3.5 利用圓柱的體積求不規(guī)則物體的體積（學霸課堂筆記）-2023-2024學年數(shù)學六年級下冊同步培優(yōu)講義（人教版）

3.5利用圓柱的體積求不規(guī)章物體的體積第一部分第一部分學問清單V=ShV=πr2h依據(jù)體積不變的特性，明確瓶子正放和倒放時空余無水部分的容積是相等的，這樣就把不規(guī)章的圖形轉化成規(guī)章的圖形了，體現(xiàn)了轉化的思想方法。其次部分其次部分典型例題例1：一個圓柱體容器底面直徑4dm，水面高2dm，放入5個質量一樣的小鐵球后，水面上升到3dm。小海用算式“”計算的是（

）。A．每個小鐵球的體積 B．5個小鐵球的體積C．圓柱形容器里水的體積 D．圓柱形容器里水的體積和5個小鐵球的體積答案：A分析：分析算式“”，“”求的是底面積，是水面上升的高度，鐵球總體積＝圓柱底面積×水面上升的高度，因此“”求的是5個小鐵球的體積，再除以5是求每個小鐵球的體積。詳解：依據(jù)分析，算式“”計算的是每個小鐵球的體積。故答案為：A例2：如圖，依據(jù)圖中標明的數(shù)據(jù)，計算瓶子的容積是（

）mL。A．108π B．72π C．54π答案：B分析：同一個瓶子的容積不變，水的體積不變，則瓶子中的空氣體積也相同，所以瓶子的容積＝左圖中水的體積＋右圖中空氣的體積。先依據(jù)圓柱的體積分別求出左圖中水的體積和右圖空氣的體積；再把二者加起來即可求出瓶子的容積。詳解：＝＝＝＝（cm3）cm3＝mL所以瓶子的容積是mL。故答案為：B例3：如圖，一個擰緊瓶蓋的瓶子里裝了一些水，依據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)是從瓶子里面測量得到的）可知瓶中水的體積是()立方厘米，瓶中水的體積占瓶子容積的()%。

答案：141.325分析：（1）圓柱的體積，把直徑6厘米，高5厘米代入公式計算即可求出水的體積。（2）瓶子的容積＝有水部分的容積＋無水部分的容積，即求瓶子的容積列式為3.14×（6÷2）2×5＋3.14×（6÷2）2×15；再用瓶中水的體積÷瓶子的容積即可。詳解：3.14×（6÷2）2×5＝3.14×32×5＝3.14×9×5＝28.26×5＝141.3（立方厘米）3.14×（6÷2）2×5÷[3.14×（6÷2）2×5＋3.14×（6÷2）2×15]＝3.14×（6÷2）2×5÷[3.14×（6÷2）2×（5＋15）]＝3.14×（6÷2）2×5÷[3.14×（6÷2）2×20]＝5÷20＝25%所以瓶中水的體積是141.3立方厘米，瓶中水的體積占瓶子容積的25%。例4：如圖一個瓶身是圓柱形的飲料瓶，內直徑是5cm，里面裝滿了飲料。小多喝了一些后，瓶中飲料的高度是10cm。把瓶蓋擰緊后倒置放平，此時無飲料部分是圓柱形，且高度是6cm，這個飲料瓶的容積是()mL。答案：314分析：觀看圖形可知，這個飲料瓶的容積等于底面直徑是5cm，高是（10＋6）cm的圓柱的容積，依據(jù)圓柱的容積公式：V＝πr2h，據(jù)此進行計算即可。詳解：3.14×（5÷2）2×（10＋6）＝3.14×6.25×16＝19.625×16＝314（cm3）＝314（mL）則這個飲料瓶的容積是314mL。：基礎過關練一、選擇題1．一個擰緊瓶蓋的瓶子里裝了一些水，放置狀況如圖所示，水的體積與瓶子容積的比是（

）。A．2∶3 B．3∶4 C．6∶72．如圖，一個酒瓶里面深25厘米，底面內直徑是10厘米，瓶里酒深13厘米。把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立，這時酒深20厘米，酒瓶的容積是（

）毫升。A．392.5 B．1570 C．1413 D．1962.53．如下圖，一個飲料瓶高30cm，瓶內飲料的高度是7cm，將這個飲料瓶的瓶蓋擰緊倒置放平，空余部分的高度是18cm。已知這個飲料瓶的容積是1200mL，則瓶內的飲料有（

）。A．48m B．280mL C．336mL D．無法確定4．一個圓柱形玻璃容器內盛著水，底面半徑是厘米，把一個正方體鐵塊浸沒水中，水面上升了厘米，這個鐵塊的體積是（

