專(zhuān)題10無(wú)理方程（3大考點(diǎn)5種題型）

專(zhuān)題10無(wú)理方程（3大考點(diǎn)+5種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)與題型分類(lèi)聚焦考點(diǎn)一：無(wú)理方程的概念和解法考點(diǎn)二：無(wú)理方程的根的討論考點(diǎn)三：無(wú)理方程的應(yīng)用題型一：無(wú)理方程的概念題型二：不解方程，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根題型三：解無(wú)理方程題型四：無(wú)理方程的根的討論題型五：無(wú)理方程的應(yīng)用考點(diǎn)一：無(wú)理方程的概念和解法1．無(wú)理方程的概念方程中含有根式，且被開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程．2．解無(wú)理方程的方法通過(guò)平方把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解．3．解無(wú)理方程的一般步驟（1）方程兩邊平方，化成整式方程；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的根；（3）檢驗(yàn)．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，則這個(gè)根為原方程的根，從而解出原方程的解；如果不成立，則這個(gè)根為增根，方程無(wú)解．考點(diǎn)二：無(wú)理方程的根的討論增根的概念無(wú)理方程在化整式方程求解過(guò)程中，整式方程的解如果使得無(wú)理方程左右兩邊不相等，那么這個(gè)解就是方程的增根.考點(diǎn)三：無(wú)理方程的應(yīng)用尋找題目中的等量關(guān)系，列方程，求解，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行取舍．題型一：無(wú)理方程的概念【例1】下列方程是哪些是關(guān)于的無(wú)理方程?（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是無(wú)理方程．【解析】根據(jù)無(wú)理方程的概念，方程中含有根式，并且被開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式的方程叫做無(wú)理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是無(wú)理方程，，可知（3）也是無(wú)理方程．【總結(jié)】考查無(wú)理方程的概念，方程中根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)即可．【變式】下列方程是無(wú)理方程的是（ ）．A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)無(wú)理方程的概念，方程中含有根式，并且被開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式的方程叫做無(wú)理方程，可知D是無(wú)理方程，故選D．【總結(jié)】考查無(wú)理方程的概念，方程中根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)即可．題型二：不解方程，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根【例2】不解方程，說(shuō)明下列方程是否有實(shí)數(shù)根：（1）；（2）．【答案】（1）有唯一實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)根．【解析】（1）根據(jù)二次根式的非負(fù)性，可得：，即得的定義域?yàn)?，此時(shí)，即得方程有唯一實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，則有，根據(jù)二次根式非負(fù)性，可知方程無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，等式恒成立，可知方程有無(wú)數(shù)實(shí)數(shù)根，滿足即可．【總結(jié)】考查對(duì)無(wú)理方程解的判斷，對(duì)部分方程根據(jù)二次根式雙重非負(fù)性即可進(jìn)行判定．【變式1】根據(jù)平方根的意義，直接判斷下列方程是否有解，并簡(jiǎn)述理由： （1）； （2）； （3）； （4）．【答案】（2）有解，（1）、（3）、（4）無(wú)解．【解析】根據(jù)二次根式的雙重非負(fù)性，對(duì)（1），，故方程無(wú)實(shí)數(shù)解；對(duì)（2），由，即有，，可知方程有實(shí)數(shù)解；對(duì)（3），，無(wú)解，即方程無(wú)實(shí)數(shù)解；對(duì)（4），，無(wú)解，即方程無(wú)實(shí)數(shù)解．【總結(jié)】考查對(duì)無(wú)理方程解的判斷，根據(jù)二次根式雙重非負(fù)性即可進(jìn)行初步判定．【變式2】下列哪個(gè)方程有實(shí)數(shù)解（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)二次根式的雙重非負(fù)性，對(duì)A選項(xiàng)，，此時(shí)，故方程無(wú)實(shí)數(shù)解；對(duì)B選項(xiàng)，，可知方程無(wú)實(shí)數(shù)解；對(duì)C選項(xiàng)，，無(wú)解，即方程無(wú)實(shí)數(shù)解；故選D．【總結(jié)】考查對(duì)無(wú)理方程解的判斷，根據(jù)二次根式雙重非負(fù)性即可進(jìn)行簡(jiǎn)單判定．題型三：解無(wú)理方程【例3】解下列方程： （1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）兩邊平方，得：，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，即原方程的根為；移項(xiàng)得：，兩邊平方得：，因式分解整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，即原方程的根為．【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解法，注意方程增根的檢驗(yàn)．