2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第三講平面向量的數(shù)量積學(xué)案含解析新人教版

PAGE第三講平面對量的數(shù)量積學(xué)問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點(diǎn)一向量的夾角兩個(gè)非零向量a與b，過O點(diǎn)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則__∠AOB__叫做向量a與b的夾角；范圍是__[0，π]__.a與b的夾角為__eq\f(π,2)__時(shí)，則a與b垂直，記作a⊥b.學(xué)問點(diǎn)二平面對量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝__|a||b|cosθ__，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．學(xué)問點(diǎn)三平面對量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示(1)設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．①數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝__x1x2＋y1y2__.②模：|a|＝eq\r(a·a)＝__eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))__.③設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).④夾角：cosθ＝__eq\f(a·b,|a||b|)__＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).⑤已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b＝0?__x1x2＋y1y2＝0__；a∥b?a·b＝±|a||b|.(或|a·b|＝|a|·|b|)．⑥|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)).(2)平面對量數(shù)量積的運(yùn)算律①a·b＝b·a(交換律)．②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(安排律)．eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．∴0·a＝0而0·a＝0.2．?dāng)?shù)量積不滿意結(jié)合律(a·b)·c≠a·(b·c)．3．a(chǎn)·b中的“·”不能省略．a(chǎn)·a＝a2＝|a|2.4．兩向量a與b的夾角為銳角?a·b>0且a與b不共線；兩向量a與b的夾角為鈍角?a·b<0，且a與b不共線．當(dāng)a、b為非零向量時(shí)a、b同向?a·b＝|a||b|；a、b反向?a·b＝－|a||b|.5．a(chǎn)在b方向上的投影|a|·cosθ＝eq\f(a·b,|b|).eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)(2)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．(√)(3)a·b>0，則a與b的夾角為銳角；a·b<0，則a與b的夾角為鈍角．(×)(4)兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．(√)(5)在等邊三角形ABC中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為60°.(×)(6)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.(×)(7)(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(8)若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.(×)題組二走進(jìn)教材2．(必修4P107T2改編)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(A)A．6 B．5C．1 D．－6[解析]由題意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故選A．3．(必修4P106T5改編)已知向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，|a|＝eq\r(2)，則a在b方向上的投影為(C)A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]∵a在b方向上的投影為|a|·cos〈a，b〉＝eq\r(2)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(2),2).選C．4．(必修4P108T4改編)在圓O中，長度為eq\r(2)的弦AB不經(jīng)過圓心，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值為__1__.[解析]設(shè)向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角為θ，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|·cosθ＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|cosθ·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝1.題組三走向高考5．(2024·課標(biāo)Ⅰ，14,5分)設(shè)向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1,2m－4)，若a⊥b，則m＝__5__.[解析]由a⊥b得a·b＝0，即m＋1－(2m－4)＝0，解得m＝5.6．(2024·課標(biāo)Ⅰ，14,5分)設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝__eq\r(3)__.[解析]由|a＋b|＝1，得|a＋b|2＝1，即a2＋b2＋2a·b＝1，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝－eq\f(1,2)，|a－b|＝eq\r(|a－b|2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3).7．(2024·全國卷Ⅰ，5分)已知非零向量a，b滿意|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(B)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)[解析]解法一：由題意得，(a－b)·b＝0?a·b＝|b|2，∴|a||b|·cos〈a，b〉＝|b|2，∵|a|＝2|b|，∴2|b|2cos〈a，b〉＝|b|2?cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝eq\f(π,3)，故選B．解法二：如圖所示，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，∴B＝eq\f(π,2)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OB,\s\up6(→))|，∴∠AOB＝eq\f(π,3)，即〈a，b〉＝eq\f(π,3).考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一平面對量數(shù)量積的運(yùn)算——師生共研例1(1)(2024·全國卷Ⅱ，5分)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(C)A．－3 B．－2C．2 D．3(2)(2024·北京，13,5分)已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P滿意eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝__eq\r(5)__；eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝__－1__.[解析](1)因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋t－32)＝1，解得t＝3，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故選C．(2)如圖，在正方形ABCD中，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))得點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝1×1×cos180°＝－1.[一題多解]∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴P為BC的中點(diǎn)．以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意知A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(2,1)，∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(2－02＋1－22)＝eq\r(5)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(－2,1)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，－1)·(－2,1)＝－1.名師點(diǎn)撥向量數(shù)量積的四種計(jì)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)轉(zhuǎn)化法：當(dāng)模和夾角都沒給出時(shí)，即用已知模或夾角的向量作基底來表示要求數(shù)量積的向量求解．(4)坐標(biāo)法：結(jié)合圖形特征適當(dāng)建立坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求其數(shù)量積(如本例(2))．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2024·江西名校高三質(zhì)檢)已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，則a·b＝__10__.