2024-2025學年北京市朝陽區(qū)和平街第一中學高三上學期10月月考數學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市朝陽區(qū)和平街第一中學高三上學期10月月考數學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設全集U=R，集合A=x|x<2，B=x|x<1則集合?UA.?∞,2 B.2,+∞

C.1,2 D.?∞,12.設x∈R，向量a=1,2，b=x,1，且a⊥A.5 B.25 C.3.若復數z=2+ia+i的實部與虛部相等，則實數a的值為(

)A.?3 B.?1 C.1 D.34.在下列函數中，值域為R的偶函數是(

)A.fx=x B.fx=5.《中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長a1,a2,a3,a4,a5(單位：A.64 B.96 C.128 D.1606.如圖，在?ABC中，AD為BC邊上的中線，若E為AD的中點，則CE=(

)

A.?14AB?54AC B.7.已知向量，滿足|a?|=|b?|=1，且其夾角為θ，則“|a?A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.對于定義在R上的函數y=f(x)，若存在非零實數x0，使函數y=f(x)在(?∞,x0)則稱x0為函數y=f(x)的一個“折點”.下列四個函數存在“折點”的是(

)A.f(x)=3x?1+2 B.f(x)=lg(x9.把液體A放在冷空氣中冷卻，如果液體A原來的溫度是θ1°C，空氣的溫度是θ0°C，則tmin后液體A的溫度θ°C可由公式θ=θ0+θ1?θ0e?0.3t求得．把溫度是62°A.2.7 B.3.7 C.4.7 D.5.710.已知函數fx=0,x<1lnx,x≥1，若不等式fx≤x?kA.(?∞,1] B.1,+∞ C.0,1 二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數fx=1lgx+112.已知Sn為遞增等比數列an的前n項和，其中a1，92，a4成等差數列，且a2?13.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點P滿足AP=12AB+AC，則PD=

；若點H是線段AP上的動點，則BP14.已知函數fx=x3,x≥a?x2+2a,x<a，若f15.已知等差數列an的前n項和為Sn，且S2023<S2024<S給出下列四個結論：①a②a③使Sn<0成立的n的最大值為④當n=2023時，Tn其中所有正確結論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.已知函數fx=(1)求fx(2)令gx=afx+b，x∈π4,π2，其中a>0，若17.已知等比數列an為遞增數列，其前n項和為Sn，a2=9(1)求數列an(2)若數列an?bn是首項為1，公差為3的等差數列，求數列bn的通項公式及前18.在?ABC中，c=2，C=30°，在從條件①、條件②、條件③(1)a的值；(2)?ABC的面積．條件①：2b=條件②：A=45條件③：b=2注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19.某市A，B兩所中學的學生組隊參加信息聯(lián)賽，A中學推薦了3名男生、2名女生．B中學推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊參賽．(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；(2)設X表示A中學參賽的男生人數，求X的分布列和數學期望；(3)已知3名男生的比賽成績分別為76，80，84，3名女生的比賽成績分別為77，aa∈N?，81，若3名男生的比賽成績的方差大于3名女生的比賽成績的方差，寫出a的取值范圍(不要求過程20.已知函數f(x)=ax2?e(1)若a=e2，求(2)若f(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在極小值m，(ⅰ)求a的取值范圍；(ⅱ)證明：m>?a．21.已知無窮數列an，給出以下定義：對于任意的n∈N?，都有an+an+2≥2an+1，則稱數列an為“(1)已知數列an，bn的前n項和分別為An，Bn，且an=2n?1，bn(2)證明：數列an為“T數列”的充要條件是“對于任意的k，m，n∈N?，當k<m<n(3)已知數列bn為“嚴格T數列”，且對任意的n∈N?，bn∈Z，b1=?8參考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.C

6.D

7.C

8.D

9.B

10.A

11.(?1,0)∪(0,2]

12.31

13.5

；

；

；

；；

；[1,2]14.?∞,?2∪15.①②④

16.(1)fx=由?π2+2kπ≤2x?π6所以函數的單調遞增區(qū)間為?(2)由(1)知gx∵π∴1又a>0，gx的值域為2,5所以當sin2x?π6當sin2x?π6聯(lián)立可解得a=6,b=?1.

