2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第4節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案含解析新人教A版

PAGE第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與圓的位置關(guān)系的推斷(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系進(jìn)行推斷．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，求聯(lián)立后所得方程的判別式Δ，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0?相交，,Δ＝0?相切，,Δ<0?相離.))直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，代數(shù)法與幾何法是不同的方面和思路，解題時(shí)要依據(jù)題目特點(diǎn)敏捷選擇．2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的狀況相離d>r1＋r2無(wú)解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解(1)用代數(shù)法推斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)，要精確區(qū)分兩圓內(nèi)切、外切或相離、內(nèi)含．(2)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條．②內(nèi)切：1條．③相交：2條．④外切：3條．⑤外離：4條．3．常用結(jié)論(1)當(dāng)兩圓相交(切)時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(公切線)所在的直線方程．(2)圓的切線方程常用結(jié)論過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．推斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件． (×)(2)假如兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切． (×)(3)假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交． (×)(4)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程． (×)(5)假如直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切． (√)2．已知直線y＝mx與圓x2＋y2－4x＋2＝0相切，則m的值為()A．±eq\r(3)B．±eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),2)D．±1D解析：由x2＋y2－4x＋2＝0得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝2，所以該圓的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝eq\r(2).又直線y＝mx與圓x2＋y2－4x＋2＝0相切，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|2m|,\r(m2＋1))＝eq\r(2)，解得m＝±1.3．若過(guò)點(diǎn)A(3,0)的直線l與曲線(x－1)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為()A．(－eq\r(3)，eq\r(3)) B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D解析：數(shù)形結(jié)合可知，直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)，則圓心(1,0)與直線y＝k(x－3)的距離應(yīng)小于等于半徑1，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).4．若直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.eq\r(10)解析：由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以該圓的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝eq\r(5).又圓心(1,2)到直線3x－y－6＝0的距離為d＝eq\f(|3－2－6|,\r(9＋1))＝eq\f(\r(10),2).由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up8(2)＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝eq\r(10).5．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．2eq\r(2)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))得兩圓公共弦所在直線方程為x－y＋2＝0.又圓x2＋y2＝4的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).由勾股定理得弦長(zhǎng)的一半為eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以，所求弦長(zhǎng)為2eq\r(2).考點(diǎn)1直線和圓的位置關(guān)系——基礎(chǔ)性1．直線x－y＋2＝0與圓x2＋(y－1)2＝4的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相離D．不確定A解析：由題意，可得圓心(0,1)到直線x－y＋2＝0的距離為d＝eq\f(|0－1＋2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<2，所以直線與圓相交．2．(2024·泰安市高三三模)已知拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線恰好與圓M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相切，則r＝()A．3B．4C．5D．6C解析：拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝－1，圓M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)的圓心為(3,4)．因?yàn)闇?zhǔn)線恰好與圓M相切，所以圓心到準(zhǔn)線的距離為r＝|4＋1|＝5.3．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C解析：由題意得圓心為(a,0)，半徑為eq\r(2)，圓心到直線的距離為d＝eq\f(|a＋1|,\r(2)).由直線與圓有公共點(diǎn)可得eq\f(|a＋1|,\r(2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3,1]．推斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ推斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可推斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題．考點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系——綜合性(1)圓C1：x2＋y2－2y＝0與C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的位置關(guān)系為()A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切D解析：圓C1：x2＋y2－2y＝0的圓心為C1(0,1)，半徑為r1＝1.圓C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的圓心為C2(eq\r(3)，0)，半徑為r2＝3，所以|C1C2|＝eq\r(\r(3)2＋1)＝2.又r2－r1＝2，所以|C1C2|＝r2－r1＝2，所以圓C1與C2內(nèi)切．(2)已知圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，圓C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.①求證：圓C1和圓C2相交；②求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng)．①證明：由題意得，圓C1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝11，圓C2化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－5)2＋(y－6)2＝16，則圓C1的圓心C1(1,3)，半徑r1＝eq\r(11)，圓C2的圓心C2(5,6)，半徑r2＝4.兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4.因?yàn)閨r1－r2|＝4－eq\r(11)，所以|r1－r2|<d<r1＋r2，所以圓C1和C2相交．②解：將圓C1和圓C2的方程相減，得4x＋3y－23＝0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離d＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦長(zhǎng)為2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).(1)推斷兩圓位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的肯定值的大小關(guān)系推斷，一般不用代數(shù)法．重視兩圓內(nèi)切的狀況，作圖視察．(2)兩圓相交時(shí)，兩圓的公共弦所在直線的方程，可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．(3)求兩圓公共弦長(zhǎng)，常選其中一圓，由弦心距d、半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)、半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．1．若圓x2＋y2＋4x－4y－1＝0與圓x2＋y2＋2x－13＝0相交于P，Q兩點(diǎn)，則直線PQ的方程為_(kāi)_______．x－2y＋6＝0解析：兩個(gè)圓的方程兩端相減，可得2x－4y＋12＝0，即x－2y＋6＝0.2．假如圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－a)2＝4，圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑為2.