專題278相似章末拔尖卷（人教版）

第27章相似章末拔尖卷【人教版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023秋·湖南永州·九年級?？计谥校┮阎猘b+cA．第一、二象限 B．第二、三家限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】B【分析】對ab+c=b【詳解】∵ab∴a當(dāng)a+b+則k=-1此時(shí)直線為y=-當(dāng)a+b+此時(shí)直線為y=綜上所述，過二、三象限．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的象限，求出函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于忽略分類討論的情況．2．（3分）（2023秋·湖南株洲·九年級?？计谥校┤鐖D，已知∠1=∠2，添加下列條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE

A．ABAC=ADAE B．∠B=∠【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法：兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；一條直角邊與斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似；逐一判斷即可．【詳解】解∵∠1=∠2，∴∠DAE若ABAD=AC∴△ABC～△ADE若∠DAE=∠BAC∴△ABC~△ADE若∠C=∠AED∴△ABC~△ADE∵ABAD=BC∴無法判斷△ABC與△ADE相似，故故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定方法，熟記知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（3分）（2023秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)G在BC的延長線上，AG分別交BD、CD于點(diǎn)E、F，則圖中相似三角形共有（

A．4對 B．5對 C．6對 D．7對【答案】C【分析】本題根據(jù)平行四邊形的對邊平行，再根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似找出相似三角形即可得解．【詳解】解：在?ABCD中，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG；∵AD∥BC，∴△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，∴△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD∴圖中相似三角形有6對．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，要注意△ABG與△FDA都與△FCG相似，所以也相似，這也是本題容易出錯(cuò)的地方．4．（3分）（2023·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在CD邊上，連接AE、BE，AE交BD于點(diǎn)FA．AFFE=CDDE B．AFFE=【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD∴AFFE=ABDE∴AFFE=如果AE∥BC，則有∵AE和BC不平行，∴DECE≠如果AD∥BE，則有∵AD和BE∴AFFE≠故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2023·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長是10，在正方形外有E、F兩點(diǎn)，滿足AE=CF=6，BE=DF

A．143 B．142 C．14 D【答案】B【分析】如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AD,交AD的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EI⊥AD，交DA的延長線于點(diǎn)I，過點(diǎn)E作EG⊥FH,垂足為G,則四邊形EGHI是矩形；運(yùn)用勾股定理逆定理，求證∠AEB=90°，∠CFD=90°；求證△IAE∽△EBA.從而求得【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AD,交AD的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EI⊥AD，交DA的延長線于點(diǎn)I，過點(diǎn)E作EG⊥FH,∴EG∵AE=6,∴AE∴∠AEB同理，∠CFD∵∠IAE∴∠IAE∴△∴IA∴IA∴HG同理，可證△∴HDFC∴HD=∴EG=GF∴Rt△EFG中，故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，相似三角形；運(yùn)用相似三角形工具求得線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD=1，則CD

A．2-1 B．5-1 C．【答案】C【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得DH=CG=1，設(shè)CD的長為x，則HG=x【詳解】解：，由折疊可得：DH=AD，∵矩形ABCD，∴AD=∴DH=設(shè)CD的長為x，則HG=∵矩形HEFG，∴EH=1∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似，∴EHCD=HG解得：x=∴CD=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2023秋·云南普洱·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ADC是由等腰直角△EOG經(jīng)過位似變換得到的，位似中心在x軸的正半軸，已知EO=1，D點(diǎn)坐標(biāo)為D2,0，位似比為1:2，則兩個(gè)三角形的位似中心A．23,0 B．1,0 C．0,0 D【答案】A【分析】先確定G點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合D點(diǎn)坐標(biāo)和位似比為1：2，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；然后再求出直線AG的解析式，直線AG與x的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為這兩個(gè)三角形的位似中心的坐標(biāo)．.【詳解】解：∵△ADC與△EOG都是等腰直角三角形∴OE=OG=1∴G點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，1）∵D點(diǎn)坐標(biāo)為D（2，0），位似比為1：2，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）∴直線AG的解析式為y=32x∴直線AG與x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（23，0∴位似中心P點(diǎn)的坐標(biāo)是23故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查了位似中心的相關(guān)知識，掌握位似中心是由位似圖形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線的交點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．8．（3分）（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將長方形紙片分別沿AB，AC折疊，點(diǎn)D，E恰好重合于點(diǎn)M．記△COM面積為S1，△AOB面積為S2，且DEBC

