專題全等三角形模型三垂直與三等角（原卷版）

全等三角形模型——三垂直與三等角三垂直模型如右圖已知：∠D=∠E=∠BCA=90，BC=BA；求證：△BCD≌△CAE.∵∠D+∠DCB+∠B=180°，∠BCA+∠DCB+∠ACE=180°，且∠D=∠BCA.∴∠B=∠ACE.又∵∠D=∠E，BC=BA.∴△BCD≌△CAE.常見的三垂直模型:如圖，是等腰直角三角形，過直角頂點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)（2022秋?文登區(qū)期中）在中，，．（1）如圖①，是過點(diǎn)的一條直線，且，在的同側(cè)，于，于．寫出，，間的數(shù)量關(guān)系，并寫明理由；（2）如圖②，是過點(diǎn)的一條直線，且，在的兩側(cè)，于，于．寫出，，間的數(shù)量關(guān)系，并寫明理由．（2020秋?通河縣期末）綜合與實(shí)踐．積累經(jīng)驗(yàn)（1）我們在第十二章《全等三角形》中學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，在一些探究題中經(jīng)常用以上知識(shí)轉(zhuǎn)化角和邊，進(jìn)而解決問題．例如：我們在解決：“如圖1，在中，，，線段經(jīng)過點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：，”這個(gè)問題時(shí)，只要證明，即可得到解決，請寫出證明過程；類比應(yīng)用（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．拓展提升（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2021秋?臨沂期末）如圖，，，，，垂足分別為，，，，求的長．（2020秋?赫山區(qū)期末）如圖所示，直線一側(cè)有一個(gè)等腰，其中，．直線過頂點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)，，的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，恰好滿足．延長，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．（2022春?清苑區(qū)期末）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到，．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；【模型應(yīng)用】（2）①如圖2，，，，連接，，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；②如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)．若是以為斜邊的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖，．（1）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，以為頂點(diǎn)，為腰在第三象限作等腰，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖②，為軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為頂點(diǎn)，為腰作等腰，過作軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由．（3）如圖③，已知點(diǎn)坐標(biāo)為，是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，以為直角邊作等腰，點(diǎn)在軸上，，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的和是否變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由．三等角模型“一線三等角”是一個(gè)常見的全等模型，指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的全等模型，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角.三等角的推導(dǎo)過程：已知：∠A=∠B=∠CPD，AC=PB；求證：△ACP≌△BPD.∵∠A+∠APC+∠C=180°，∠CPD+∠APC+∠DPB=180°，且∠A=∠CPD.∴∠C=∠DPB.又∵∠A=∠B，AC=PB.∴△ACP≌△BPD.常見的一線三等角模型：如圖，點(diǎn)，，在一條直線上，，，試探究，與之間的數(shù)量關(guān)系．（2022?鹿城區(qū)二模）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接，．已知，．（1）求證：；（2）若，，求的長．如圖，，，三點(diǎn)都在一條直線上，且，，試探究，與之間的數(shù)量關(guān)系．（2021秋?東至縣期末）如圖，在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有，若，，求的長．（2020秋?江津區(qū)期末）問題1：如圖①，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求證：；問題2：如圖②，在三角形中，，是上一點(diǎn)，，且．求的值．如圖①，點(diǎn)、在的邊、上，點(diǎn)，在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，．求證：．應(yīng)用：如圖②，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)，在線段上．，若的面積為15，求與的面積之和．如圖，在等腰三角形中，，，分別為，上一點(diǎn)，．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，若，，求的值．（2021春?榆次區(qū)校級期末）綜合與實(shí)踐（1）觀察理解：如圖1，中，，，直線過點(diǎn)，點(diǎn)，在直線同側(cè)，，，垂足分別為，，由此可得：，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?；（請?zhí)顚懭扰卸ǖ姆椒ǎ?）理解應(yīng)用：如圖2，，且，，且，利用（1）中的結(jié)論，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積；（3）類比探究：如圖3，中，，，將斜邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，求△的面積．