17.(1)設等比數列an的首項為a1，公比為根據題意可得a1q=9a1因為等比數列{an所以數列{an}(2)因為數列{an?bn所以an所以bn所以T=3(1?

18.(1)選擇條件①，2b=3a，由于C=所以cosC=a2選擇條件②，A=45°，由于C=30由正弦定理csinC=選擇條件③，b=23，由正弦定理csin此時B=60°或(2)選擇條件①，2b=3a，由a=4，則b=2故?ABC為直角三角形，所以S選擇條件②，A=45°，在?ABC中，所以S?ABC

19.(1)由題意知，參加集訓的男、女生各有6名．參賽學生全部從B中學中抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為C3因此，A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為1?1(2)根據題意得，X的可能取值為0，1，2，3．則PX=0PX=2=所以X的分布列為：X0123P1991因此，X的數學期望EX(3)3名男生的比賽成績分別為76，80，84，平均值為80，方差為(?4)3名女生的比賽成績?yōu)?7，aa∈N?，81所以32>77?即32×9>73?a代入檢驗，可知a最小為74，最大84，故73<a<85，a∈即a的取值范圍{a|73<a<85,a∈N

20.(1)若a=e2，則f(x)=e所以?(x)=f′(x)=ex?exx∈R令?′(x)>0，即e?ex令?′(x)<0，即e?ex<0所以?(x)在(?∞,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減．(2)(ⅰ)法一：因為?(x)=2ax?ex(x∈(0,+∞))易知?′(x)在(0,+∞)上單調遞減，當2a?1≤0即a≤12時，?′(x)<?因為?(0)=?1<0，所以?(x)=f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減，所以f(x)無極值．當2a?1>0即a>1由?′x=0可得當x變化時，?′(x)與x(0,ln(?’(x)+0??(x)單調遞增極大值單調遞減∴?(x)在(0,ln(2a))上單調遞增，在當x=ln(2a)時，?(x)有極大值①當?(ln(2a))≤0即?x=f′x≤0，所以f(x)無極值．②當?(ln(2a))>0即因為?(0)=?1<0，所以?(x)在(0,ln(2a))上有且只有一個零點，記為當x變化時，?(x)即f′(x)與f(x)的變化情況如下表所示．x(0,x(f′(x)?0+f(x)單調遞減極小值單調遞增所以，當a>e2時，法二：?x令gx=2a?當x∈(0,1)時，g′(x)>0,g(x)在當x∈(1,+∞)時，g′(x)<0,g(x)在(1,+∞)上單調遞減，∴g(x)①當2a?e≤0，即a≤e2∴?(x)=f′(x)≤0,∴f(x)在(0,+∞)上單調遞減，所以f(x)無極值．②當2a?e>0，即a>e當x>0且x→0時，vx又∵g(1)=2a?e>0，∴?x0∈(0,1),使所以當x∈(0,x0)時，x>1即f′(x)<0,∴f(x)當x∈(x0,1)時，?(x)>0,即f′(x)>0,∴f(x)∴當x=x0時，∴f(x)有極小值時，a的取值范圍是(e(ⅱ)由(i)知，m=f(x∵?x0∴m=ax∵?∴x0∈(0,1)∴m>?a.

21.(1)由于an=2n?1為等差數列，所以An=1+2n?1任意的n∈N?，都有故An+An+2>2任意的n∈N?，都有故Bn+Bn+2<2(2)先證明必要性：因為an為“T數列”，所以對任意的n∈N?，都有a所以對任意的k，m，n∈N?，當an所以an又am所以am又am?故am?akm?k再證明充分性：對于任意的k，m，n∈N?，當k<m<n時，有即am對于任意的k∈N?，m=k+1,n=k+2，則有即可ak+2+ak≥2(3)數列bn為“嚴格T數列”，且對任意的n∈N?，有b設cn=bn+1?所以b