）立方厘米。A． B． C．5．如圖所示，把一塊磁鐵完全浸沒在圓柱形容器的水中，依據(jù)浸沒前后兩次測量的數(shù)據(jù)計算這塊磁鐵的體積大約是（

）立方厘米。（玻璃厚度忽視不計，π取3.14）A．75.36 B．18.84 C．12.56 D．25.12二、填空題6．一個圓柱形玻璃容器的底面直徑是10cm，把一塊完全浸在這個容器的水中的鐵塊取出后，水面下降2cm。這個鐵塊的體積是()cm3。7．有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內直徑分別為10厘米和20厘米，杯中盛有適量的水。甲杯中浸沒一鐵塊，當取出此鐵塊后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后將鐵塊浸沒于乙杯，且乙杯中的水未外溢。這時乙杯中的水位上升了()厘米。8．如圖，水的體積和容器的容積比是。9．（如圖）一個內直徑是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶蓋擰緊倒置放平，無水部分的圓柱形，高度是18cm。這個瓶子的容積是()mL。10．一個飲料瓶內飲料的高度是4cm，將這個飲料瓶的瓶蓋擰緊倒置放平，空余部分的高度是10cm。已知這個飲料瓶的容積是210mL，則這個飲料瓶的底面積是()。三、推斷題11．圓柱體的底面積不變時，圓柱體的高擴大到原來的2倍，體積就擴大到原來的2倍。()12．把一個圓柱形木料鋸成兩段，它的體積和表面積都不會發(fā)生變化。()13．一張長方形紙片，長是15cm，寬是8cm。把它卷成一個最大的圓柱，這個圓柱的側面積是120cm2。()14．一個圓柱的底面半徑和高都擴大到原來的2倍，體積就擴大到它的8倍。()15．用圓柱體側面積的一半乘底面半徑等于這個圓柱的體積。()：培優(yōu)提升練四、解答題16．如圖，有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），瓶內飲料是240毫升，正放時，液體高20厘米，倒放時瓶中空白部分高5厘米，求瓶子的容積是多少毫升？17．一個裝有水的圓柱形容器，底面直徑是10厘米，高是12厘米，一塊石頭完全浸沒在水里，量得水深9.5厘米，將石頭取出后，水深是7.5厘米，這塊石頭的體積是多少？18．在一個底面半徑為80厘米圓柱形的魚缸里，放進一個石山做裝飾（完全浸沒），水面由原來40厘米升為50厘米的，問這個石山體積是多少？19．孫楠利用兩種方法測量石塊的體積（如下圖）：（1）這兩種方法有什么相同和不同的地方？想一想，寫一寫。（2）選擇你寵愛的一種方法計算這塊石塊的體積。20．有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），底面直徑是6厘米，瓶子的高度為30厘米，現(xiàn)在瓶中裝有一些飲料，正放時飲料高度為20厘米，倒放時飲料的高度為25厘米（見下圖）。問：瓶子的容積是多少？

21．春風學校組織同學去科技館參觀，李老師做了一個試驗：把一段圓柱形鋼材垂直放入一個圓柱形的水桶中，鋼材露出水面10厘米時，水面上升6厘米；再把鋼材全部浸入水中，水面又上升2厘米。已知鋼材的底面半徑是5厘米，你能求出這段鋼材的體積嗎？