【變式1】解下列方程： （1）； （2）；【答案】（1）；（2）．【解析】（1）兩邊平方，得：，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，即原方程的根為；（2）由原式得：或，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，即原方程的根為．【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解法，注意無(wú)理方程的驗(yàn)根．【變式2】解下列方程： （1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）兩邊平方得：，整理得：，配方法解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，即原方程的根為；（2）移項(xiàng)得，兩邊平方得，整理得，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，即原方程的根為．【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解法，注意方程增根的檢驗(yàn)．【變式3】解方程：．【答案】，．【解析】令，則，原方程即為，解得：，，則有或，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，，都是原方程的根．【總結(jié)】考查利用“換元法”解無(wú)理方程，注意觀察無(wú)理方程含未知數(shù)的根式之間的聯(lián)系．【變式4】解方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）令，得，原方程即，整理得，解得：（舍），，令，平方整理得，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，，都是原方程的根；（2）令，得，原方程即，整理得，解得：（舍），，令，平方整理得，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，，都是原方程的根．【總結(jié)】考查用“換元法”解無(wú)理方程，注意根據(jù)元的取值范圍舍去增根．【變式5】解下列方程： （1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）移項(xiàng)得，兩邊平方得，移項(xiàng)得，兩邊平方得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根；（2）兩邊平方得，移項(xiàng)得，兩邊平方整理得，配方法解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，即原方程的根是．【總結(jié)】考查含有多個(gè)二次根式的無(wú)理方程的解法，兩邊多次平方即可．【變式6】解下列方程：．【答案】．【解析】平方得，移項(xiàng)得，兩邊平方整理得，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，即原方程的根是．【總結(jié)】考查含有多個(gè)二次根式的無(wú)理方程的解法，兩邊多次平方即可．【變式7】解下列方程：．【答案】．【解析】令，則有，由此原方程可變形得：，整理即為，因式分解法解得：，，即或，由，整理得，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，由，可解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，綜上所述，原方程的根是．【總結(jié)】考查較復(fù)雜的換元法的轉(zhuǎn)化解無(wú)理方程，注意方程增根的檢驗(yàn)．題型四：無(wú)理方程的根的討論【例4】關(guān)于的方程有一個(gè)增根x=4，求：a的值；方程的根．【答案】（1）；（2）【解析】（1）移項(xiàng)，兩邊平方得：，移項(xiàng)得，兩邊平方得：，將代入有，整理得，解得：，，當(dāng)時(shí)，是方程增根，當(dāng)時(shí)，不是方程增根，由此即得；（2）將代入上述平方整理的方程即有，移項(xiàng)整理得，解得：，，由題意可得是原方程的增根，即得原方程的根是．【總結(jié)】考查含有多個(gè)二次根式的無(wú)理方程的解法，兩邊多次平方即可．【變式1】若方程有一個(gè)根是，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】．【解析】因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根是，所以代入得，平方整理得，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的增根，應(yīng)舍去，即得．【總結(jié)】考查無(wú)理方程根的意義，代入轉(zhuǎn)化為其它未知數(shù)的求值即可．【變式2】若關(guān)于x的無(wú)理方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．【答案】或．【解析】令，則有，原方程即為，整理即為，當(dāng)時(shí)，則有是增根，應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，分解因式得，解得：（舍），，因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，則應(yīng)有，分類(lèi)討論得或，即得的取值范圍為或．【總結(jié)】考查無(wú)理方程根的判定，利用換元法根據(jù)二次根式的非負(fù)性進(jìn)行求解計(jì)算．【變式3】若關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．【答案】．【解析】令，則有，原方程即為，整理即為，因?yàn)榉匠讨挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根，則方程有且僅有一根滿足，則另一根必滿足，根據(jù)韋達(dá)定理可得：，得的取值范圍是．【總結(jié)】考查無(wú)理方程根的判定，利用換元法根據(jù)二次根式的非負(fù)性進(jìn)行求解計(jì)算．題型五：無(wú)理方程的應(yīng)用【例5】用一根56厘米的細(xì)鐵絲彎折成一個(gè)直角三角形，使它的一條直角邊長(zhǎng)為7厘米， 求這個(gè)直角三角形的另兩條邊的長(zhǎng)度．【答案】和．