a5.若等腰直角三角形的腰長為xcm，其面積為ycm2，則y與x之間的函數(shù)表達式為______，此函數(shù)是______函數(shù)(填“一次”或“二次”).6.在下列表達式中，是二次函數(shù)的有______(直接列出編號即可).(1)某正方體的表面積S與其棱長a之間的關(guān)系可表示為S＝6a2；(2)一個人的標準體重w(kg)與這個人的身高h(cm)之間的關(guān)系為w＝70%(h-80)；(3)一個矩形長4cm、寬3cm，將其長與寬都增加x(cm)，增加的面積y(cm2)與x(cm)之間的關(guān)系為y＝(4+x)(3+x)-4×3＝x2+7x；(4)某用電器的電阻為R，當該用電器正常工作時，電功率P與用電器兩端的電壓U之間的關(guān)系可表示為P＝(R為定值).參考答案1.C2.D3.A4.A5.y＝x2二次6.(1)(3)(4)課堂小結(jié)本課從不同的實際問題中抽象出函數(shù)模型，通過觀察、比較和歸納得出二次函數(shù)的概念，并歸納出辨別二次函數(shù)的方法與步驟；會根據(jù)具體的幾何圖形的面積問題和經(jīng)濟決策問題列出二次函數(shù)并能分析自變量的取值范