(2)在菱形ABCD中，對角線AC＝4，E為CD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(C)A．8 B．10C．12 D．14[解析](1)因?yàn)閍＝(－2，－6)，所以|a|＝eq\r(－22＋－62)＝2eq\r(10)，又|b|＝eq\r(10)，向量a與b的夾角為60°，所以a·b＝|a||b|cos60°＝2eq\r(10)×eq\r(10)×eq\f(1,2)＝10.(2)解法一：轉(zhuǎn)化法：留意到菱形的對角線AC⊥BD．故用eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))表示eq\o(AE,\s\up6(→))，由題意知eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(BD,\s\up6(→))))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)|AC|2＝12，故選C．解法二：坐標(biāo)法：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－2,0)，C(2,0)，不妨設(shè)D(0,2a)，則E(1，a)∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(3，a)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,0)∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，a)·(4,0)＝12，故選C．考點(diǎn)二向量的模、夾角——多維探究角度1向量的模例2(1)(2024·四川雙流中學(xué)月考)若平面對量a、b的夾角為60°，且a＝(1，－eq\r(3))，|b|＝3，則|2a－b|的值為(C)A．13 B．eq\r(37)C．eq\r(13) D．1(2)(2024·黃岡調(diào)研)已知平面對量m，n的夾角為eq\f(π,6)，且|m|＝eq\r(3)，|n|＝2，在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2m＋2n，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2m－6n，D為BC的中點(diǎn)，則|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝__2__.[分析](1)求出|a|，再由|2a－b|＝eq\r(2a－b2)求解；[解析](1)∵a＝(1，－eq\r(3))，∴|a|＝2.∴a·b＝|a||b|cos60°＝3，|2a－b|＝eq\r(2a－b2)＝eq\r(4a2－4a·b＋b2)＝eq\r(13).故選C．(2)由題意知m·n＝eq\r(3)×2×coseq\f(π,6)＝3.∵△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n.∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|2m－2n|＝2eq\r(m－n2)＝2eq\r(m2－2m·n＋n2)＝2eq\r(3－2×3＋4)＝2.名師點(diǎn)撥平面對量的模的解題方法(1)若向量a是以坐標(biāo)(x，y)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？筛纱嗬脇a|＝eq\r(x2＋y2).(2)若向量a，b是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．即“模的問題平方求解．”角度2向量的夾角例3(1)(2024·新高考八省聯(lián)考)已知單位向量a，b滿意a·b＝0，若向量c＝eq\r(7)a＋eq\r(2)b，則sin<a，c>＝(B)A．eq\f(\r(7),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(7),9) D．eq\f(\r(2),9)(2)(2024·全國Ⅲ理，6)已知向量a，b滿意|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉＝(D)A．－eq\f(31,35) B．－eq\f(19,35)C．eq\f(17,35) D．eq\f(19,35)[分析](1)利用夾角公式求解．[解析](1)設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，則c＝(eq\r(7)，eq\r(2))，cos<a，c>＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(\r(7),1×3)＝eq\f(\r(7),3)，∴sin<a，c>＝eq\f(\r(2),3)，故選B．(2)∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝19.又|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(25－12＋36)＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝eq\f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq\f(19,5×7)＝eq\f(19,35).故選D．名師點(diǎn)撥求兩向量夾角的方法及留意事項(xiàng)(1)一般是利用夾角公式：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)留意：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角．(3)a在b方向上的投影等于|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)；b在a方向上的投影等于|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|).角度3平面對量的垂直例4(1)(2024·全國Ⅲ，5)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是(D)A．a(chǎn)＋2b B．2a＋bC．a(chǎn)－2b D．2a－b(2)(2024·安徽宣城調(diào)研)已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為(A)A．eq\f(22,15) B．eq\f(10,3)C．6 D．eq\f(12,7)[解析](1)本題考查向量的數(shù)量積．由題意得a·b＝|a||b|cos60°＝eq\f(1,2)，b2＝|b|2＝1.對于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝eq\f(1,2)＋2＝eq\f(5,2)≠0，故A錯(cuò)；對于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B錯(cuò)；對于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)≠0，故C錯(cuò)；對于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b，故選D．(2)因?yàn)閑q\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋(λ－1)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，因此－λ×32＋42＋(λ－1)×3×4×cos120°＝0，所以λ＝eq\f(22,15).故選A．名師點(diǎn)撥平面對量垂直問題的解題思路解決向量垂直問題一般利用向量垂直的充要條件a·b＝0求解．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度3)(2024·全國Ⅱ，13)已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝__eq\f(\r(2),2)__.(2)(角度1)(2024·山西康杰中學(xué)五校期中)已知向量a、b滿意|b|＝2|a|＝2，a與b的夾角為120°，則|a－2b|＝(B)A．eq\r(13) B．eq\r(21)C．13 D．21(3)(角度2)(2024·江西七校聯(lián)考)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，且b在a上的投影為－3，則向量a與b的夾角為__eq\f(2π,3)__.[解析](1)本題考查平面對量的數(shù)量積運(yùn)算．由題意知|a|＝|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos45°＝eq\f(\r(2),2).因?yàn)閗a－b與a垂直，所以(ka－b)·a＝0，即ka2－a·b＝0，即k－eq\f(\r(2),2)＝0，得k＝eq\f(\r(2),2).(2)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1，∴|a－2b|＝eq\r(a－2b2)＝eq\r(|a|2－4a·b＋4|b|2)＝eq\r(21).故選B．(3)由題意可知eq\f(a·b,|a|)＝－3，∴eq\f(3＋\r(3)m,2)＝－3.∴m＝－3eq\r(3)，∴|b|＝eq\r(32＋3\r(3)2)＝6，記a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－3,|b|)＝－eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).名師講壇·素養(yǎng)提升有關(guān)數(shù)量積的最值(范圍)問題例5(1)(2024·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是(B)A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－1[思維導(dǎo)引]思路一：思路二：[解析]解法一：結(jié)合題意畫出圖形，如圖所示，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為E，連接AD，PE，PD，則有eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(EA,\s\up6(→)))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\o(EA,\s\up6(→))2)．而eq\o(EA,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，eq\o(PE,\s\up6(→))2有最小值0，故此時(shí)eq\o(PA,\s\up6(→))·(e