依題意得0<eq\r(a2＋a2)<2＋2，所以0<|a|<2eq\r(2).所以a∈(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))．考點(diǎn)3直線與圓的綜合問(wèn)題——綜合性考向1圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題(1)(2024·荊州三模)已知直線l過(guò)點(diǎn)(2，－1)，則“直線l的斜率為eq\f(3,4)”是“直線l被圓C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A解析：直線l被圓C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)?圓心(1，－3)到直線l的距離為1.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，明顯符合要求；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l：kx－y－2k－1＝0，由eq\f(|k＋3－2k－1|,\r(k2＋1))＝1得(k－2)2＝k2＋1，解得k＝eq\f(3,4)，因此直線l被圓C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)?k＝eq\f(3,4)或斜率不存在．故選A．(2)直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2),3eq\r(2)] D．[2eq\r(2),3eq\r(2)]A解析：圓心(2,0)到直線的距離d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以點(diǎn)P到直線的距離d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．依據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－2,0)，(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面積S＝eq\f(1,2)|AB|d1＝eq\r(2)d1.因?yàn)閐1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．求弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，依據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2).考向2圓的切線問(wèn)題過(guò)點(diǎn)P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為()A．y＝－eq\f(\r(3),4)B．y＝－eq\f(1,2)C．y＝－eq\f(\r(3),2)D．y＝－eq\f(1,4)B解析：圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C(1,0)，半徑為1，以|PC|＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1.將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－eq\f(1,2).(1)圓的切線問(wèn)題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問(wèn)題．(2)過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，還要考慮斜率不存在的狀況，以防漏解．1．(2024·洛陽(yáng)市高三三模)已知圓C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)與直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，則圓C與直線x－y－4＝0相交所得弦長(zhǎng)為()A．1B．eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)D解析：圓心到直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0的距離d1＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2)).因?yàn)閳AC：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)與直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，所以d1＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2))＝r＝2，解得a＝2或a＝2－4eq\r(2).因?yàn)閍≥2，所以a＝2.所以(x－2)2＋y2＝4.所以圓心到直線x－y－4＝0的距離為d2＝eq\f(|2－4|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圓C與直線x－y－4＝0相交所得弦長(zhǎng)為l＝2eq\r(r2－d\o\al(2,2))＝2eq\r(2).故選D．2．(2024·長(zhǎng)春市高三三模)已知圓E的圓心在y軸上，且與圓x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直線的方程為x－eq\r(3)y＝0，則圓E的方程為()A．x2＋(y－eq\r(3))2＝2 B．x2＋(y＋eq\r(3))2＝2C．x2＋(y－eq\r(3))2＝3 D．x2＋(y＋eq\r(3))2＝3C解析：兩圓圓心連線與公共弦垂直，不妨設(shè)所求圓心的坐標(biāo)為(0，a)，半徑為r.又圓x2＋y2－2x＝0的圓心為(1,0)，半徑為1，故eq\f(a,－1)×eq\f(1,\r(3))＝－1，解得a＝eq\r(3).故所求圓心為(0，eq\r(3))．點(diǎn)(1,0)到直線x－eq\r(3)y＝0的距離為eq\f(1,\r(1＋3))＝eq\f(1,2)，所以直線x－eq\r(3)y＝0截得x2＋y2－2x＝0所成弦長(zhǎng)為2eq\r(12－\f(1,4))＝eq\r(3)，圓心(0，eq\r(3))到直線x－eq\r(3)y＝0的距離為eq\f(3,2)，所以直線x－eq\r(3)y＝0截圓所得弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up8(2))＝eq\r(3)，解得r＝eq\r(3).故圓心坐標(biāo)為(0，eq\r(3))，半徑為eq\r(3).故選C．3．已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線x－ay＋1＝0平行，則a＝________.－2解析：因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x－1)2＋y2＝5上，所以過(guò)點(diǎn)P(2,2)與圓(x－1)2＋y2＝5相切的切線方程的斜率為－eq\f(1,2)，所以切線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－6＝0.由直線x＋2y－6＝0與直線x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，即a＝－2.4．過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_(kāi)_______．2eq\r(2)解析：設(shè)P(3,1)，圓心C(2,2)，則|PC|＝eq\r(2)，半徑r＝2.由題意，知最短的弦過(guò)點(diǎn)P(3,1)，且與PC垂直，所以最短弦長(zhǎng)為2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)，求圓C的方程．[四字程序]讀想算思求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程如何求圓的方程？1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？2．圓的一般方程是什么？數(shù)形結(jié)合的思想方法1.圓C的圓心在直線上；2．圓C與直線相切；3．圓C在直線上截得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)依據(jù)題目條件設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，利用待定系數(shù)法求解1.(x－a)2＋(y－b)2＝r2；2．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0借助于圓的幾何性質(zhì)求解思路參考：依據(jù)圓心在直線上，設(shè)出圓心．由圓與直線相切，表示出半徑，結(jié)合弦長(zhǎng)求出圓的方程．解：因?yàn)樗髨A的圓心在直線x＋y＝0上，所以設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)．又因?yàn)樗髨A與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，所以d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up8(2)＝r2，即eq\f(2a－32,2)＋eq\f(3,2)＝2a2.解得a＝1.所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.思路參考：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．利用圓心到直線的距離公式表示出半徑，結(jié)合弦長(zhǎng)求出圓的方程．解：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則圓心(a，b)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|a－b－3|,\r(2))，所以r2＝eq\f(a－b－32,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up8(2)，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①因?yàn)樗髨A與直線x－y＝0相切，所以(a－b)2＝2r2.②又因?yàn)閳A心在直線x＋y＝0上，所以a＋b＝0.③聯(lián)立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r＝\r(2)，))故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.思路參考：設(shè)出圓的一般方程，用待定系數(shù)法求解．解：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).因?yàn)閳A心在直線x＋y＝0上，所以－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)＝0，即D＋E＝0.①又因?yàn)閳AC與直線x－y＝0相切，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，所以D