A．1:2 B．5:7 C．3:7 D．2:5【答案】D【分析】過點(diǎn)A作AP⊥BC于P，過點(diǎn)M作MQ⊥BC于點(diǎn)Q，則△APO∽△MQO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出MQAP=OMAO，設(shè)DE=7k【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥BC于P，過點(diǎn)M作MQ⊥

∴∠APO∵∠AOP∴△APO∴MQAP∵DEBC∴設(shè)DE=7k，則由折疊可知，AE=AM=AD，∠DAC=∠MAC∴AM∵四邊形CDEF是矩形，∴CF=DE∴BN=BF=DE∴∠BCA=∠MAC∴OA∴OA∴OM∴MQAP∵S1=∴S1故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）如圖△ACB，∠ACB=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，CD平分∠BCO交AB于點(diǎn)D，作AE⊥CD分別交CO、BC于點(diǎn)G，E．記△AGO的面積為S1，△AEB的面積為S2，當(dāng)S1S2＝25時(shí)，則A．25 B．13 C．411【答案】D【分析】連接BG，過點(diǎn)O作OT∥AE交BC于點(diǎn)T，首先證明AGEG【詳解】解：如圖所示，連接BG，過點(diǎn)O作OT∥AE交BC于點(diǎn)T，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴AO=OB，∴S?∵S?∴S?∴AGEG∵OT∥AE，AO=BO，∴ET=TB，∴OT=12AE∴GEOT∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，∴∠DCG=∠DCE，∴∠CGE+∠DCG=90°，∠CEG+∠DCB=90°，∴∠CGE=∠CEG，∴CG=CE，∵∠CGE=∠COT，∠CEG=∠CTD，∴∠COT=∠CTD，∴CO=CT，∴OG=ET，∵GE∥OT，∴CECT∴CEET∴OGBC故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線分線段成比例，三角形的面積，三角形中位線定理等，理解題意，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．10．（3分）（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∠EBC的平分線交CD于點(diǎn)F將△DEF沿EF折疊，點(diǎn)D恰好落在EB上M點(diǎn)處，延長BC、EF交于點(diǎn)N，有下列四個(gè)結(jié)論：①BF垂直平分EN；②BF平分∠MFC；③△DEF∽△FEBA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】由折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)，可證得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，則可得BF⊥EN；證明∠EFM＝∠EBF即可證明△DEF∽△FEB；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，由折疊的性質(zhì)可得：∠EMF＝∠D＝90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF＝MF，∴DF＝CF，在△DEF與△CFN中，∠∴△DFE≌△CFN，∴EF＝FN，∵∠BFM＝90°?∠EBF，∠BFC＝90°?∠CBF，∴∠BFM＝∠BFC，∴BF平分∠MFC；故②正確；∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，∴∠BFE＝∠BFN，∵∠BFE＋∠BFN＝180°，∴∠BFE＝90°，即BF⊥EN，∴BF垂直平分EN，故①正確；∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，∴∠EFM＝∠EBF，∵∠DFE＝∠EFM，∴∠DFE＝∠FBE，∴△DEF∽△FEB∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，∴BE＝3EM，∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；故④正確．綜上所述：①②③④都正確，故答案選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判斷．此題難度適中，證得△DFE≌△CFN是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2023秋·山東菏澤·九年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC分別交AC，AD于點(diǎn)F、E，AF＝2，AC＝6，則AB的長為．【答案】2【分析】根據(jù)題意，由矩形的性質(zhì)綜合判斷得出∠ACB＝∠ABF，∠BAF＝∠BAC，從而證明△BFA∽△CBA，再利用相似三角形的性質(zhì)列出方程，進(jìn)而求解即可【詳解】解：∵BE⊥AC，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∵矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAF＝90°，∴∠ACB＝∠ABF，∵∠BAF＝∠BAC，∴△BFA∽△CBA，∴ABAF∴AB2＝AC?AF＝6×2＝12，∴AB=2故答案為23【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形性質(zhì)與相似三角形的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵12．（3分）（2023·山西·統(tǒng)考一模）黃金分割具有嚴(yán)格的比例性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，這一比值能夠引起人們的美感．如圖，連接正五邊形ABCDE的各條對角線圍成一個(gè)新的五邊形MNPQR.圖中有很多頂角為36°的等腰三角形，我們把這種三角形稱為“黃金三角形”，黃金三角形的底與腰之比為5-12.若MN＝5－1，則AB【答案】5＋1【詳解】根據(jù)題意可知△DMN與△AME都是“黃金三角形”，AB=AE，DM=EM，∴MNDM=5∵M(jìn)N=5-∴DM=2，∴AE=45∴AB=5+1故答案為5+113．（3分）（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在線段AD上，以DE為邊構(gòu)造正方形DEFG，使G在CD的延長線上，連接CF，取CF中點(diǎn)H，連接DH．當(dāng)E為AD中點(diǎn)時(shí)，△CDH的面積為，當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)（不含A，D）時(shí)，DH的最小值為