1．B分析：由圖可知，正放時瓶子中水的體積＋倒放時瓶子中空白部分的體積＝瓶子的容積，利用“”分別表示出水的體積和瓶子的容積，再依據(jù)比的意義求出水的體積與瓶子容積的比，據(jù)此解答。詳解：假設正放時瓶子的底面積為S。水的體積：（立方厘米）瓶子的容積：＝（立方厘米）水的體積∶瓶子的容積＝∶＝12∶16＝（12÷4）∶（16÷4）＝3∶4所以，水的體積與瓶子容積的比是3∶4。故答案為：B點睛：把握圓柱的體積計算公式，把瓶子的容積看作兩個圓柱的體積之和是解答題目的關鍵。2．C分析：依據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，用3.14×（10÷2）2×13即可求出酒的體積，然后用3.14×（10÷2）2×（25－20）即可求出空白部分的體積，最終將兩部分相加即可；然后把單位換算成毫升。據(jù)此解答。詳解：3.14×（10÷2）2×13＋3.14×（10÷2）2×（25－20）＝3.14×52×13＋3.14×52×5＝3.14×25×13＋3.14×25×5＝1020.5＋392.5＝1413（立方厘米）1413立方厘米＝1413毫升酒瓶的容積是1413毫升。故答案為：C點睛：本題主要考查了圓柱的體積公式的機敏應用，要嫻熟把握公式。3．C分析：由題意可知，這個瓶子的容積＝圖一飲料的體積＋圖二空氣的體積，依據(jù)圓柱的容積公式：V＝Sh，據(jù)此求出瓶子的底面積，進而求出飲料的體積。詳解：1200÷（7＋18）＝1200÷25＝48（cm2）48×7＝336（cm3）＝336（mL）則瓶內的飲料有336mL。故答案為：C點睛：本題考查圓柱的體積，熟記公式是解題的關鍵。4．B分析：正方體鐵塊放入水中后，水面上升的高度為h厘米，鐵塊的體積等于水面上升的體積，水面上升的體積可看作底面積為平方厘米，高為h厘米的圓柱的體積，依據(jù)圓柱的體積公式：V＝Sh，代入數(shù)據(jù)即可求出這個鐵塊的體積。詳解：依據(jù)分析得，V＝Sh＝故答案為：B點睛：此題的解題關鍵是把握求不規(guī)章物體的體積的計算方法，通過轉化的數(shù)學思想，機敏運用圓柱的體積公式求解。5．D分析：依據(jù)不規(guī)章物體的體積＝容器的底面積×水面上升的高度，據(jù)此可求出磁鐵的體積。詳解：3.14×（8÷2）2×（4－3.5）＝3.14×16×0.5＝50.24×0.5＝25.12（立方厘米）故答案為：D點睛：本題考查不規(guī)章物體的體積，明確不規(guī)章物體的體積＝容器的底面積×水面上升的高度是解題的關鍵。6．157分析：完全浸在這個容器的水中的鐵塊取出后，鐵塊的體積＝水面下降的體積，水面下降的體積可看作底面半徑為（10÷2）cm，高為2cm的圓柱的體積，依據(jù)圓柱的體積公式，把數(shù)據(jù)代入即可得解。詳解：3.14×（10÷2）2×2＝3.14×52×2＝3.14×25×2＝157（cm3）即這個鐵塊的體積是157cm3。點睛：此題的解題關鍵是把握不規(guī)章物體的體積的計算方法，通過轉化的數(shù)學思想，機敏運用圓柱的體積公式，解決問題。7．0.5分析：甲杯中浸沒一鐵塊，當取出此鐵塊后，甲杯中的水位下降了2厘米，則鐵塊的體積是底面直徑為10厘米，高為2厘米的圓柱的體積，再除以乙杯底面積，求出乙杯水面上升的高度。詳解：（立方厘米）（厘米）所以這時乙杯中的水位上升了0.5厘米。點睛：本題考查圓柱的體積，解答本題的關鍵是把握題中的數(shù)量關系。8．1∶4分析：瓶子整體是個不規(guī)章容器，當瓶子正放時水的體積是6厘米高圓柱的體積，瓶子倒置時，空氣的體積是28－10＝18厘米高圓柱的體積，瓶子的體積就等于（6厘米圓柱）水的體積與（18厘米圓柱）空氣體積的和，據(jù)此解答。詳解：28－10＝18（厘米）18＋6＝24（厘米）水的體積和容器的容積比是6∶24即1∶4。點睛：求不規(guī)章物體的體積或容積，可以利用轉化思想將其轉化成規(guī)章的物體進行計算。9．1256分析：瓶子容積＝水的體積＋空白部分的容積，觀看左右兩幅圖，可以將瓶子容積看成底面直徑8cm，高（7＋18）cm的圓柱，依據(jù)圓柱體積＝底面積×高，即可求出容積。詳解：8÷2＝4（cm）3.14×42×（7＋18）＝3.14×16×25＝1256（cm3）＝1256（mL）這個瓶子的容積是1256mL。點睛：關鍵是利用轉化思想，將不規(guī)章物體的體積轉化為圓柱進行計算。10．15分析：從圖中可知，瓶子的兩種放法，飲料、無水部分的容積是不變的，將右圖中圓柱形的無水部分移到左圖，替換掉左圖不規(guī)章的無水部分，則這個飲料瓶的體積相當于一個以瓶子的底面為底面，高為（4＋10）cm的圓柱的體積；已知這個飲料瓶的容積，依據(jù)圓柱的底面積公式S＝V÷h，求出瓶子的底面積，留意單位的換算。