【解析】設(shè)另外一條直角邊長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理可得斜邊長(zhǎng)為，依題意可得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根且符合題意，則斜邊長(zhǎng)為，即另兩邊長(zhǎng)分別為和．【總結(jié)】考查直角三角形勾股定理的應(yīng)用，用周長(zhǎng)列式解題，注意應(yīng)用題也要驗(yàn)根．【變式1】建一塊場(chǎng)地，用600塊正方形的磚頭鋪成，如果把場(chǎng)地的面積擴(kuò)大到原來(lái)面積的2 倍還多0.6平方米，且正方形的磚頭的邊長(zhǎng)增加10厘米，則需要鋪540塊方磚，求原 場(chǎng)地的面積．【答案】．【解析】設(shè)原場(chǎng)地的邊長(zhǎng)為，，則擴(kuò)大后場(chǎng)邊長(zhǎng)為，依題意得，整理得，解得：，（舍），由此得原場(chǎng)地面積為．【總結(jié)】考查根據(jù)題意找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程解應(yīng)用題，注意單位的統(tǒng)一．【變式2】如果軸上一點(diǎn)P到兩點(diǎn)A（3，5）、B（1，2）的距離相等，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】．【解析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式依題意可得，平方得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，即．【總結(jié)】考查利用兩點(diǎn)間距離公式確定點(diǎn)的位置問(wèn)題．【變式3】與為兩條互相垂直的大路，小李和老王從十字路口O點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別沿著 圖示的方向以1千米/小時(shí)和2千米/小時(shí)的速度前進(jìn)，到達(dá)A與B地，一座學(xué)校座落于 距8千米，距5千米的P處，問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，兩人距離學(xué)校的路程剛好相等？ 是幾千米？AABPNMOl1l2【答案】經(jīng)過(guò)兩人距離學(xué)校路程相等．【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)兩人距離學(xué)校距離相等，即，則有，，，，根據(jù)勾股定理，依題意可得：，平方整理得，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，，都是原方程的根，但不符合題意，應(yīng)舍去，即經(jīng)過(guò)兩人距離學(xué)校路程相等．【總結(jié)】考查利用勾股定理列方程，注意找準(zhǔn)等量關(guān)系．【變式4】有一群蜜蜂，一部分飛進(jìn)了枸杞里，其個(gè)數(shù)等于總數(shù)的一半的平方根，還有全體的遺留在后面，此外，這群里還有一個(gè)小蜜蜂在蓮花旁徘徊著，它被一個(gè)墜入香花陷阱的同伴的呻吟聲所吸引．試問(wèn)：這群蜜蜂共有多少個(gè)?【答案】這群小蜜蜂共有72個(gè)．【解析】設(shè)這群蜜蜂共有個(gè)，根據(jù)蜂群總數(shù)，依題意可得，平方整理得，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，即得這群小蜜蜂共有72個(gè)．【總結(jié)】考查根據(jù)題意列方程解應(yīng)用題，注意計(jì)算不要遺漏．一、單選題1．（2023下·上海靜安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中，屬于無(wú)理方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)無(wú)理方程的定義進(jìn)行解答，根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程為無(wú)理方程．【詳解】A項(xiàng)的根號(hào)內(nèi)沒(méi)有未知數(shù)，所以不是無(wú)理方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)的根號(hào)內(nèi)有未知數(shù)，所以是無(wú)理方程，故本選項(xiàng)正確，C項(xiàng)的根號(hào)內(nèi)沒(méi)有未知數(shù)，所以不是無(wú)理方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)的根號(hào)內(nèi)不含有未知數(shù)，所以不是無(wú)理方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理方程的定義，關(guān)鍵在于分析看看哪一項(xiàng)符合無(wú)理方程的定義．2．（2023下·上海虹口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將等式兩邊同時(shí)平方得到一元一次方程，解方程并檢驗(yàn)即可解題.【詳解】解：將方程兩邊平方得，解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原無(wú)理方程的解；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程及一元一次方程的解法，解本題的關(guān)鍵是注意解出方程之后一定要進(jìn)行檢驗(yàn)，確保式子有意義．3．（2023下·上海靜安·八年級(jí)上海市回民中學(xué)校考期中）如果關(guān)于x的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把原方程化為，根據(jù)方程無(wú)解結(jié)合算術(shù)平方根的非負(fù)形可知，由此即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵關(guān)于x的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·上海普陀·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（