【答案】22【分析】當(dāng)E為AD中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)H作HN⊥GC于點(diǎn)N，先證HN是△CFG的中位線，求出其長度，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；連接GH，EH，AC，BD，AC與BD交于點(diǎn)O，延長FE到點(diǎn)M，使EM=FE，連接DM，CM，根據(jù)正方形的性質(zhì)先證點(diǎn)D、O、M、B在一條直線上，再證EH是△CFM的中位線，并推出當(dāng)CM⊥BD時(shí)，CM最小，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出【詳解】解：當(dāng)E為AD中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)H作HN⊥GC于點(diǎn)N，如圖

∵正方形ABCD的邊長為4，∴AD=∴AE=∵四邊形DEFG是正方形，∴FG=∴HN∥∴CHFH∵點(diǎn)H是CF的中點(diǎn)，即CHFH∴CNNG∴點(diǎn)N是GC的中點(diǎn)，∴HN是△CFG∴HN=∴S△如圖2，連接GH，EH，AC，BD，AC與BD交于點(diǎn)O，延長FE到點(diǎn)

∵四邊形DEFG是正方形，∴FE=∴DE=∴△DEM∴∠EDM∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB∴點(diǎn)D、O、M、B在一條直線上，∵點(diǎn)E是FM的中點(diǎn)，點(diǎn)H是CF的中點(diǎn)，∴EH是△CFM∴EH=當(dāng)CM最小時(shí)，EH最小，即當(dāng)CM⊥BD時(shí)，∵CO⊥∴M點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，CM最小，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AD=由勾股定理得AC=∴CO=∴EH=∵四邊形DEFG是正方形，∴∠FGC∵點(diǎn)H是CF的中點(diǎn)，∴GH=∴點(diǎn)H在FG的垂直平分線上，∵四邊形DEFG是正方形，∴點(diǎn)H也在ED的垂直平分線上，∴EH=∴DH=即DH的最小值為2；故答案為：2，2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形中位線定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)及三角形中位線定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵，此題有點(diǎn)難度，需認(rèn)真思考．14．（3分）（2023·江西南昌·?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，將AD沿過點(diǎn)D的射線DF折疊得到DE，若AB下方的DE

【答案】2或23-【分析】由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得AB=4，AC=23，AD=BD=2，分三種情況：當(dāng)DE⊥AC時(shí)，設(shè)垂足為G；當(dāng)DE⊥【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB∴AB∴AC∴D是AB∴AD如圖1，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，設(shè)垂足為