詳解：210mL＝210cm3210÷（4＋10）＝210÷14＝15（cm2）即這個飲料瓶的底面積是15。點睛：本題考查圓柱體積（容積）計算公式的機敏運用，關鍵是把不規(guī)章的飲料瓶看作等體積的圓柱，利用圓柱的體積公式列式計算。11．√分析：圓柱體的體積＝底面積×高，圓柱體的底面積不變，高擴大到原來的2倍，依據(jù)一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴大到原來的幾倍，積也會隨之擴大到相同的倍數(shù)，所以體積就擴大到原來的2倍，由此可以推斷。詳解：由分析可知，圓柱體的底面積不變，高擴大到原來的2倍，體積就擴大到原來的2倍。故答案為：√12．×分析：如下圖，把一個圓柱形木料鋸成兩段，兩個小圓柱的底面積等于原來圓柱的底面積，兩個小圓柱的高的和等于原來圓柱的高，所以兩個小圓柱的體積和等于原來這個圓柱的體積；把一個圓柱形木料鋸成兩段，增加了兩個圓柱的底面積，即兩個小圓柱的表面積的和比原來圓柱的表面積多了兩個底面積，所以兩個小圓柱的表面積和大于原來這個圓柱的表面積。詳解：把一個圓柱形木料鋸成兩段，它的體積不會發(fā)生變化；表面積變大了。即原題說法錯誤。故答案為：×點睛：解決此類題可接受畫圖法。通過畫圖，使題意形象具體，一目了解，以便較快找到解題途徑。畫圖法對解答條件隱蔽、簡單的問題，可以起到化難為易的作用。13．√分析：由題意可知，把一張長方形紙片卷成一個最大的圓柱，則該圓柱的側面積等于長方形的面積，依據(jù)長方形的面積公式：S＝ab，據(jù)此計算即可。詳解：15×8＝120（cm2）則這個圓柱的側面積是120cm2。原題干說法正確。故答案為：√點睛：本題考查圓柱的側面積，明確該圓柱的側面積就是長方形的面積是解題的關鍵。14．√分析：依據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，積的變化規(guī)律，可知假如一個圓柱的底面半徑和高都擴大到原來的2倍，體積就擴大到它的（2×2×2）倍。據(jù)此解答。詳解：假設圓柱的底面半徑是1，高也是1，則圓柱的體積是：3.14×1×1×1＝3.14擴大后底面半徑和高：1×2＝2擴大后圓柱的體積：3.14×2×2×2＝25.1225.12÷3.14＝8假如一個圓柱的底面半徑和高都擴大到原來的2倍，體積就擴大到它的8倍。原題干說法正確。故答案為：√點睛：本題主要考查了圓柱的體積公式的應用。15．√分析：依據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，圓柱的側面積是S＝2πrh，則側面積的一半是πrh，側面積的一半乘半徑的為πrh×r＝πr2h，據(jù)此推斷即可。詳解：圓柱的體積公式：V＝πr2h，圓柱的側面積是S＝2πrh，則側面積的一半是πrh，側面積的一半乘半徑的積為πrh×r＝πr2h，因此，題干中的結論是正確的。故答案為：√點睛：此題考查的目的是理解把握圓柱的體積公式、圓柱的側面積公式及應用，關鍵是熟記公式。16．300毫升分析：依據(jù)圓柱的容積公式：容積＝底面積×高；底面積＝容積÷高，用瓶內飲料的容積除以此時的高度，即240÷20，求出這個飲料瓶底的底面積；空白處的容積等于底面積是圓柱形飲料瓶的底面積，高是5厘米的圓柱的容積，代入數(shù)據(jù)，求出空白處的容積，再加上瓶內飲料的容積，留意單位名數(shù)的換算；即可解答。詳解：240毫升＝240立方厘米240÷20＝12（平方厘米）12×5＝60（立方厘米）60立方厘米＝60毫升60＋240＝300（毫升）答：瓶子的容積是300毫升。17．157立方厘米分析：依據(jù)題意，把一塊石頭完全浸沒在裝有水的圓柱形容器里，水深9.5厘米，將石頭取出后，水深是7.5厘米，那么這塊石頭的體積等于水下降部分的體積；水下降部分是一個底面直徑10厘米，高（9.5－7.5）厘米的圓柱，依據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計算，即可求出這塊石頭的體積。詳解：10÷2＝5（厘米）3.14×52×（9.5－7.5）＝3.14×25×2＝157（立方厘米）答：這塊石頭的體積是157立方厘米。18．200960立方厘米分析：不規(guī)章物體的體積＝容器的底面積×水面上升的高度，再結合圓柱的體積公式：V＝πr2h，據(jù)此進行計算即可。詳解：3.14×802×（50－40）＝3.14×6400×10＝20096×10＝200960（立方厘米）答：這個石山體積是200960立方厘米。19．（1）見詳解（2）96立方厘米分析：（1）依據(jù)圖示可知，兩種方法都用到了轉化思想。第一種將石塊的體積轉化成上升的水的體積，其次種方法是將石塊的體積轉化成削減的長方體的體積；（2）方法不唯一，如選擇其次種，用帶有石塊的長方體的體積減去取出石塊后的體積，它們的差即為石塊的體積。詳解：（1）相同點：通過轉化，