）（1），（2），（3），（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的含義可判斷A，通過(guò)解方程可判斷B，根據(jù)未知數(shù)的取值范圍可判斷C，通過(guò)解方程可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴由算術(shù)平方根的含義可得方程無(wú)解；∵，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；∵，由，解得：，∴不等式組無(wú)解，∴原方程無(wú)解；∵，∴，經(jīng)檢驗(yàn)是增根，∴原方程無(wú)解．∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程，無(wú)理方程有無(wú)解問(wèn)題，選擇合適的方法進(jìn)行判斷是解本題的關(guān)鍵．5．（2021下·上海浦東新·八年級(jí)?？计谥校┫铝蟹匠逃袑?shí)數(shù)根的是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以判斷A；根據(jù)立方根的定義可判斷B；根據(jù)解分式方程的方法和分式方程有意義的條件可以判斷C；利用根的判別式可以判定D．【詳解】解：A、∵，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴，∴方程有實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)符合題意；C、去分母得，，檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，∴原方程無(wú)解，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)不符合題意；D、∵，∴方程沒(méi)有的實(shí)數(shù)根，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程，關(guān)鍵是要牢記各種方程的求解方法及根的判別式，一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是，分式方程的分母不能為0，二次根式具有雙重非負(fù)性．二、填空題6．（2023下·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)解，那么的取值范圍是．【答案】/【分析】根據(jù)無(wú)理方程和二次根式的非負(fù)性解答即可．【詳解】解：∵，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程和二次根式的非負(fù)性，熟知二次根式是解題關(guān)鍵．7．（2023下·上海寶山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）方程的根是．【答案】【分析】先把無(wú)理方程化為或，分別求解，再檢驗(yàn)，即可．【詳解】解：∵，∴或，解得：或，∵，∴∴，檢驗(yàn)：為方程的根，不是方程的根，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查解無(wú)理方程，無(wú)理方程要對(duì)根進(jìn)行檢驗(yàn)．8．（2023下·上海虹口·八年級(jí)上外附中校考期末）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則k的范圍為．【答案】【分析】利用平方法將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后根據(jù)判別式的意義解不等式即可．【詳解】解：，，∴，∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．9．（2023下·上海徐匯·八年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谀┤绻P(guān)于的無(wú)理方程有實(shí)數(shù)根，那么的值為．【答案】【分析】把方程兩邊平方去根號(hào)得一元二次方程，然后將代入方程即可求出值．【詳解】解：，兩邊同時(shí)平方可得：實(shí)數(shù)根是方程的解，代入方程，可解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理方程的解法，熟練掌握解無(wú)理方程的方法兩邊平方法及換元法，本題用了平方法，是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023下·上海浦東新·八年級(jí)校考期末）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是．【答案】【分析】先將原方程變換為，再根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性列不等式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，掌握算術(shù)平方根大于等于零成為解答本題的關(guān)鍵．11．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）方程的根為．【答案】4【分析】本題考查了無(wú)理方程的求解和二次根式的性質(zhì)，首先根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)得出x的取值范圍，將無(wú)理方程兩邊平方取消二次根號(hào)，整理得一元二次方程，解一元二次方程，將解代回x的取值范圍驗(yàn)算即可得出答案．【詳解】解：由二次根式性質(zhì)得：且，∴．將兩邊平方得：，整理得：，分解因式：，得：，，∵，∴．故答案為：4．三、解答題12．（2023下·上海虹口·八年級(jí)上外附中校考期末）．【答案】【分析】方程兩邊平方去根號(hào)，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：，方程兩邊平方，得，整理得，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，不是原方程的解，即無(wú)理方程的解是．【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方程，能把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．13．（2023下·上海寶山·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋海敬鸢浮吭匠虩o(wú)解【分析】先移項(xiàng)，再兩邊平方，再整理可得，從而可得原方程無(wú)解．