數(shù)學(xué)教材梳理古典概型

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、基本事件的概念和概率在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果稱為基本事件.如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件的概率為。一次試驗中，只可能出現(xiàn)一種結(jié)果,即產(chǎn)生一個基本事件,任何兩個基本事件是互斥的（不可能同時發(fā)生的），如擲骰子試驗中，一次試驗只能出現(xiàn)一個點數(shù)，任何兩個點數(shù)不可能在一次試驗中同時發(fā)生.且任何隨機事件都可以表示成基本事件的和(至少有一個發(fā)生）,在擲骰子試驗中，隨機事件“出現(xiàn)偶數(shù)點"由基本事件出現(xiàn)“2點”“4點”“6點”共同組成.誤區(qū)警示在計算基本事件的概率時要明確基本事件與基本事件的總數(shù)之間的關(guān)系，如擲骰子的試驗中,P（“1點")=P（“2點”)=…=P（“6點”)=。而如果將事件看成是偶數(shù)點或奇數(shù)點,則事件的總數(shù)就不再是6而是2,P(偶數(shù)點）=P（奇數(shù)點)=.二、古典概型的特點我們將滿足下述條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型。（1）所有的基本事件只有有限個；(2）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的;一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性.誤區(qū)警示并不是所有的試驗都符合古典概型.例如，在適宜的條件下“種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”，這個試驗的基本事件只有兩個:發(fā)芽、不發(fā)芽。而“發(fā)芽”或“不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機會一般是不均等的。又如,從規(guī)格直徑為300mm±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根，測量其直徑d，測量值可能是從299.4mm到300。6mm之間的任何一個值,所有可能的結(jié)果有無限多個，這兩個試驗都不屬于古典概型。只具有有限性的不是古典概型，只具有等可能性的也不是古典概型，生活中還有許多這樣的例子.三、古典概型的概率公式如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，某個事件A包含了其中為m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為，即在古典概型中,P(A）=。這個公式只適應(yīng)于計算古典概率，而古典概型中的“等可能性”的判斷是很重要的，如先后拋擲兩枚硬幣,求“一枚出現(xiàn)正面，另一枚出現(xiàn)反面”的概率.因為先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可出現(xiàn)“正，正”“正,反"“反，正”“反，反”這4種等可能的結(jié)果,而“一枚出現(xiàn)正面，另一枚出現(xiàn)反面”這一事件包括“正，反”“反，正”兩種結(jié)果，因此“一枚出現(xiàn)正面，另一枚出現(xiàn)反面”的概率是P==，但答本題時，有時錯誤地認(rèn)為先后拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，只會出現(xiàn)“2個正面”、“2個反面”、“1正1反”這3種情況，從而得到P=的結(jié)論，實際上上述3種情況不是等可能的。深化升華在一次試驗中，等可能出現(xiàn)的n個結(jié)果組成一個集合I，這n個結(jié)果就是集合I的n個元素，各基本事件均對應(yīng)于集合I的含有1個元素的子集，包含m個結(jié)果的事件A對應(yīng)于I的含有m個元素的子集A.因此從集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素個數(shù)〔記作：card（A)〕與集合I元素個數(shù)〔記作：card(I）〕的比值即P（A）=。方法歸納用這個式子計算概率時,關(guān)鍵是求出m、n,其中n為一次試驗中等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，m為某個事件所包含的結(jié)果數(shù).求n時應(yīng)注意這n種結(jié)果必須是等可能的，且要注意這m個結(jié)果一定是這n個結(jié)果的一部分。四、求等可能性事件的概率的步驟首先反復(fù)閱讀題目，收集整理題目中各種信息；其次判斷本試驗是否是等可能的，利用列舉法等知識計算本試驗的基本事件有多少個；然后指出事件A是什么，它包含多少個基本事件；最后利用古典概型的計算公式計算事件A的概率。典題·熱題知識點古典概型的概率計算例1兩個完全相同的均勻的正方體玩具，各個面上分別刻有1,2,3，4，5，6六個數(shù)字，將這兩個玩具同時擲一次。兩個玩具的數(shù)字之和共有多少種不同的結(jié)果？其中數(shù)字之和為12的有多少種情況?數(shù)字之和為6的共有多少種情況？分別計算這兩種情況的概率。思路分析：擲骰子有36個基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型.可利用圖表法求解基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件數(shù)。解：兩個玩具同時擲的結(jié)果可能出現(xiàn)的情況如下表：第一枚數(shù)字和123456723456783456789456789105678910116789101112第二枚123456其中共有36種不同情況，但數(shù)字之和卻只有2,3,4，5，6,7,8,9,10,11,12共11種不同結(jié)果，從中可以看出，出現(xiàn)2的只有1種情況，而出現(xiàn)12的也只有1種情況，它們的概率均為,因為只有甲、乙均為1或均為6時才有結(jié)果。出現(xiàn)數(shù)字之和為6的共有(1,5），（2，4）,(3,3）,（4,2）,（5,1)5種情況，所以其概率為。誤區(qū)警示數(shù)字之和實際上只有2,3，4,5，6，7，8,9,10，11，12共11種不同結(jié)果，但它們出現(xiàn)的可能性卻不相等,會出現(xiàn)“兩端小，中間大”的情況，所以并不能簡單地認(rèn)為n=11,直接利用古典概型的計算公式.例2在箱子中裝有十張卡片,分別寫有1到10的十個整數(shù)，從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數(shù)x,然后再放回箱子中；第二次再從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數(shù)y，試求x+y是10的倍數(shù)概率.思路分析：可用逐一列舉的方法求古典概型基本事件個數(shù).解：先后兩次抽取卡片時，每次都有10種結(jié)果，故有序?qū)崝?shù)對（x，y)共有10×10=100個.x+y是10的倍數(shù)，它包含下列數(shù)對：(1，9)，（2,8),(3，7)，(4，6),(5,5),(6，4），(7，3），(8，2），（9,1),（10,10)共10個.故x+y是10的倍數(shù)概率P（A）=。誤區(qū)警示利用古典概型的計算公式時應(yīng)注意兩點：（1）所有的基本事件必須是互斥的；（2）m為事件A所包含的基本事件數(shù),求m值時,要做到不重不漏。問題·探究思想方法探究問題運用古典概型來求解概率問題，可以構(gòu)建不同的古典概型嗎？探究過程：可以從不同的角度來構(gòu)建古典概型，求解古典概型概率問題,關(guān)鍵是把什么看作是一個基本事件（即一個試驗結(jié)果）,一般說來，在建概率模型時，把什么看作是一個基本事件(即一個試驗結(jié)果)是人為規(guī)定的，我們只要求：每次試驗有一個且只有一個基本事件出現(xiàn)，例如：擲一粒均勻的骰子時，根據(jù)問題的需要，可以認(rèn)為有6個結(jié)果（向上的點數(shù)是1，向上的點數(shù)是2,…，向上的點數(shù)是6),