第02講 解直角三角形（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）-A4

第頁(yè)第02講解直角三角形使學(xué)生理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系，什么是解直角三角形；2．會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形．知識(shí)點(diǎn)1解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，，，.

④，h為斜邊上的高.

注意：

(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒(méi)有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.知識(shí)點(diǎn)2解直角三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，注意：

1．在遇到解直角三角形的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，最好是先畫(huà)出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.

2．若題中無(wú)特殊說(shuō)明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.【典例1】（2023?雨花區(qū)校級(jí)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin∠B等于（）A． B． C． D．【變式1-1】（2023?子洲縣校級(jí)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，，則AC的長(zhǎng)為（）A．4.5 B．5 C．2 D．3【變式1-2】（2023春?東城區(qū)校級(jí)期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，則sinB的值是（）A．1 B． C． D．【變式1-3】（2023?沭陽(yáng)縣模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，則AC的長(zhǎng)為（）A．6 B．2 C．3 D．9【典例2】（2022秋?承德縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝【變式2-1】（2023?耿馬縣二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AD＝8，，那么tanB的值為（）A． B． C． D．【變式2-2】（2023春?巴東縣期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，＝，則tan∠B＝（）A． B． C． D．【變式2-3】（2023?巧家縣校級(jí)三模）如圖，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，則邊AB的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【典例3】（2023?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），連接OP，則OP與x軸正方向所夾銳角α的余弦值是（）A． B． C． D．【變式3-1】（2022秋?乳山市期末）如圖，已知點(diǎn)P（4，3），OP與x軸正半軸的夾角為α，則cosα＝（）A． B． C． D．【變式3-2】（2023?隴縣一模）如圖所示，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝1，，則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【典例4】（2022秋?泉州期末）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，O都在小正方形的頂點(diǎn)上，則∠AOB的正弦值是（）A． B． C． D．【變式4-1】（2023?長(zhǎng)豐縣模擬）如圖，在網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC等于（）A． B． C． D．【變式4-2】（2023?海港區(qū)一模）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，則tanA的值是（）A． B． C．2 D．【變式4-3】（2022秋?離石區(qū)期末）正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖所示放置（點(diǎn)A，C均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且點(diǎn)C在OB上），則cos∠AOB的值為（）A． B． C． D．【典例5】（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE為AC邊上的中線．（1）若∠EDA＝3∠BAD，求∠C的度數(shù)；（2）若tan∠EDA＝4，AB＝5，求點(diǎn)A到BC的距離．【變式5-1】（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）求∠EAB的正弦值．【變式5-2】（2023春?梅江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）若∠A＝60°，求BC的長(zhǎng)；（2）若sinE＝，求AD的長(zhǎng)．1．（2023?攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，則cos∠A的值為（）A． B． C． D．2．（2023?益陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．3．（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．4．（2022?樂(lè)山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．25．（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．6．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．3 C．6 D．37．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．8．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．9．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．10．（2022?廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線，交劣弧于點(diǎn)D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）所作的圖形中，求點(diǎn)O到AC的距離及sin∠ACD的值．一．選擇題（共8小題）1．如圖，∠B＝60°，AB＝4，AC＝6，則cosC的值是（）A． B． C． D．2．如圖，點(diǎn)A，B，C都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC的值是（）A． B．1 C． D．3．若銳角α滿足，則＝（）A． B． C． D．4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的長(zhǎng)是（）A．a(chǎn)?tanα B．a(chǎn)?cotα C． D．5．如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA＝（）A． B． C． D．無(wú)法求得6．在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，則AB的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．27．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，則BC的長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C． D．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，CE是AB邊上的中線，AD＝3，CE＝5，則tan∠BCE的值為（）A． B． C． D．二．填空題（共3小題）9．如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B、C都在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，則∠BAC的正切值是．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P是第一象限的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（6，y），且OP與x軸正半軸的夾角為α．若tanα＝，則OP＝．11．構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要方法，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB，使BD＝AB，連接AD，使得∠D＝15°，所以tan15°＝，類(lèi)比這種方法，計(jì)算tan22.5°＝．三．解答題（共4小題）12．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D在AC上，，∠BDC＝60°，求BC的長(zhǎng)．13．如圖，在△ABC中，AB＝5，sinB＝，tanC＝．（1）求BC的長(zhǎng)．（2）若點(diǎn)D在BC邊上，且