，由折疊可知，∠A=∠E=30°，∵∠DGA∴DG∴AG∵∠ADE∴∠EDF∴DF=EF∴AG∴AF如圖2，當(dāng)DE⊥，則∠ADE由折疊可知：∠ADF∴∠AGD∵∠AGD∴∠EFG∴∠E∴GE在Rt△ADG中，AD=2∵D∴AG=4作FH⊥AD交AD于H，則∵∠ADF∴△DHF∴DH設(shè)DH=HF=∵HF∴△AHF∴HFDG=解得：x=∴DH在Rt△AHF中，∠AHF∴AF如圖3，當(dāng)DE⊥

，由折疊的性質(zhì)可得：∠E=∠A=30°，∵AC∴DE∴∠E∵∠BDE+∠ADE∴∠EDA∴∠ADF∴AD綜上所述：AF的長為2或23-2故答案為：2或23-2【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握以上知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．15．（3分）（2023秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ形膩碇袑W(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一點(diǎn)，BDEA=2，CEFB【答案】1【分析】如圖，先利用三角形的面積關(guān)系可得BDDC=S△ABDS△ACD=S△BPDS△CPD【詳解】解：如圖，設(shè)AD，BE，CF相交于點(diǎn)P，∵BDDC=S△∴S△∴BDDC同理可得：CEEA=∴BD∵BDEA=2，∴2×3×AF∴AFDC故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的面積關(guān)系，比例的基本性質(zhì)，掌握比例的基本性質(zhì)進(jìn)行比例的變形是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2023秋·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）已知菱形A1B1C1D1的邊長為6，∠A1B1C1=60°，對角線A1C1，B1D1相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A1，OB1所在直線為x軸、y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．以B1D1為對角線作菱形B1C2D1A2【答案】An(3n，0)【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出A1的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出OB1的長，再由銳角三角函數(shù)的定義求出OA2的長，故可得出A2的坐標(biāo)，同理可得出A3的坐標(biāo)，找出規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵菱形A1B1C1∴OA1=A1B1·sin30°=6×12=3，OB1=A1B1·cos30°=6×32=∴A1(3，0)，∵菱形B1C2∴OA2=OB∴A2(9，0)，同理可得A3(27，0)，∴An(3n，0)，故答案為：An(3n，0)．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，熟知相似多邊形的對應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023秋·寧夏銀川·九年級銀川市第三中學(xué)?？计谥校┣笾担?1)已知ba=3(2)已知ab=cd=【答案】(1)-(2)12【分析】（1）先根據(jù)已知條件得到b=34（2）根據(jù)比例的性質(zhì)得到a+c+【詳解】（1）解：∵ba∴b=∴a-（2）解：∵ab∴a+∵b+∴a+∴a+【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟知比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，一般地，若有ab=c18．（6分）（2023·浙江·一模）如圖，在5×5的網(wǎng)格中，線段AB的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）．請用無刻度的直尺畫出符合要求的圖形，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．

(1)在圖1中畫出一個(gè)以AB為邊的Rt△ABC，使頂點(diǎn)(2)在圖2中的線段AB上找出一點(diǎn)D，使BDAD【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）取格點(diǎn)C，連接AC和BC即可；（2）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求．【詳解】（1）解：如下圖，取格點(diǎn)C，連接AC和BC，

由題意可知：∠ACB∴△ABC為Rt（2）如下圖，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交AB于點(diǎn)D，

由題意可知：△BDF∵BF∴BD∴點(diǎn)D即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了考查了作圖，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．19．（8分）（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，CE=BF，點(diǎn)Q在線段求證：(1)∠CAE(2)△ACE【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用SAS證明△ACE（2）根據(jù)△ACE≌△ABF得出AE=AF，∠CAE=∠【詳解】（1）證明：∵AB=∴∠B在△ACE和△ABF中，∴△ACE∴∠CAE（2）證明：∵△ACE∴AE=AF，∵AE2=AQ·∴AEAQ=AB∴△ACE【點(diǎn)睛】本題考