【詳解】解：∵，∴，兩邊平方得：，整理得：，而，∴原方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題考查的是無(wú)理方程的解法，掌握解無(wú)理方程的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵．14．（2023下·上海虹口·八年級(jí)上外附中?？计谀敬鸢浮俊痉治觥坷闷椒椒▽⒃匠掏ㄟ^(guò)變形轉(zhuǎn)化為有理方程，然后計(jì)算求解．【詳解】解：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴原方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方法解無(wú)理方程，掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵，另外注意無(wú)理方程的結(jié)果要進(jìn)行檢驗(yàn)．15．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）求直角坐標(biāo)平面內(nèi)到的距離都等于15的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（9，3）或（9，3）【分析】設(shè)滿足題意的點(diǎn)為A（x，y），再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式列方程組，解方程即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)滿足題意的點(diǎn)為A（x，y），由題意得，，解得，或，經(jīng)檢驗(yàn)，兩組都是方程組的解，所以A（9，3）或A（9，3）．答：直角坐標(biāo)平面內(nèi)到的距離都等于15的點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，3）或（9，3）．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系，無(wú)理方程的應(yīng)用，掌握兩點(diǎn)距離公式列方程組是解題的關(guān)鍵．16．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）閱讀下列材料，解決問(wèn)題：求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解，求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．各類(lèi)方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想﹣轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過(guò)因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝；（2）用“轉(zhuǎn)化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解；（3）應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長(zhǎng)AD＝8m，寬AB＝3m，小華把一根長(zhǎng)為10m的繩子的一端固定在點(diǎn)B，沿草坪邊沿BA，AD走到點(diǎn)P處，把長(zhǎng)繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點(diǎn)C處，把長(zhǎng)繩剩下的一段拉直，長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn)C．求AP的長(zhǎng)．【答案】（1）﹣2，8；（2）x1＝﹣2，x2＝1，x3＝，x4＝2；（3）4米【分析】（1）因式分解多項(xiàng)式，然后得結(jié)論；（2）分析方程的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2，所以有（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2，得到2（x2+3x﹣4）（2x2﹣7x+6）＝0，然后得到兩個(gè)一元二次方程，求出方程有四個(gè)根；（3）設(shè)AP的長(zhǎng)為xm，根據(jù)勾股定理和BP+CP＝10，可列出方程，由于方程含有根號(hào)，兩邊平方，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解．【詳解】解：（1）x3﹣6x2﹣16x＝0，x（x2﹣6x﹣16）＝0，x（x+2）（x﹣8）＝0所以x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8；故答案為：﹣2，8；（2）（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2﹣2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝（3x2﹣6x+4）22（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0（x+2）（x﹣1）（2x﹣3）（x﹣2）＝0x+2＝0或x﹣1＝0或2x﹣3＝0或x﹣2＝0．解得x1＝﹣2，x2＝1，x3＝，x4＝2；（3）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m設(shè)AP＝xm，則PD＝（8﹣x）m因?yàn)锽P+CP＝10，BP＝，CP＝．∴＝10∴＝10﹣．兩邊平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2整理，得5＝4x+9兩邊平方并整理，得x2﹣8x+16＝0即（x﹣4）2＝0所以x＝4．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是方程的解．答：AP的長(zhǎng)為4m．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、解一元二次方程因式分解法、無(wú)理方程、一元二次方程的應(yīng)用，理解相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．17．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）m、n為兩條互相垂直的筆直公路，工廠A在公路n上，距公路m為1千米，B與工廠A在公路m的同側(cè)，且距